以簡馭繁，簡中有道

蔣智東

解析幾何，顧名思義，即用代數的方法解析幾何問題.解析幾何是高中數學的經典內容，它的學習大致分成三個階段，我們在高一階段的《必修2》中學習的“平面解析幾何初步”是第一階段.

“平面解析幾何初步”的重點是幫助同學們初步體會解析幾何的思想歷程：建立平面直角坐標系，將點用有序實數對即坐標表示，然后是將相關幾何概念、關系用坐標的語言表述出來.如確定直線的基本幾何要素是點和傾斜角，而傾斜角的代數化需要引入“斜率”這一概

同時，直線和圓可以用方程表示（從形到數）;通過方程，我們研究了直線間的位置關系、直線與圓的位置關系等（用數研究形）.這些處理問題的方法的共性是都需要把幾何問題代數化，先用方程表示直線和圓，然后再通過代數運算解決有關問題，

我們突出用坐標方法解決幾何問題的“三步曲”：第一步：建立平面直角坐標系，用坐標和方程表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為代數問題;第二步：通過代數運算，解決代數問題;第三步：把代數運算結果“翻譯”成幾何結論.這與初中階段我們直接借助幾何圖形來研究其形狀、大小、位置關系不同.實際上我們是在用代數方法研究平面幾何問題.另一方面，用代數方法研究問題也不是全新的、沒見過的，初中已經將點和有序實數對建立了一一對應關系，只是沒有系統(tǒng)地接觸解析幾何的思想方法罷了.在這里體現(xiàn)了初高中在知識上的銜接.

對于把幾何問題代數化，同一個問題也可以從不同的角度去認識.例如：通過直線和圓的方程怎樣判斷它們的位置關系？我們總結出兩種判斷方法：

從幾何角度來看，圓心到直線的距離與半徑的大小關系刻畫直線與圓的位置關系;這樣把幾何位置關系轉化為距離的代數計算;

從方程觀點來看，利用直線與圓的方程組是否有解研究曲線間的位置關系.

本質上說，兩種方法都是用坐標法解決問題，

我們認為兩種方法無所謂優(yōu)劣，強調在掌握共性（方程的方法）的基礎上注意個性（圓心距與半徑的關系）.前者更好地挖掘了網特有的幾何特征，簡化了代數運算，比聯(lián)立方程組的方法快捷.可以看出用解析法解幾何題時，對幾何對象的幾何特征的不同挖掘，轉化的代數形式不盡相同，帶來的解法是互異的，這在同學們后續(xù)的學習中體現(xiàn)得更明顯.聯(lián)立方程組的解法有著很好的認知基礎和可持續(xù)發(fā)展性.大家可以根據求兩條直線交點問題的經驗，想到判斷直線與圓的交點個數也可以通過研究方程組的解來解決.把形的問題（求直線和圓的交點）轉化為方程組的實數解的問題（數的問題）.充分體現(xiàn)了解析幾何中利用代數方法解決幾何問題的思想方法.這個解法義成為后續(xù)研究直線與圓錐曲線位置關系的“通法”.

平面直角坐標系的建立，為幾何問題的求解帶來了方便，同學們在學習過程中也易于掌握.然而，某些幾何問題用純粹的代數方法來解決，思路雖簡單，但運算往往相對較繁，導致很多同學有思路卻苦于得不到正確答案，或看著繁瑣的式子心生畏懼，不僅浪費了大量時間，還加大了心理壓力，正因為這類問題難在“算到底”，所以注意減少運算量則成為迅速、正確解題的關鍵.

針對這一問題，解決的策略很多，我們可以在解決問題中逐漸加以認識和積累.

策略一：建好平面直角坐標系

數學是研究空間形式和數量關系的科學，即研究數和形的科學，而坐標系是聯(lián)系數和形的橋梁.通過建立坐標系，可以把幾何問題轉化為代數問題，通過代數問題的求解得到幾何問題的解.

