論述數(shù)學不等式的學習和解題技巧

◆摘 要：不等式的學習整個數(shù)學課程中最重要的組成部分，更是學習過程中的重點、難點，因此在學習過程中需要我們給予充分的重視。本文主要介紹了在高中學習數(shù)學不等式過程中學習方法和解題技巧，主要目的是能夠幫助更多的同學在學習不等式過程中能夠做到驅動我們在一定程度上完成相應的目標任務，提升解題的速度和正確率，由此激發(fā)我們更多同學學習數(shù)學的興趣，培養(yǎng)其實踐和創(chuàng)新能力。

◆關鍵詞：不等式；學習方法；解題技巧

不等式在高中學習中占據(jù)了重要的地位，在很多考試題目中更融入了不等式的思想，但由于在不等式學習中是擁有很強的抽象性，故而在解答不等式過程不明不白，思路不清晰，步驟不完整。更甚者見到不等式便放棄了其解答，進而使得一部分同學在學習不等式的過程中望而卻步，其實實際上在不等式的學習和解答過程中并沒有多大的難處，結合本人自身的學習經(jīng)驗，只要理清思路，掌握好解題方法，抓住易錯題型，掌握解題技巧，這樣就能更快的發(fā)現(xiàn)問題并能解決問題。

一、忽視不等式定義域或取值范圍

在解題過程中無視題干中已知定義域和變量的取值范圍，或是隱藏在函數(shù)自身性質中的定義域，進而導致在實際解題中的偏差和錯誤。所以在解題過程中應該牢牢抓住不等式中基本的函數(shù)定義域規(guī)則，例如分數(shù)的分母不能為0；偶次方根的底數(shù)大于等于0；對數(shù)函數(shù)的底數(shù)應該大于零且不等于1，真數(shù)大于0；指數(shù)函數(shù)的底數(shù)應該大于0且不等于1；0的零次方?jīng)]有任何意義。例如在解決絕對值不等式時，可以通過變形去掉絕對值的符號，將其轉化為相同區(qū)間的一元一次、一元二次或者是一元三次的方程或方程組進行解答，在解答的同時對定義域進行分析，注意自變量的區(qū)間范圍。在上面的舉例中我們不難看出在解答不等式題目中應該注意分析包含在題干中的隱藏條件，充分了解函數(shù)的基本性質，充分理解函數(shù)定義域的取值范圍。

二、數(shù)形結合不等式

很多同學在面對一些無法直接運算的題目時，不知從何下手，本人在遇到此種類型的不等式時，通過大量的做題可以發(fā)現(xiàn)運用數(shù)形結合的方式進行解答?？偟膩碚f也就是運用了由形化數(shù)，由數(shù)化形以及兩方面轉換，通過這三種解題思路來說，更是要根據(jù)具體的不等式題型進行分析，與此同時轉換數(shù)形兩者角色來說也有三種途徑：①建立坐標系，直觀的顯現(xiàn)不等式的狀態(tài)；②轉化不等式，通過不同的途徑進行分析；③構造不等式，在原本沒有的基礎上進行函數(shù)構造或構建相應的幾何圖形。就數(shù)形轉換來說通常出現(xiàn)在不等式的參數(shù)取值范圍和解不等式的題型中，這樣可以使原本較為抽象的知識具體化，更加直觀地得到答案，提高解題的正確率。

三、均值不等式

均值不等式也是不等式題型中常見的解答題目，按照不等式基本性質來說，我們可以進行總結即[a2+b2≥2ab]，不限定其他條件，但是由基本不等式可以推出[a2+b2≥2ab]，再次化簡得[（a+b）2≥ab]，這個不等式就是均值不等式即兩個正數(shù)的算數(shù)平均數(shù)大于或等于兩個正數(shù)的幾何平均數(shù)。根據(jù)均值不等式來說可以得出：①求最值的條件：[ab]都為正數(shù)，積定和最小，和定積最大，有且僅有[ab]相等時，等式才能成立；②當這兩個正數(shù)的積位定值時，可以根據(jù)其性質求出兩者的和的最小值，當兩個正數(shù)的和位定值時，可以求得積的最小值。

四、題型解析和解題技巧

1.值域問題

針對函數(shù)求值域來說，可以進行以下三種方式進行解答，拆、湊項，系數(shù)增加法和換元法，前兩種能夠覆蓋大部分的不等式值域問題的解題思路，第三種方法可以對其進行廣泛的應用，當遇到一些沒有解題思路和突破口時可以使用此方法進行解答，尋找解題思路。

（1）拆、湊項

（2）系數(shù)增加法

例2：當x∈（0，4），求y=x（8-2x）的最大值。

分析：就本體而言，雖然是兩個式子的積形式，但由于和不為定值，故而需要研究相應的式子使得和為定值，通過分析可得（8-2x）+2x為定值，則可以按照系數(shù)減法進行拼揍可得。

（3）換元法

例3：求函數(shù)[y=x-3+2x+1]的值域。

分析：看到這樣的題目時，無法運算一次性得到結果，就可以將其進行換元，使得原有的變量轉化為二次函數(shù)進行相應的求值，進而得到原函數(shù)的值域。

2.求最值

利用均值不等式的性質求最值，有四種情況：求正數(shù)積的最大值，求正數(shù)和的最大值，根據(jù)均值不等式判斷最值得符號問題以及相應條件下的最值問題。這些題型可以運用下列三種方法進行求解：數(shù)形結合、導數(shù)法和拆分法，下面通過例題對以上三種方法進行相應的總結。

以上三種方法都能得到正確答案，但是針對不同題目可以運用不同的方法進行求解，導數(shù)和數(shù)形結合的方法針對大多數(shù)題目都能適合其求解，而對于拆分法來說方法簡單，但需要拆分到我們需要的函數(shù)中，此方法耗費的時間較長，還容易出現(xiàn)錯誤，這就需要在解此類問題時需要根據(jù)不同的類型不同的化簡方式進行求解，只有做到靈活選用，熟能生巧，才能更快更準解決問題。

五、總結

由于不等式是高中數(shù)學的學習重點和難點，也是我們高考數(shù)學必考知識點，我們在面對不等式解答前，需要熟知相應函數(shù)的基本性質，保持縝密的解題思維，要能夠梳理出解題方法和思路，不要盲目的亂套亂分析，一步一步理清解答脈絡，深刻剖析題干中隱藏的條件，羅列出相關的重要信息，進而使得不等式在化繁求簡，分段分析時不錯過每一個解答點，提升最終的解答過程和結果的正確率。不等式的學習和解題技巧不是一蹴而就的，需要舉一反三，靈活應用，不斷的總結和歸納，這樣才能在學習不等式的過程中得心應手，取得高分。

參考文獻

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作者簡介

陳維堯（1996—），男，漢族，四川省宜賓市人，本科學歷。