探究施瓦茨引理到非歐幾何

安家成 蘇州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院17 級基地班

一、施瓦茨引理

（一）施瓦茨引理1：

設(shè)f(z)是單位圓D（0，1）到自身的解析映射，滿足f(0)=0，則

該定理的證明：

證畢

（二）施瓦茨引理2：

該定理的證明：

證畢

（三）施瓦茨引理3：

用A(D(0，1))來表示所有由D(0，1)到自身的解析自同胚所組成的群，

這一性質(zhì)我們稱它是D(0，1)在群A(D(0，1))作用下是可傳遞的.

通過“從z 到0”可知，對于D(0，1)中任意兩個點均存在一個

解析自同胚將一個點映射到另一個點，

∴我們可以將“f(0)=0”這一條件去掉，即施瓦茨引理：

該定理的證明：

證畢

二、歐式幾何與非歐幾何

歐式幾何中的弧長公式：如果l 起點為a，終點為b，表達式為

由歐式度量所確定的歐式幾何性質(zhì)就成為歐式幾何.

即非歐度量在D(0，1)的全純自同胚的作用下保持不變

設(shè)D(0，1)內(nèi)一段分段光滑曲線l：起點為a，終點為b，表達式為z(t)，我們定義l 的非歐長度為，定義非歐距離為

非歐度量在單位圓的全純自同胚群作用下保持不變，∴曲線的非歐長度、任意兩點的非歐距離、測地線等在單位圓的全純自同胚作用下也保持不變，于是，為了研究兩個點的非歐距離，首先考慮特殊情況，

∴對于l 中 的非歐距離s(l)，有

非歐幾何最早是因為歐幾里得中的平行公理，平行公理是指：過直線 外任意一點p，存在唯一的一條直線與已知直線 平行，但是俄國數(shù)學(xué)家N.I.Lobatchevxky(1793-1856)率先對這個平行公理可能獨立于歐幾里得其他公理的問題做了深入研究.上面的在單位圓上構(gòu)造的非歐幾何模型就是由Poincare 提出，所以非歐度量也稱為Poincare 度量.Poincare 驗證了歐幾里得其他公理均成立，但是我們由以上不難看出平行公理不成立，即過測地線 外一點p，有無數(shù)條測地線與 相交，這就證明了平行公理是獨立于歐氏幾何的其他公理的.同時這也說明平行公理的反命題“過直線外一點存在無數(shù)條直線與給定直線平行”與歐式幾何的其他公理是相容的.