在用“坐標法”解決幾何問題時，理論上平面直角坐標系的建立是具有多樣性的，但是有一點是可以肯定的：不同的建系會使點的坐標參數的個數呈現(xiàn)差異、直線和網的方程存在繁簡之別，而且會影響到后續(xù)的代數運算量.在不失一般性的前提下，可以充分利用圖形中的特殊性，比如對稱性、垂直關系等，或者是充分利用圖形中已知長度或角度的線段所在直線作為坐標軸建立直角坐標系，就可以大大簡化運算.

策略二：數形結合，以形助數

數形結合，以形助數，體現(xiàn)了初高中銜接.同學們在初中積累掌握了許多直線和網方面的幾何基礎，這使得我們有了簡化運算的契機.

1.對幾何對象關系的認識可以幫助我們簡化運算，

比如，在落實A，B兩點關于直線l對稱時，我們的運算對象是垂直、平分，對于平分，我們只需將AB的中點坐標代入對稱軸l的方程中即可，這只是一次運算，否則，用距離公式就是二次運算，這樣就簡化了運算.

2.對求解對象的認識可以幫助我們簡化運算，

比如，直線與網相交產生的弦長、弧長，以及它們所對的圓心角問題都可以轉化到一個由半徑、弦心距、半個弦長組成的直角三角形中來求解和研究.由圓外一點向圓所引的切線長，也可以轉化到由這點和圓心、切點組成的直角三角形中求解.在這些問題中，借助直角三角形的邊角關系，可以簡化運算.

3.對圖形的認識可以幫助我們簡化運算，

比如：直線mx +y+2m+l=0與圓O：x2+y2=8恒有公共點，求實數m的范圍.

本題的優(yōu)解為直線所過的定點（-2，-1）在圓上或在圓內即可.這就體現(xiàn)和突出了對圖形的認識，充分利用了直線方程中參數對直線特征的作用，強調作圖，而不是純代數的推導.

還有，角平分線就是角兩邊的對稱軸;圓外一點與圓上動點連線段的最值問題可以轉化為這點與圓心連線段與半徑的關系;圓上動點與和它相離的一條直線上的動點連線段的最值問題可以轉化為圓心到這條直線的距離與半徑的關系;兩條直線將一個圓四等分，則四個交點構成一個正方形等等，

對幾何特征的不同角度的挖掘，轉化成的代數問題不同，解決問題的難易程度也不同.上述轉化都可以大大簡化運算，這需要我們在解題時加以分析體驗，

幾何要素（確定直線和圓的幾何要素、確定直線與網位置關系的幾何要素）以及在幾何要素引導下的代數變形，最終要回到幾何上，體現(xiàn)對幾何問題的研究，

策略三：設而不求

設而不求是指在解題時，可根據題意設出一些輔助元（參數），在求解的過程中，不必求出這些輔助元（參數）的值，僅把它作為橋梁或過渡元素，巧妙地消去這些輔助元（參數），達到降低難度的目的.在解決解析幾何問題時為優(yōu)化運算而常常采用這種方法.

策略四：特殊化思想

把研究對象特殊化是探究數學問題的重要手段.在解答數學問題時，特殊化方法常常表現(xiàn)為將一般問題特殊化處理或從特殊出發(fā)探索解題方向，以獲得問題的解決，它是一種以“退”為“進”的解題策略，用問題最特殊情形的解來得到一般問題的解，因此在選擇題和填空題等客觀問題中一定要特別注意特殊化思想的應用，一些定點、定值類問題常可用特殊化解題.總之，就是從問題的簡單化、特殊化人手解答.尤其是當我們解題束手無策時一定不能忘了特殊化思想這個“大救星”.

從形式上看，將一般性問題特殊化是不困難的，但某個一般性問題經過不同的特殊化處理會得到多個不同的特殊化命題.因此，特殊化思想的關鍵是能否找到一個最佳的特殊化問題，因為，較為理想的特殊問題是極易解決的.

總之，對于“平面解析幾何初步”中的直線和圓，無論是其本身的特征，還是它們之間的位置關系，我們都可以用代數運算的方法來加以研究落實，代數方法（運算）是本章的重要方法.上面我們從宏觀上比較籠統(tǒng)地給同學們提出了一些關于簡化運算的策略，大家可以在下面的文章中來具體學習體會這些方法。