徐洪斌　李田軍　方明亮　李飛

摘 要：針對(duì)常規(guī)進(jìn)化算法在求解大范圍優(yōu)化問(wèn)題時(shí)面臨計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)、占據(jù)空間大等難題，本文提出了一種簡(jiǎn)單而有效的隨機(jī)主導(dǎo)學(xué)習(xí)群優(yōu)化算法-SDLSO.該算法通過(guò)引入支配的概念，即從種群中隨機(jī)選擇兩個(gè)粒子支配該粒子時(shí)，采用速度和位置更新公式對(duì)粒子進(jìn)行學(xué)習(xí)更新，綜合權(quán)衡算法的勘探和開(kāi)采能力.為了協(xié)助粒子群跳出局部最優(yōu)，設(shè)計(jì)了一種參數(shù)自適應(yīng)更新策略.選擇CEC2010大范圍測(cè)試函數(shù)對(duì)SDLSO算法和CSO算法進(jìn)行數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)，結(jié)果表明所提出的算法可以有效求解大范圍優(yōu)化問(wèn)題.

關(guān)鍵詞：大范圍優(yōu)化;高維問(wèn)題;隨機(jī)主導(dǎo)學(xué)習(xí);粒子群優(yōu)化算法;參數(shù)自適應(yīng)策略

中圖分類(lèi)號(hào)：TP274? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? 文章編號(hào)：1673-260X（2019）11-0047-04

1 引言

盡管已經(jīng)證明現(xiàn)有的大多數(shù)進(jìn)化算法（EAs）對(duì)解決大規(guī)模優(yōu)化問(wèn)題[1]很有希望，但它們?nèi)匀幻媾R著一些局限性.特別是維數(shù)的增加給EAs帶來(lái)了以下主要的挑戰(zhàn).（1）問(wèn)題的解決方案空間通常隨著維度大小的增加呈指數(shù)增長(zhǎng).（2）局部最優(yōu)數(shù)量也可能隨著維數(shù)的增加而增長(zhǎng).一方面，隨著維數(shù)的增長(zhǎng)，一些單峰問(wèn)題可能成為具有許多局部最優(yōu)的多模態(tài)問(wèn)題.另一方面，對(duì)于一些多模態(tài)問(wèn)題，不僅局部最優(yōu)的數(shù)量可能增加，而且局部最優(yōu)周?chē)木植繀^(qū)域可能變得更寬[2-4].受到這兩個(gè)挑戰(zhàn)的影響，傳統(tǒng)的進(jìn)化算法EAs（如粒子群優(yōu)化（PSO）[5-8]和差分進(jìn)化（DE）[9，10]）的搜索效率和效率都在急劇惡化.這通常是由“維度的災(zāi)難”引起的.雖然已經(jīng)證明了現(xiàn)有的算法在處理大規(guī)模優(yōu)化時(shí)具有良好的性能，但在解決復(fù)雜的高維問(wèn)題時(shí)，大多數(shù)現(xiàn)有的EAs都需要額外的計(jì)算時(shí)間（除了函數(shù)評(píng)估時(shí)間）和占用大量的空間來(lái)定位大規(guī)模優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)值.隨著維數(shù)的增加，像這樣額外的時(shí)間和空間也會(huì)增加.

為了高效率地進(jìn)行大規(guī)模優(yōu)化.本文中，我們?cè)O(shè)計(jì)了一個(gè)簡(jiǎn)單而有效的隨機(jī)主導(dǎo)學(xué)習(xí)群優(yōu)化器（SDLSO），它不僅保留了與經(jīng)典粒子群算法相同的計(jì)算時(shí)間，而且在解決高維問(wèn)題時(shí)，由于不使用歷史上最好的位置，占用的計(jì)算空間要小得多.具體來(lái)說(shuō)，在這個(gè)優(yōu)化器中，只有當(dāng)粒子被它的兩個(gè)樣本（從當(dāng)前的群中隨機(jī)選擇的）所支配時(shí)，它才會(huì)被更新.因?yàn)槊總€(gè)更新的粒子只能從其支配者那里學(xué)習(xí)，我們將這種機(jī)制描述為隨機(jī)主導(dǎo)學(xué)習(xí)（SDL）策略.此外，為了減輕該優(yōu)化器對(duì)新引入的參數(shù)的敏感度，利用粒子的進(jìn)化信息，對(duì)SDLSO進(jìn)一步設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)參數(shù)調(diào)整策略.

