復雜網(wǎng)絡(luò)電輸運性能與通信序列熵之間的關(guān)聯(lián)*

陳單 石丹丹 潘貴軍

(湖北大學物理與電子科學學院,武漢 430062)

1 引 言

21世紀初網(wǎng)絡(luò)科學的出現(xiàn)極大地推動了復雜系統(tǒng)的跨學科研究.隨著人類認知能力的提升,發(fā)現(xiàn)在每個系統(tǒng)背后都有一個網(wǎng)絡(luò),它對系統(tǒng)各部分之間的交互進行編碼[1?4].例如: 編碼基因、蛋白質(zhì)和代謝物之間相互作用的網(wǎng)絡(luò)將這些成分整合到活細胞中[3]; 捕捉神經(jīng)元之間連接的接線圖,稱為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),是理解大腦如何運作和思考的關(guān)鍵[4].這些網(wǎng)絡(luò)大多表現(xiàn)出高度的復雜性,如連接結(jié)構(gòu)的復雜性、節(jié)點類型的復雜性和網(wǎng)絡(luò)演化過程的復雜性[5]等.此外,網(wǎng)絡(luò)還具有小世界性質(zhì)[6]、無標度性質(zhì)[7]和模塊性質(zhì)[8,9].這些特征足以說明,網(wǎng)絡(luò)不僅具有不斷變化的內(nèi)容和形式,而且具有更加復雜的連接結(jié)構(gòu).

網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)與動力學的關(guān)系決定了基于網(wǎng)絡(luò)的復雜系統(tǒng)的行為,其中一個核心問題是,在給定約束條件下如何設(shè)計網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)來優(yōu)化其功能,諸如網(wǎng)絡(luò)上的同步優(yōu)化[5]、擴散動力學優(yōu)化[8]、導航優(yōu)化[10?15]以及電輸運性能優(yōu)化[16?22]等.特別地,通過向基礎(chǔ)地理網(wǎng)絡(luò)添加遠程連接可以優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)中的信息和能量傳輸[12,13],這意味著合理的設(shè)計網(wǎng)絡(luò)可以使網(wǎng)絡(luò)中的信息高效地從源流向目標.另外,當從信息的角度去看待系統(tǒng)時,以香農(nóng)熵為背景的信息理論工具已經(jīng)成功應用于許多領(lǐng)域.熵作為一種有效度量系統(tǒng)信息的指標,以其獨特的內(nèi)涵應用于統(tǒng)計物理、信息論以及其他廣義系統(tǒng),已成為復雜系統(tǒng)研究的重要工具[23].在網(wǎng)絡(luò)科學領(lǐng)域,從香農(nóng)信息理論工具的角度去觀察網(wǎng)絡(luò)對于理解網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和動力學之間的關(guān)系是非常有益的.

Hu等[24]將熵用于解釋小世界網(wǎng)絡(luò)中有效導航標度律的可能起源.李勇軍等[25]提出基于最大熵模型的鏈路預測算法,該方法在預測鏈路時避免了特征之間相互獨立的約束.此外,熵也被用作衡量網(wǎng)絡(luò)異質(zhì)性的重要指標[26].例如: Wang等[27]認為度分布熵可以作為表征網(wǎng)絡(luò)異質(zhì)性的測度; 吳俊等[28]以節(jié)點的相對度值為指標,定義相對度分布熵來衡量網(wǎng)絡(luò)的異質(zhì)性.上述兩種熵只關(guān)注“節(jié)點”和“邊”在網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中的單一作用,在全局特征描述上存在不足[23].蔡萌等[29]通過引入綜合考慮徑向測度和中間測度的網(wǎng)絡(luò)流概念,提出了流介數(shù)結(jié)構(gòu)熵.最近,Cai等[30]綜合分析了之前的幾種熵,指出流介數(shù)結(jié)構(gòu)熵能夠有效地表征復雜網(wǎng)絡(luò)的異質(zhì)性.從以上的這些熵中可以發(fā)現(xiàn)一個共同的特點: 它們主要是基于描述網(wǎng)絡(luò)某一局部特征而構(gòu)建的概率分布熵,忽略了網(wǎng)絡(luò)的其他信息,所以不能很好地表征網(wǎng)絡(luò)的整體拓撲信息,進而就不能有效地分析它們與網(wǎng)絡(luò)功能之間的關(guān)系.為此,尋求可以描述網(wǎng)絡(luò)整體信息的概率分布是極其重要的.Braunstein等[31]利用縮放的拉普拉斯矩陣的譜定義了一種新的熵,打破了傳統(tǒng)分布熵的局限性.特別地,最近de Domenico 和 Biamonte[32]提出了一套基于譜熵的信息理論工具,用于比較復雜網(wǎng)絡(luò).該譜熵相對于傳統(tǒng)的分布熵似乎更能反映出網(wǎng)絡(luò)的整體拓撲信息.另外,Chen等[33]提出了一個表征網(wǎng)絡(luò)全局通信能力的測度-復雜網(wǎng)絡(luò)的通信序列熵,基于該測度可以有效地量化網(wǎng)絡(luò)之間的差異性,證實了通信序列熵是表征網(wǎng)絡(luò)整體結(jié)構(gòu)信息的有效測度.

