吳加奇　張春莉

摘 要：社會的迅速發(fā)展對數學教育提出了更高的要求，現實數學教育將數學與生活緊密聯(lián)系起來的理念為數學教育指明了一個新的方向。但是教師對如何在課堂上運用這些理念真正讓學生體會數學與生活的連接，建構自己的數學系統(tǒng)，還存在疑惑。借鑒荷蘭數學教育改革的成功經驗，結合現實數學教育的內涵與策略，中國數學課堂應關注學生作品、利用學生經驗、借助具體模型來落實現實數學教育理念，幫助學生迎接未來的挑戰(zhàn)。

關鍵詞：現實數學;逐步數學化;教學現象學;模型化

中圖分類號：G427文獻標識碼：A文章編號：2095-5995（2019）04-0041-04

在信息化、自動化、數字化的影響下，各種智能計算器能夠代替學生做所有運算時，有一種聲音出現了，數學的主要功能——運算對學生來說已經沒有那么重要。[1]那么，在這樣的背景下教師應該教什么樣的數學？以什么樣的方式來教學？哈佛大學的沃夫曼（Wolfram）教授也提出了類似的疑問，同時他指出數學在生活中有著廣泛的應用，但這些應用對大眾而言都是無形的，所以新的趨勢下的數學教育應與現實結合起來，從根源上解決數學與生活的疏離印象。[2]現實數學教育（Realistic Mathematics Education，RME）是在荷蘭發(fā)展起來的數學領域的特定教學理論，是關注了現實在數學中地位的數學教育模型。荷蘭學生的數學成就在世界各國中名列前茅，這要歸功于現實數學教育。荷蘭數學現實教育提倡改變傳統(tǒng)的以教師為主的機械性教學，轉為以學生為主體的主動建構式教學。本文希望探尋現實數學教育的內涵和意義、原則和策略，探索現實數學教育如何幫助教師利用現實數學的觀念設計符合學生經驗的數學課堂，讓學生實現數學的再創(chuàng)造，為中國的數學課堂教學帶來一些啟示。

一、現實數學教育的背景與內涵

現實數學教育是由弗賴登塔爾（Freudenthal）數學教育研究所研究提出的一套理論方法。其興起的時間是20世紀60年代，當時荷蘭的數學教育以機械式的教學方法為主，作為這種機械方法的替代者，美國的新數學運動席卷了荷蘭。為了對抗美國新數學潮流所帶來的不適，發(fā)展根植于荷蘭本土的數學教育改革，現實數學教育被正式提出。[3]它是結合范希爾（Van Heile）的數學學習層級、弗賴登塔爾（Freudenthal）的教學現象學（didactical phenomenology）及特雷弗（Tereffers）的數學化綜合而來的。[4]弗賴登塔爾把數學看作人類活動的觀點，構成了現實數學教育的思想基礎。[5]他認為數學必須與現實相聯(lián)系，要接近學生的經歷，要與社會生活相關，而且要體現出人類的價值。數學不是一個閉合的系統(tǒng)，而是一個數學化的活動。[6]這就體現了現實數學教育的核心：現實與數學化。

現實意味著獲得數學知識的經歷是現實的，每個人都要在真實的過程中逐漸積累數學知識。學生通過已熟悉的生活學習數學，使數學學習與生活密切相關，學習內容也與現實生活密切聯(lián)系。在學習過程中，豐富的、現實的情境被賦予了突出的地位。弗賴登塔爾有一句名言：與其說是學習數學，還不如說是學習“數學化”;與其說是學習公理體系，還不如說是學習“公理化”;與其說是學習形式體系，還不如說是學習“形式化”。他認為，人們運用數學的方法觀察現實世界，分析研究各種具體的現象，并加以整理組織，這個過程就是數學化。一般來說，數學化是一種由現實問題到數學問題，由具體到抽象的認知活動，是人類發(fā)現活動在數學領域里的具體表現。數學化分為橫向數學化和縱向數學化。[7]這兩種數學化是緊密連接在一起的，橫向數學化完成將生活問題轉化為數學問題，縱向數學化繼續(xù)將數學問題與數學系統(tǒng)聯(lián)系在一起，深入數學探索。

