崔 瀟，秦永元，楊小康，梅春波

(1 西北工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院， 西安 710129； 2 西安現(xiàn)代控制技術(shù)研究所, 西安 710065)

0 引言

常規(guī)火箭彈采用捷聯(lián)慣導(dǎo)進(jìn)行制導(dǎo)改造后，可顯著增加有效射程、打擊精度大幅提高，制導(dǎo)火箭彈在世界各國(guó)得到了廣泛的應(yīng)用，成為火箭彈發(fā)展的主要趨勢(shì)[1-2]。

由于戰(zhàn)術(shù)條件和彈載捷聯(lián)慣導(dǎo)自身器件精度的限制，火箭彈無(wú)法單純依靠自身完成初始對(duì)準(zhǔn)，一種方案可采用依靠發(fā)射車裝備的高精度慣導(dǎo)進(jìn)行傳遞對(duì)準(zhǔn)[3]，但是需要發(fā)射架進(jìn)行俯仰、回轉(zhuǎn)機(jī)動(dòng)，對(duì)準(zhǔn)精度也受到時(shí)空同步等因素影響；另一種方案采用方位裝訂，以速度+方位為量測(cè)的卡爾曼濾波對(duì)準(zhǔn)方案[4]。兩種對(duì)準(zhǔn)方案均涉及濾波器設(shè)計(jì)，存在收斂時(shí)間長(zhǎng)以及受初始條件參數(shù)影響等影響。因此，研究基于方位裝訂的捷聯(lián)慣導(dǎo)快速初始對(duì)準(zhǔn)具有較大工程應(yīng)用價(jià)值。

1 坐標(biāo)系定義

為便于分析，定義如下坐標(biāo)系：

1)彈體坐標(biāo)系b：原點(diǎn)位于彈體質(zhì)心，xb、yb、zb分別為沿彈體的前、上、右，xbybzb構(gòu)成右手直角坐標(biāo)系；

2)當(dāng)?shù)厮阶鴺?biāo)系H：原點(diǎn)位于彈體所在點(diǎn)，xH為xb在當(dāng)?shù)厮矫鎯?nèi)的投影，zH沿當(dāng)?shù)氐卮咕€，向上為正，yH與xH、zH構(gòu)成右手坐標(biāo)系。

3)當(dāng)?shù)氐乩碜鴺?biāo)系g：原點(diǎn)位于載體所在點(diǎn)，yg軸沿地理垂線指向上，xg、zg軸在當(dāng)?shù)厮矫鎯?nèi)且xg沿當(dāng)?shù)亟?jīng)線方向指向北，zg沿當(dāng)?shù)鼐暰€切線方向指向東，即“北天東”地理坐標(biāo)系。

2 水平自對(duì)準(zhǔn)

2.1 水平姿態(tài)矩陣

設(shè)對(duì)準(zhǔn)時(shí)刻導(dǎo)彈的航向角為ψ(北偏東為正)，俯仰角為θ，橫滾角為γ，則:

(1)

(2)

圖1 地理坐標(biāo)系與載體坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換關(guān)系圖

(3)

2.2 T2周期內(nèi)的水平姿態(tài)四元數(shù)計(jì)算

tk=kT2=kNT1

(4)

上述時(shí)間周期關(guān)系如圖2所示。

圖2 T1周期、T2周期、水平姿態(tài)四元數(shù)間的關(guān)系

忽略彈體晃動(dòng)，則加速度計(jì)輸出為：

(5)

即

(6)

假設(shè)加速度計(jì)輸出經(jīng)過(guò)I-F變換。記在第k個(gè)T2周期內(nèi)，第n個(gè)T1周期內(nèi)的加速度計(jì)輸出積分為δVxk(n)，δVyk(n)，δVzk(n)，即有：

(7)

則在第k個(gè)T2周期內(nèi)加速度計(jì)輸出的積分為：

ΔVxk=NT1gsinθ=T2gsinθ

(8a)

ΔVyk=NT1gcosγcosθ=T2gcosγcosθ

(8b)

ΔVzk=-NT1gsinγcosθ=-T2gsinγcosθ

(8c)

記

(9)

由于加速度計(jì)存在測(cè)量誤差，彈體存在晃動(dòng)干擾，所以gk≈g·T2。

記

(10)

則由式(10)得：

(11a)

(11b)

(11c)

(11d)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

由式(19)、式(21)、式(23)得：

(27)

2.3 tk時(shí)刻的水平姿態(tài)四元數(shù)計(jì)算

(28)

2.4 引入外基準(zhǔn)航向后的姿態(tài)四元數(shù)

設(shè)tk=kT2=kNT1時(shí)刻水平對(duì)準(zhǔn)結(jié)束，外基準(zhǔn)引入的航向角為ψ，則與ψ對(duì)應(yīng)的四元數(shù)為：

(29)

由于

(30)

根據(jù)姿態(tài)陣的矩陣乘與四元數(shù)乘之間的關(guān)系，得與式(29)對(duì)應(yīng)的姿態(tài)四元數(shù)為：

(31)

3 陀螺漂移估計(jì)