在文獻[16—22]中已經(jīng)研究了不同拓撲結(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)對電輸運性能的影響,本文將從信息的角度尋求影響網(wǎng)絡(luò)電輸運性能的關(guān)鍵測度,預測復雜網(wǎng)絡(luò)的電輸運性能與其通信序列熵之間的緊密聯(lián)系.為了探索這其中的關(guān)聯(lián),系統(tǒng)地研究了小世界網(wǎng)絡(luò)、無標度網(wǎng)絡(luò)、關(guān)聯(lián)無標度網(wǎng)絡(luò)、有社團結(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)以及IEEE57等節(jié)點網(wǎng)絡(luò)的通信序列熵和電輸運性能之間的關(guān)聯(lián)特性.最終的研究結(jié)果表明,對于小世界網(wǎng)絡(luò)、無標度網(wǎng)絡(luò)、關(guān)聯(lián)無標度網(wǎng)絡(luò)、社團網(wǎng)絡(luò)以及IEEE57等節(jié)點網(wǎng)絡(luò)而言,它們的通信序列熵與電輸運性能成正關(guān)聯(lián).這一發(fā)現(xiàn),對構(gòu)建高效率的電輸運網(wǎng)絡(luò)具有一定的指導意義,換句話說,可以通過提高網(wǎng)絡(luò)的通信序列熵來優(yōu)化它們的電輸運性能.

2 方 法

2.1 網(wǎng)絡(luò)通信序列熵的定義

考慮一個由N個節(jié)點和E條邊組成的無權(quán)無向網(wǎng)絡(luò),鄰接矩陣用N×N的矩陣A表示,矩陣元素用aij表示.如果節(jié)點i和節(jié)點j之間直接相連,則aij=1,否則aij=0.為了表征節(jié)點間的通信能力,Estrada等[34?36]提出了網(wǎng)絡(luò)的通信矩陣:

任意一對節(jié)點i和j之間的通信能力對應于通信矩陣C第i行j列的元素,即cij.使用特征值分解可以將鄰接矩陣分解為A=QΛQ?1,從 而eA=QeΛQ?1,這樣便可求出矩陣C的矩陣元,其中Q是一個由標準正交基組成的正交矩陣.

考慮到通信矩陣C的對稱性,這里僅將矩陣C對角線上方的元素cij(i

S(P)稱 為網(wǎng)絡(luò)的通信序列熵,這里規(guī)定 0 log20:=0.為了消除網(wǎng)絡(luò)尺寸效應,定義標準熵為

2.2 網(wǎng)絡(luò)電輸運性能的表征

本文為了表征整個網(wǎng)絡(luò)的電輸運性能,利用文獻[16—22]采用的方法將網(wǎng)絡(luò)的所有連邊視為電阻并在任意一對節(jié)點i和j之間外加電源裝置,這樣,運用歐姆定律和基爾霍夫定律便可求出節(jié)點i和j之間的局部電導Gij,所有節(jié)點間的平均全局電導被用來表征網(wǎng)絡(luò)的電輸運性能,即

3 特殊網(wǎng)絡(luò)的SN與之間關(guān)聯(lián)性的理論研究

接下來將首先對幾種特殊網(wǎng)絡(luò)SN和進行相應的理論研究.