二、荷蘭現實數學教學策略

現實數學教育強調數學課堂教學的一個很重要的作用就是讓學生建立起生活與數學的聯(lián)系，讓學生建構自己的數學現實。弗賴登塔爾認為學生應該有一個體驗數學的過程，在這個過程中學生以原有的數學經驗為起點，在教師的引導下制定出自己的一條學習路線，自己創(chuàng)造數學。為了給現實數學教育賦予更多的課堂操作性，弗賴登塔爾數學教育研究所學術領導人之一格雷邁杰爾（Gravemeijer）基于數學現實教育，提出了數學教學中的三種啟發(fā)式教學法，分別是逐步數學化的再創(chuàng)造、教學的現象分析以及即時建模。[8]

（一）通過逐步數學化引導學生再創(chuàng)造

弗賴登塔爾認為數學是一種活動，而不是一個封閉的系統(tǒng)，學生學習數學是一個數學化的過程。學生在學習數學知識之前，每個人都有自己的數學現實，教師的一個很重要的任務就是了解學生的數學現實。這些數學現實可能是來自于現實生活的簡單圖形或是簡單計算，但它們是重要的教學資源，是學生學習的起點，是學生構造自己學習軌跡的支撐材料。通過了解學生的數學現實，教師可以引導和幫助學生從自己的數學現實出發(fā)逐步創(chuàng)造出自己的知識體系，這就是通過逐步數學化而達到再創(chuàng)造。

（二）教學的現象分析

教學的現象分析是根據弗賴登塔爾的教學現象學提出來的，重點在于探討情境作為學生學習起點的重要性。在這里教學現象指能夠幫助學生計算、推理和數學化的情境以及一些概念和工具。[9]特殊的問題情境是學生數學化的基礎，能夠讓學生體會到數學是來源于生活并且會應用于生活，這也是現實數學所強調的。如果教師將抽象數學內容直接教給學生，學生是很難接受的。所以，教師需要將數學教學內容融入學生熟悉的情境，讓學生在情境中逐漸體會和學習數學知識。

（三）模型化

模型化是指有效地使學生的數學思維從情境層次向更高層次發(fā)展的一種教學行為。[10]數學模型既有具體的模型，又有抽象的模型。人們學習數學模型，就是要從現實中獲得一個具體的模型，通過對這個具體模型的認識而得到抽象的數學模型，又進一步把數學模型具體化為現實的模型。[11]長期以來，建模一直是國際上所提倡的數學技能，然而在日常的學校教育實踐中，學生的數學建模能力一直沒有得到很好的培養(yǎng)。數學教育的建模研究傾向于關注建模在學生學習某些數學概念方面的作用。[12]然而，生活中人們建立模型的動機是為了解決一個實際問題，而不是為了學習數學概念。所以，教師引導學生通過實際情境建模才能夠更好地培養(yǎng)學生應用數學的能力?，F實數學教育中的模型化是垂直數學化的過程，模型起到了溝通不同理解層次的作用。學生需要知道模型的內在關系，而不只是收獲一兩個解決特殊問題的公式。學生需要掌握的模型是一般化的?，F實數學教育中的模型都是源自具體的問題情境，這樣解決數學問題就有了實際意義。學生解決同類問題越有經驗，這個模型也就掌握得越發(fā)牢固。

三、中國現實數學教學策略

荷蘭的現實數學教學策略也為我們帶來一些啟示：數學教育目標由“雙基”向“四基”轉變，數學教育越來越關注現實生活與數學的聯(lián)系，將數學定位為能夠幫助學生更好地生活的一門學科。

（一）關注學生作品，讓學生通過數學化實現再創(chuàng)造

在教學中，教師的目標都是幫助學生數學化，但是在教學過程中很多教師忽略了逐步實現這個的過程。一些教師常常急于讓學生掌握最簡潔的成果，而忽略了學生建立思維的過程。數學化的結果固然重要，但逐步建立的過程必不可少，否則學生只是按照教師的思路在學習，而沒有自己進行數學化，更沒有可能自己進行再創(chuàng)造。下面通過“11-20各數的認識”一課的教學實例來說明教師如何引導學生逐步數學化。