考慮如下四元數(shù)更新離散方程：

(32)

由文獻(xiàn)[5]已知：

(33)

則

(34)

式中:Δθx、Δθy、Δθz為在[tk,tk+1]時(shí)間間隔內(nèi)的角增量。

假設(shè)陀螺輸出為：

(35)

記

(36)

則誤差轉(zhuǎn)移矩陣ΔΦk可以表示為一個(gè)矩陣冪級(jí)數(shù)，冪級(jí)數(shù)第n項(xiàng)為Ο(‖δωkΔt‖n) ，如果只考慮一階近似，則:

ΔΦk≈M(δωk)Δt

(37)

式中:

(38)

將式(36)、式(37)代入式(32)，可得:

Qk+1=ΦkQk-ΔtM(δωk)Qk

(39)

定義矩陣:

(40)

則容易得:

M(δωk)Qk=Ξ(Q)δωk

(41)

則式(39)可寫為:

(42)

式中：wk為四元數(shù)更新誤差，是陀螺測(cè)量誤差的函數(shù)。

對(duì)于戰(zhàn)術(shù)級(jí)慣導(dǎo)，陀螺啟動(dòng)常值漂移很大，若僅僅考慮陀螺儀的常值漂移δωk≈εb，則可得：

(43)

4 仿真分析

為進(jìn)一步檢驗(yàn)文中所提的半自對(duì)準(zhǔn)方法的性能，進(jìn)行了搖擺基座下對(duì)準(zhǔn)的仿真。

4.1 仿真條件

1)彈體繞俯仰軸、橫滾軸和方位軸的搖擺運(yùn)動(dòng)，可看作由一系列幅值和頻率相近的正弦波來(lái)描述：

(44)

式中：θ、γ、φ分別為繞俯仰軸、橫滾軸和方位軸的搖擺角度；θm、γm、φm分別為搖擺角度幅值；ωθ、ωγ、ωφ為搖擺的角頻率；θ0、γ0、φ0為搖擺的初始相位。

表1 搖擺參數(shù)設(shè)置

2)慣導(dǎo)參數(shù)設(shè)置：

表2 慣導(dǎo)參數(shù)設(shè)置

3)慣導(dǎo)采樣周期：0.01 s(即T1)；T2=0.1 s。

4.2 仿真結(jié)果

根據(jù)4.1設(shè)置的仿真條件，仿真結(jié)果如圖3～圖5所示。

圖4 搖擺基座對(duì)準(zhǔn)估計(jì)結(jié)果(不同陀螺常值漂移)

圖5 陀螺漂移估計(jì)結(jié)果(T2=0.1 s)

圖3中實(shí)線表示真實(shí)姿態(tài)曲線，虛線表示對(duì)準(zhǔn)結(jié)果，從圖3中可以看出，由于航向角由外部裝訂，基本無(wú)誤差，水平自對(duì)準(zhǔn)姿態(tài)可以跟蹤真實(shí)姿態(tài)，只是存在時(shí)間延遲，對(duì)比不同T2的結(jié)果，T2周期越大，造成的延遲也越大，所以，實(shí)際工程中，根據(jù)加速度噪聲大小、彈體晃動(dòng)幅度及頻率等因素，適當(dāng)調(diào)整T2周期。

為了驗(yàn)證不同陀螺常值漂移對(duì)算法的影響，圖4給出了不同陀螺漂移下的對(duì)準(zhǔn)結(jié)果，從圖4中可知，陀螺常值漂移不影響水平對(duì)準(zhǔn)結(jié)果，結(jié)果和前面的分析一致。圖5給出了在同一更新周期T2下對(duì)陀螺漂移的估計(jì)結(jié)果，可知算法可以對(duì)陀螺常值漂移進(jìn)行粗略估計(jì)，估計(jì)精度且與漂移大小無(wú)關(guān)。

表3 對(duì)準(zhǔn)結(jié)果統(tǒng)計(jì)

表3總結(jié)了對(duì)準(zhǔn)結(jié)束時(shí)刻的對(duì)準(zhǔn)精度。從表3中可知，減小更新周期T2對(duì)準(zhǔn)精度也隨之提高，當(dāng)T2=0.1 s時(shí)，對(duì)準(zhǔn)精度在0.1°以內(nèi)，而陀螺常值漂移大小不影響姿態(tài)對(duì)準(zhǔn)結(jié)果。

5 結(jié)論

仿真結(jié)果表明：文中給出的戰(zhàn)術(shù)級(jí)捷聯(lián)慣導(dǎo)方位裝訂的半自主對(duì)準(zhǔn)方法在對(duì)準(zhǔn)的同時(shí)，還可對(duì)陀螺常值漂移進(jìn)行粗略估計(jì)，但加速度計(jì)零偏無(wú)法得到估計(jì)。與傳統(tǒng)基于卡爾曼濾波對(duì)準(zhǔn)方法相比，文中的方法具有運(yùn)算簡(jiǎn)單、計(jì)算量小和便于工程應(yīng)用的優(yōu)點(diǎn)，為火箭彈的對(duì)準(zhǔn)提供了參考。