孤立節(jié)點網(wǎng)絡(luò)鄰接矩陣A的特征值全為0,eA=I,I是N階單位矩陣.由于孤立節(jié)點網(wǎng)絡(luò)不同節(jié)點之間沒有邊相連,所以它們之間的通信能力均為 0,每個節(jié)點的自通信為 1,通信序列為P={0,···,0},因此通信序列熵SN=0.此外,孤立網(wǎng)絡(luò)任意一對節(jié)點間的局部電導均為 0,故平均電導=0.

完全網(wǎng)絡(luò)鄰接矩陣A有N?1 個特征值等于–1,還有一個特征值是N?1,因此,通信矩陣的對角線元素為cii=(eN+N?1)/(Ne)[36],剩下的非對角元素均相等,即cij,i=j=(eN?1)∑/(Ne).于是,通信矩陣對角線上方元素之和為i

因此可以根據(jù)(3)式計算出完全網(wǎng)絡(luò)的通信序列熵:

由于完全網(wǎng)絡(luò)中任意一對節(jié)點都有直接相連的邊,所以通信序列中的元素是相等的,熵是最大的.

不難想象完全網(wǎng)絡(luò)的平均電導也是最大的.為了證實這一點,這里以三個節(jié)點的完全網(wǎng)絡(luò)來說明任意一對節(jié)點之間電導的計算過程.如圖1,假定每條邊對應一個單位電阻,即R=1,加在任意一對節(jié)點之間的是一個單位電流源.

根據(jù)并聯(lián)電路分流定律知I=I1+I2,即有為節(jié)點 1 和 2 之間的等效電阻.同理,G13=1.5,G23=1.5.所以平均電導=1.5.以此類推,對于N個節(jié)點的完全網(wǎng)絡(luò),平均電導如下:

圖1 完全網(wǎng)絡(luò)任意一對節(jié)點之間等效電導的計算過程Fig.1.The calculation of equivalent conductance between any pair of nodes in a complete network.

因此,對于一個節(jié)點數(shù)量為N的網(wǎng)絡(luò),有

星型網(wǎng)絡(luò)鄰接矩陣A有兩個非零特征值,分別為如果設(shè)定中心節(jié)點是1,則中心節(jié)點的自通信能力為由于任意一個邊緣節(jié)點到中心節(jié)點的距離均為1,所以通信矩陣第一行和第一列的元素均相等,即

對角線上的其余元素也相等,cii=(c11+N?2)/(N?1)(i=2,···,N).不難想象,任意一對邊緣節(jié)點間的最短路徑距離均等于2,因此通信矩陣中剩余元素均等于

于是,星型網(wǎng)絡(luò)的通信序列為

相應的通信序列熵:

對于星型網(wǎng)絡(luò),每條邊對應的局部電導均等于1,即G1i=1(i2).當輸入輸出節(jié)點均不為中心節(jié)點時,輸入節(jié)點和輸出節(jié)點間的局部電導Gij=0.5(i=j=1).因此星型網(wǎng)絡(luò)的全局平均電導為

因此,對于孤立節(jié)點網(wǎng)絡(luò)、完全網(wǎng)絡(luò)和星型網(wǎng)絡(luò),可以得出如下結(jié)論:SN(孤立)

4 復雜網(wǎng)絡(luò)SN與之間的關(guān)聯(lián)性研究

本節(jié)以小世界網(wǎng)絡(luò)[6]、無標度網(wǎng)絡(luò)[7]、關(guān)聯(lián)無標度網(wǎng)絡(luò)、有社團的網(wǎng)絡(luò)[37]以及IEEE57等節(jié)點網(wǎng)絡(luò)為例研究復雜網(wǎng)絡(luò)的通信序列熵和電輸運性能之間的關(guān)聯(lián)特性.