在“11-20各數的認識”一課的教學中，教師提出了這樣的問題：“通過小棒擺一擺，怎樣能夠一眼看出是12根小棒呢？”學生呈現了如圖1的作品：

顯然這些學生作品的呈現層次就隱含著逐步數學化的過程。教師接著問學生：“你覺得哪種擺法可以一眼看出是12根？”在教師的引導下，學生很快發(fā)現，前三個作品都不能一眼看出來，而是要通過計算，而第四個作品可以一眼看出是12根。大多數時候教學在這里就停止了，像是完成了數學化的過程，而我們聽到一位教師有不同的處理辦法。就在大多數學生都認可第四個作品時，教師開始引導學生提出疑問。有學生提出了質疑，10個擺一堆才能一眼看出來，怎么保證那一堆就是10個呢？其實這堂課這位學生的質疑才是點睛之筆。這一堆為什么是10個呢，學生按群認數最多能認識5個或者6個，10個一堆不容易按群認出來?？墒鞘畟€十個數顯然更方便，怎樣解決這個問題呢？這時教師拿出了一根橡皮筋，這是學生之前學習“1-10的認識”時見過的，啟發(fā)學生想到約定10根小棒捆成一捆，能夠看到用橡皮筋捆成一捆就想到10。到這里十進制的概念才真正轉化為學生自己的經驗，實現了數學的再創(chuàng)造。

在課堂教學中，教師一定要關注各個層次的學生作品來呈現學生的學習過程，呈現出數學化的路徑，讓學生看到逐步數學化的過程，不能省略其中的關鍵步驟。利用教師呈現的數學化的過程，學生能夠在學習過程中了解知識形成與發(fā)展的過程，更好地將數學知識與自己的原有經驗結合起來，從逐步數學化的程序中反思自己的思考步驟，學會數學化的方法，建構自己的知識結構。

（二）利用學生經驗，從情境推動學生思維的發(fā)展

教學的起點是學生的經驗，教師將數學知識與學生熟悉的經驗結合在一起能夠更好地幫助學生理解數學概念，下面通過“集合”一課的教學案例來說明。

集合的學習對于小學生來說有一定難度，集合這個概念比較抽象，當兩個集合有交集的時候，原先直接把兩部分加起來求總數的經驗已不再適用。教師在教學中需要巧妙地利用學生的經驗來幫助學生理解集合的概念。首先，教師給出了一幅圖，圖中有蘋果、菠菜、梨、土豆，讓學生把相同類別的物品圈在一起，來感受相同類別的物品可以組成一個集合。接著教師提出了這樣的情境性問題：“咱們班的同學前段時間參加了語文和數學的競賽，4位同學獲得了語文優(yōu)勝獎，5位同學獲得了數學優(yōu)勝獎，但獲獎人數卻只有8位，大家知道是怎么回事嗎？”面對這個真實的情境問題，學生對結果十分好奇，“明明語文和數學一共有9張獎狀，為什么只有8個人呢？”“4+5=8這個算式不成立啊，怎么回事？”這時有位同學說道：“XXX同學平時語文和數學都很好，會不會他既得了語文優(yōu)勝獎，又得了數學優(yōu)勝獎呢？”這位學生的提示幫助大家解開了迷思。于是教師選了幾位學生在臺上演示，讓大家來觀察。臺上演示的學生讓獲得語文優(yōu)勝獎的學生站在左邊，獲得數學優(yōu)勝獎的站在右邊，而把學生XXX放在了中間，他們認為這一位學生和兩邊的獲得語文或者數學優(yōu)勝獎的學生不一樣。教師質疑道：“那XXX同學既不屬于左邊這個集合也不屬于右邊這個集合，那和臺下沒有獲獎的同學有什么區(qū)別？”學生開始思考怎樣表示出XXX同學既屬于左邊又屬于右邊。教師鼓勵學生用集合圈把自己的思考表示出來。這個外顯化的操作，讓學生紛紛有了想法，學生紛紛畫出了自己的集合圈。