4.1 小世界與無標度網(wǎng)絡(luò)

圖2 WS 小世界網(wǎng)絡(luò)的 (a) 通信序列熵 SN 和 (b) 平均全局電導與 重連概率 Prew 的依賴關(guān)系; (c),(d) 相應的 SN 與之間的關(guān)系Fig.2.Dependence of (a) communicability sequence entropy S N and (b) mean global conductance on rewiring probability of WS small-world network; (c),(d) the relation between SN and of WS small-world network.

在圖2(a)和(b)中分別展示了WS小世界網(wǎng)絡(luò)的通信序列熵SN,平均全局電導與重連概率Prew的關(guān)系,其中網(wǎng)絡(luò)尺寸N=1000,表示網(wǎng)絡(luò)的平均度.在重連概率Prew從 0 (對應一個完全規(guī)則的網(wǎng)絡(luò))增加到1 (對應一個完全隨機的網(wǎng)絡(luò))的過程中,網(wǎng)絡(luò)的SN和均呈現(xiàn)出增大的趨勢.對于較小的Prew,SN和呈現(xiàn)非常緩慢的增長趨勢,當Prew近似大于 1 0?2時,SN和都呈現(xiàn)出明顯的增長趨勢.由此可以得出在網(wǎng)絡(luò)節(jié)點和邊一定的情況下,SN(規(guī)則)

這里,采用Gao個人網(wǎng)站[38]上的算法生成無標度網(wǎng)絡(luò)并控制最大節(jié)點度kmaxN1/2,以保證不同度分布指數(shù)γ下的無標度網(wǎng)絡(luò)具有相同的平均度,并且使生成的網(wǎng)絡(luò)近似于無關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò).進而研究通信序列熵SN,平均全局電導與度分布指數(shù)γ的依賴關(guān)系.其中網(wǎng)絡(luò)尺寸N=1000,代表網(wǎng)絡(luò)的平均度.圖3(a)和(b)顯示,在嚴格控制成本后,熵SN隨著γ的增大逐漸增大,也隨著γ的增大而增大.并且在節(jié)點一定的情況下,SN和都 會隨著的增大而增大.在文獻[16]中已經(jīng)詳細地研究了無標度網(wǎng)絡(luò)P(k) ～k?γ的電輸運性能.在本文中,會 隨著γ的增大而增大,而文獻[16]恰好顯示了一個相反的結(jié)果,但這二者并不矛盾,原因是文獻[16]并沒有嚴格控制不同度分布指數(shù)下的無標度網(wǎng)絡(luò)具有相同的平均度.在他們的模型中,平均度會隨著γ的增大而減小.而我們顯示的結(jié)果表明在控制不同γ的無標度網(wǎng)絡(luò)具有相同的平均度這一前提下,將 隨著γ的增大而增大.類似地,將與SN映射在同一個坐標系下,從圖3(c)和(d)中可以明顯地看出二者也成正關(guān)聯(lián).對于無標度網(wǎng)絡(luò),隨著度分布指數(shù)γ的增大,節(jié)點之間的通信能力變得越來越均勻,網(wǎng)絡(luò)逐漸從有序向無序轉(zhuǎn)變,當γ→ ∞時,網(wǎng)絡(luò)幾乎是一個ER隨機網(wǎng)絡(luò),此時通信能力變得最均勻,達到最無序的狀態(tài),所以SN會隨著γ的增大而增大.另一方面,在無標度網(wǎng)絡(luò)中,由于存在樞紐節(jié)點,在電輸運模型中,這些節(jié)點會影響電輸運效率[16].所以當γ逐漸增大時,網(wǎng)絡(luò)向隨機網(wǎng)絡(luò)演化,度-度異質(zhì)性變?nèi)?樞紐節(jié)點的影響力越來越小,電輸運性能不斷增強.

圖3 無標度網(wǎng)絡(luò)的 (a) 通信序列熵 SN 和 (b) 平均全局電導與 度分布指數(shù) γ 的依賴關(guān)系; (c),(d) 將與 SN 映射在同一坐標系下的結(jié)果Fig.3.The dependence of (a) communicability sequence entropy S N and (b) mean global conductance on degree distribution exponent γ of scale-free network; (c),(d) the results of mapping w ith SN in the same coordinate system.

4.2 關(guān)聯(lián)無標度網(wǎng)絡(luò)

大多數(shù)真實網(wǎng)絡(luò)不僅具有度分布的無標度特性,而且還具有度-度關(guān)聯(lián)特性.實證表明,絕大多數(shù)社會網(wǎng)絡(luò)呈現(xiàn)正關(guān)聯(lián)特性,而自然網(wǎng)絡(luò)則趨向于負關(guān)聯(lián)特性.常見的衡量網(wǎng)絡(luò)度相關(guān)特性的方法有基于最近鄰平均度值knn(k) 的度-度相關(guān)性和基于Pearson相關(guān)系數(shù)r的度-度相關(guān)性[39].對于前者,當knn(k) 是 關(guān)于k的單調(diào)增函數(shù)時,表明網(wǎng)絡(luò)中度大的節(jié)點傾向于連接度大的節(jié)點,網(wǎng)絡(luò)是正相關(guān)的;當knn(k) 是 關(guān)于k的單調(diào)減函數(shù)時,表明網(wǎng)絡(luò)中度大的節(jié)點傾向于連接度小的節(jié)點,網(wǎng)絡(luò)是負相關(guān)的.對于后者,若r>0,網(wǎng)絡(luò)是正相關(guān)的; 若r<0,網(wǎng)絡(luò)是負相關(guān)的; 若r=0,則表明網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點的度-度之間不具有相關(guān)性.

事實上,Xue等[20]提出了一種通過分類或選型拓撲對無標度網(wǎng)絡(luò)的傳輸效率進行調(diào)優(yōu)的方法,闡明無標度網(wǎng)絡(luò)的獨特傳輸行為是由度分布的異質(zhì)性造成的,從數(shù)值仿真結(jié)果發(fā)現(xiàn)在無標度網(wǎng)絡(luò)從異配(負關(guān)聯(lián))演變到同配(正關(guān)聯(lián))的過程中,網(wǎng)絡(luò)的平均全局電導逐漸減小(如圖4(b)和(e),度分布指數(shù)分別為γ=2.5 和γ=3.0).下面我們將研究關(guān)聯(lián)的無標度網(wǎng)絡(luò)的通信序列熵和電輸運性能之間的關(guān)聯(lián),其中N=3000,=4.圖4(a) 和 (d)分別展示了度分布指數(shù)γ=2.5 和γ=3.0 下的SN和度-度關(guān)聯(lián)系數(shù)r的依賴關(guān)系,結(jié)果表明通信序列熵SN呈現(xiàn)出與平均電導類似的變化關(guān)系,即SN是關(guān)于r的單調(diào)遞減函數(shù).在文獻[40]中,Johnson等通過引入吉布斯函數(shù)熵,利用最大熵原理證明了負關(guān)聯(lián)的無標度網(wǎng)絡(luò)的熵大于無關(guān)聯(lián)的無標度網(wǎng)絡(luò)的熵,給出了自然網(wǎng)絡(luò)趨向于負關(guān)聯(lián)特性的一個解釋.這里,基于通信序列熵也得出了同樣的結(jié)論.最后將通信序列熵SN和平均全局電導映射在同一個坐標系下(圖4(c)和(f)),可以明顯地看出SN與成正關(guān)聯(lián)特性.對于圖4(a) 和 (d),可作如下解釋: 在無標度網(wǎng)絡(luò)中由于大量的節(jié)點只擁有少量的連邊,少部分節(jié)點擁有大量的連接.因此,大度節(jié)點和大度節(jié)點相連,會導致大度節(jié)點之間具有更強的通信能力,而大部分小度節(jié)點之間的通信能力會較小,導致通信序列中元素的分布變得不均勻.于是網(wǎng)絡(luò)從異配演變到同配的過程中,通信序列熵會減小.對于電輸運性能而言,在同配模型中,大度節(jié)點和大度節(jié)點相連會導致電輸運效率下降,電導減小[20].