畫圖后，學生理解到兩個集合圈包含了三個部分，即只獲得語文優(yōu)勝獎的學生、只獲得數學優(yōu)勝獎的學生和兩個獎都獲得的學生。那么算式就應該是3+1+4=8，也有學生寫出了4+5-1=8的算式，將重復計算的人數減去得到最后的答案。接著教師繼續(xù)啟發(fā)道：“圖中是有8位同學獲獎，那么獎狀數目不變，獲獎人數還有沒有其他可能？”借助現實的經驗以及直觀的操作，學生把可能的情況考慮得非常全面，還創(chuàng)造性地畫出了一個集合包含另一個集合的情況，如圖2所示?？梢姡挥谐浞掷脤W生經驗建立起的情境，才有可能幫助他們完成自己的再創(chuàng)造。

在教學中，教師選用適當的情境、概念來導入新的學習內容是十分必要的。而且同一個內容可能有很多原型可以聯(lián)系起來，教師應對比不同的情境選用一種或幾種適合學生的教學現象來幫助學生建立新的認識。這不但要求教師涉獵廣泛，了解數學發(fā)展的歷程，也要求教師能夠聯(lián)系不同的事物為學生提供豐富的情境幫助學生數學化。

（三）借助具體模型，幫助學生搭建通往正式數學的橋梁

在教學中，教師會遇到這樣一個問題：同一個類型的問題，學生只會做教過的那一種，面對變式學生就像遇見新問題一樣不知所措或錯誤百出，不能進行知識遷移。這是因為學生只掌握了一兩個具體的模型，并沒有將模型一般化讓其適應其他類似的情況。下面以“植樹問題”一課為例來闡述教師怎樣搭建模型讓學生掌握一般化的知識模型。

教師用植樹節(jié)的情境引入這堂課，并提出問題：如果園林工人要在全長1000米的小路一邊植樹，每隔10米栽一棵（兩端要栽），一共要栽多少棵樹？學生給出了很多答案：

作品一 1000÷10=100（棵）

100+1=101（棵）

作品二 1000÷10=100（棵）

100+2=102（棵）

作品三 1000÷10=100（棵）

100×2=200（棵）

此時學生只是利用已有經驗列式，對結果的含義并沒有深入地思考，出現了多樣性的答案。這時，教師并沒有急于給出評判，而是繼續(xù)給學生充分的時間，讓學生利用學具擺一擺或在紙上畫一畫，把自己的想法用實物或者圖畫呈現出來。這時學具與畫圖就是教師提供給學生的具體模型，學生可以借助具體模型來描述數量之間的關系。有的學生用一根小棒代表一段路，一個磁扣代表一棵樹;有的學生用了更抽象的線段圖模型，用點代表樹，用線段代表一段路。借助實物或線段圖，學生探索并發(fā)現兩端種樹時點與段之間的對應關系，只要抓住這個對應關系，問題就迎刃而解了。緊接著教師又引導學生對一般化模型進行推廣：如果我們把每棵樹的位置看成“點”，樹與樹之間的距離看成“段”，生活中像棵數和段數這樣有點、段關系的事物還有很多，你能舉出相關的例子嗎？由于點段之間的對應關系已經根植于學生頭腦當中，所以學生可以用點或段去代表不同的東西。于是學生紛紛舉例，如安裝路燈、鋸木頭、上樓梯、在操場上插彩旗。這些問題雖然看似不再和植樹相關，但是背后蘊含的原理卻是一致的，學生不僅學會了解決植樹問題，更是學會了解決這一類問題的模型。

我們可以看到教師的幾次引導讓學生經歷了從具體情境到數學問題的橫向數學化后，又有一個縱向數學化的過程。這個過程將具體的數學模型抽象為更一般的數學模型，讓它的應用更廣泛。所以在教學中教師要引導學生關注問題中的數學關系，幫助他們擺脫對情境中具體圖像的依賴，建立數學模型，讓數學作為一種模式的作用逐漸體現出來。

（吳加奇? 張春莉，北京師范大學教育學部，北京 100875）

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（責任編輯：夏豪杰）