圖4 度分布指數(shù) γ 分別等于 (a) 2.5 和 (d) 3.0 時的關(guān)聯(lián)無標度網(wǎng)絡(luò)的通信序列熵 S N 與度-度關(guān)聯(lián)系數(shù) r 的依賴關(guān)系; 相應的平均全局電導 與 關(guān)聯(lián)系數(shù) r 的依賴關(guān)系,γ 分別等于 (b) 2.5 和 (e) 3.0; (c),(f)與 SN 的關(guān)系曲線Fig.4.Dependence of communicability sequence entropy S N of the scale-free network on the degree-degree correlation coefficient r,here,the degree distribution exponent γ is equal to (a) 2.5 and (d) 3.0,respectively; (b),(e) the dependence of the mean global conductance on the correlation coefficient r ; (c),(f) the a nd SN relation curve.

4.3 社團網(wǎng)絡(luò)

實證研究表明,許多真實網(wǎng)絡(luò)都含有社團結(jié)構(gòu),即整個網(wǎng)絡(luò)由若干個社團組成,每個社團內(nèi)部之間的節(jié)點連接比較緊密,社團之間具有少量的連接.下面研究具有社團結(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)對通信序列熵和電輸運性能的影響.首先,基于文獻[37]的算法,以BA網(wǎng)絡(luò)和ER網(wǎng)絡(luò)[41]為基礎(chǔ)構(gòu)造具有社團結(jié)構(gòu)的無標度網(wǎng)絡(luò)和隨機網(wǎng)絡(luò).以BA網(wǎng)絡(luò)為例,具體算法如下: 1)按照文獻[7]的方法生成一個包含N個節(jié)點和E條邊的 BA網(wǎng)絡(luò); 2)生成a個獨立的BA社團網(wǎng)絡(luò),每個社團擁有幾乎相等的節(jié)點和邊,在各自獨立的集團中隨機選取少量的邊斷開,并將這些斷開的邊的端點連接到其他社團中斷開的邊的端點上,組成一個含有a個社團的網(wǎng)絡(luò)(圖5).

分別計算基于BA和ER的同等規(guī)模且平均度相同的社團網(wǎng)絡(luò)的通信序列熵SN,平均電導和社團數(shù)量a的關(guān)系,相應的數(shù)值結(jié)果如表1所示.隨著網(wǎng)絡(luò)中社團數(shù)量的增加,這兩種類型網(wǎng)絡(luò)的通信序列熵SN和平均電導均逐漸減小.由于社團的存在,其內(nèi)部的點連接相對稠密,社團之間的連接稀少,這就導致了通信序列中的元素分布不均勻,因而通信序列熵SN變小.社團數(shù)量越多,元素分布的不均勻性越強,通信序列熵SN就會越小.另一方面,對于電導而言,社團內(nèi)部節(jié)點之間的局部電導較大,而處在不同社團的節(jié)點對之間局部電導較小,然而這些節(jié)點對的數(shù)量占主導地位,所以平均電導隨著社團數(shù)量的增加而減小.因此,對于含有社團結(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)而言,通信序列熵SN和平均電導成正關(guān)聯(lián)特性.

表1 含有社團結(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)[BA (左),ER (右)]通信序列熵 SN 、平均全局電導與社團個數(shù)的關(guān)系Table 1.Relationship between communicability sequence entropy SN,mean global conductance and number of communities in networks[BA (left),ER (right)] containing communities.

表1 含有社團結(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)[BA (左),ER (右)]通信序列熵 SN 、平均全局電導與社團個數(shù)的關(guān)系Table 1.Relationship between communicability sequence entropy SN,mean global conductance and number of communities in networks[BA (left),ER (right)] containing communities.

ER SN images/BZ_280_721_1206_811_1285.png1(C1) 0.9363 1.9380 1 0.9704 2.2106 2 (C2) 0.8925 1.6168 2 0.9256 1.8006 3 (C3) 0.8703 1.5026 3 0.9010 1.6625 4 (C4) 0.8512 1.4401 4 0.8832 1.5728 5 (C5) 0.8440 1.3929 5 0.8704 1.5203 6 (C6) 0.8409 1.3653 6 0.8642 1.4813 BA SN images/BZ_280_721_1206_811_1285.png

圖5 以BA網(wǎng)絡(luò)為例構(gòu)建的社團網(wǎng)絡(luò)可視化圖,社團個數(shù)為1—6,分別表示為C1—C6.圖中每一個網(wǎng)絡(luò)中社團網(wǎng)絡(luò)的生成方式都是按照文獻[7]的方法生成.網(wǎng)絡(luò)規(guī)模 N=900,網(wǎng)絡(luò)邊數(shù) E ≈2700.具體算法如下: 1)首先生成一個含有900個節(jié)點,2700條邊的BA網(wǎng)絡(luò)(圖C1); 2)生成兩個含有450個節(jié)點、1350條邊的BA網(wǎng)絡(luò),然后在每個社團中隨機斷開少量的邊,并將這些斷開的邊連接到其他社團中斷開的邊的端點上,形成一個含有兩個社團的網(wǎng)絡(luò)C2; 3)以此類推,便可生成含有3,4,5,6個社團的 BA 網(wǎng)絡(luò) C3,C4,C5,C6Fig.5.A visualization of the community network based on the BA network.The number of communities is 1 to 6,which are denoted as C1 to C6.The generation method of the community network in each network in the figure is generated according to the method of Ref.[7].The network size is N=900,the number of network edges is E ≈2700.The specific algorithm is as follows:1) First,a BA network with 900 nodes and 2700 edges is generated,as shown in figure C1; 2) two BA networks containing 450 nodes and 1350 edges are generated,and then a small number of edges are randomly disconnected in each community,and these disconnected edges are connected to the endpoints of the interrupted edges of other communities to form a network C2 containing two communities; 3) in this way,BA network C3,C4,C5 and C6 containing 3,4,5 and 6 communities can be generated.ntaining 3,4,5 and 6 communities can be generated.

4.4 IEEE57和IEEE118節(jié)點網(wǎng)絡(luò)

最后,以IEEE57節(jié)點和IEEE118節(jié)點供電網(wǎng)絡(luò)為例,測試了三個dk隨機化參考模型 (d=0,1,2) 以及網(wǎng)絡(luò)本身的通信序列熵和平均全局電導,結(jié)果如表2 所示.這里,d=0 可以保證在隨機布線的過程中與原網(wǎng)絡(luò)具有相同的節(jié)點數(shù)和邊數(shù);d=1可以保證隨機布線的過程中與原網(wǎng)絡(luò)具有相同的節(jié)點數(shù)和度分布;d=2 則是保證與原網(wǎng)絡(luò)具有相同節(jié)點、度分布和二階度相關(guān)性.顯然,階數(shù)d越大,隨機化網(wǎng)絡(luò)模型就越接近原始的網(wǎng)絡(luò).隨機化參考模型采用文獻[42]中的算法生成.結(jié)果表明,從0階模型演化到2階模型的過程中,通信序列熵和平均電導均逐漸減小,并且都大于原始網(wǎng)絡(luò)的通信序列熵和平均電導.這是因為在不考慮權(quán)重的情況下,0階模型是最無序的,通信序列元素集中在某個值附近,熵最大.隨著階數(shù)的增加,網(wǎng)絡(luò)逐漸從無序狀態(tài)轉(zhuǎn)變到有序狀態(tài),熵逐漸減小.對于電輸運性能而言,真實的網(wǎng)絡(luò)通常是復雜拓撲結(jié)構(gòu)的共同體,根據(jù)前面的研究結(jié)論,真實網(wǎng)絡(luò)的電輸運性能比其各階隨機化模型的電輸運能力要小是不難理解的.另外可以推測出當隨機化模型階數(shù)充分高時,相應的通信序列熵SN和平均電導將無限的接近于原始網(wǎng)絡(luò)的SN和.因此,可以得出SN和成正關(guān)聯(lián).需要指出的是,這里討論的均是無權(quán)網(wǎng)絡(luò),然而對于真實電氣節(jié)點網(wǎng)絡(luò)而言,每條連接都是有權(quán)重的,通信序列熵能否有效表征有權(quán)重網(wǎng)絡(luò)的電輸運能力是下一步要研究的內(nèi)容.

表2 電力供需網(wǎng)絡(luò)以及對應的隨機化參考模型的 SN 和平均電導,IEEE57 (左),IEEE118 (右)Table 2.Power supply network and corresponding randomized reference model S N and mean global conductance,IEEE57 (left),IEEE118 (right).

表2 電力供需網(wǎng)絡(luò)以及對應的隨機化參考模型的 SN 和平均電導,IEEE57 (左),IEEE118 (右)Table 2.Power supply network and corresponding randomized reference model S N and mean global conductance,IEEE57 (left),IEEE118 (right).

IEEE57 SN images/BZ_280_721_1206_811_1285.pngIEEE118 SN images/BZ_280_721_1206_811_1285.png0階 0.8744 0.6404 0階 0.8884 0.7418 1階 0.8502 0.6302 1階 0.8692 0.7388 2階 0.8391 0.6225 2階 0.8689 0.7086原始 0.8116 0.5616 原始 0.8029 0.4981

5 結(jié) 論

在文獻[33]中已經(jīng)提出了可以基于通信函數(shù)[34,35]的通信序列熵來表征網(wǎng)絡(luò)的整體拓撲信息,并基于該測度比較成功地量化了網(wǎng)絡(luò)之間的差異性.本文從網(wǎng)絡(luò)的通信能力這一角度系統(tǒng)地研究了網(wǎng)絡(luò)的電輸運性能與通信序列熵的關(guān)聯(lián)性.首先,通過對孤立節(jié)點網(wǎng)絡(luò)、完全網(wǎng)絡(luò)和星型網(wǎng)絡(luò)等特殊網(wǎng)絡(luò)的通信序列熵SN,電輸運性能指標進行相關(guān)的理論研究,發(fā)現(xiàn)這三種網(wǎng)絡(luò)的SN大小順序與的大小順序是一致的.其次,在聚焦網(wǎng)絡(luò)成本(節(jié)點和邊)一定的條件下,研究了小世界網(wǎng)絡(luò)、無標度網(wǎng)絡(luò)、關(guān)聯(lián)無標度網(wǎng)絡(luò)、有社團結(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)以及IEEE57 等節(jié)點網(wǎng)絡(luò)的SN與之間的關(guān)聯(lián).研究發(fā)現(xiàn),這些網(wǎng)絡(luò)的SN與成正關(guān)聯(lián).具體來講,從規(guī)則網(wǎng)絡(luò)演變到小世界網(wǎng)絡(luò)的過程中,網(wǎng)絡(luò)的SN和都逐漸增大; 對于無標度網(wǎng)絡(luò),在度分布指數(shù)逐漸增大的過程中,網(wǎng)絡(luò)的SN和均逐漸增大; 對于度-度關(guān)聯(lián)性改變的無標度網(wǎng)絡(luò),從異配演變到同配的過程中,SN和都逐漸減小; 對于含有社團結(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò),SN和均隨著社團數(shù)量的增加而減小.最后研究了IEEE57和IEEE118兩個經(jīng)典的節(jié)點供電網(wǎng)絡(luò)以及相應的隨機化模型的SN和之間的關(guān)聯(lián).結(jié)果表明,隨著隨機化模型階數(shù)d的增加,SN和都逐漸減小,并且都越來越接近原始網(wǎng)絡(luò)的SN和.綜上所述,對于以上所研究的網(wǎng)絡(luò)而言,它們的通信序列熵與電輸運性能成正關(guān)聯(lián).這一發(fā)現(xiàn),為設(shè)計高傳輸效率的電輸運網(wǎng)絡(luò)提供了一個有效的策略,即可以通過提高網(wǎng)絡(luò)的通信序列熵來優(yōu)化其電輸運性能.值得注意的是,本文尋求出了一個影響電輸運性能的關(guān)鍵結(jié)構(gòu)測度,但對于特定網(wǎng)絡(luò),并未展開討論如何改變其結(jié)構(gòu)來提高通信序列熵,進而提升網(wǎng)絡(luò)的電輸運性能,然而,后者在工程實際中卻具有更為廣泛的應用價值.為此,這些問題有必要在今后的工作中進一步探索.