2 預(yù)備知識(shí)

2.1 最優(yōu)化問(wèn)題

在不失一般性的情況下，本文考慮的最小化問(wèn)題的定義如下：

其中，由D個(gè)元素組成的x是要優(yōu)化的變量向量，D是維度大小.在實(shí)際的優(yōu)化問(wèn)題中，問(wèn)題的維數(shù)（D）多至幾百維，甚至高達(dá)千維.本文將函數(shù)值作為粒子的適應(yīng)度.

2.2 粒子群優(yōu)化

粒子群優(yōu)化（PSO）是Kennedy和Eberhart于1995年[7]引入的一種功能強(qiáng)大且廣泛使用的群體智能范例[11]，用于解決優(yōu)化問(wèn)題.該算法基于一種簡(jiǎn)單的機(jī)制——模仿社會(huì)動(dòng)物的群體行為，如鳥(niǎo)類(lèi)植絨.由于其實(shí)施簡(jiǎn)單，PSO在過(guò)去幾十年中受歡迎程度日益增加.PSO包含一群粒子，每個(gè)粒子具有在n維搜索空間中的位置和速度，表示要求解的優(yōu)化問(wèn)題的候選解.為了定位全局最優(yōu)值，使用以下等式迭代更新每個(gè)粒子的速度和位置：

其中t是迭代（代）數(shù)，Vi（t）和Xi（t）分別代表第i個(gè)粒子的速度和位置;ω稱(chēng)為慣性權(quán)重[12]，c1和c2是加速度系數(shù)[13]，R1（t）和R2（t）是在[0，1]n內(nèi)隨機(jī)生成的兩個(gè)向量;pbesti（t）是迄今為止發(fā)現(xiàn)的第i個(gè)粒子的最佳解決方案，通常被稱(chēng)為個(gè)人最佳解決方案;gbest（t）是迄今為止所有粒子發(fā)現(xiàn)的最佳解決方案，被稱(chēng)為全球最佳解決方案.Kennedy[14]提到c1R1（t）（pbesti（t）-Xi（t））和c2R2（t）（gbest（t）-Xi（t））分別作為認(rèn)知成分和社會(huì)成分.

2.3 相關(guān)的進(jìn)化算法

根據(jù)將所有的決策變量一同優(yōu)化與否，可將大多數(shù)現(xiàn)有的進(jìn)化算法分為基于分解的和基于非分解的.

（1）基于分解的進(jìn)化算法也稱(chēng)為合作協(xié)同進(jìn)化算法（CCEA），其中合作協(xié)同進(jìn)化（CC）[16]框架主要使用分而治之的策略[15]，該機(jī)制是將原問(wèn)題分解為若干個(gè)低維的子問(wèn)題.一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的CC[16]算法由分解和優(yōu)化兩個(gè)階段組成.在分解階段，原優(yōu)化問(wèn)題被分解為若干個(gè)子問(wèn)題.基于分解的算法的性能在很大程度上依賴(lài)于優(yōu)化問(wèn)題的分解策略[17].最近，Sun等人提出了一種遞歸DG方法（RDG）[18].RDG不僅能大大減少適應(yīng)度評(píng)估，而且分組的準(zhǔn)確性極高.在優(yōu)化階段，可以根據(jù)上下文向量使用EA優(yōu)化每個(gè)子問(wèn)題.上下文向量是完整的候選解決方案，通常是由來(lái)自每個(gè)子問(wèn)題的最佳子解決方案組成的.在優(yōu)化第i個(gè)子問(wèn)題時(shí)，使用上下文向量（不包括第i個(gè)子組合）與第i個(gè)子問(wèn)題中的個(gè)體組合，形成可以評(píng)估的完整候選解.最近，Yang等人提出了基于貢獻(xiàn)的CC[16]框架[19]來(lái)有效地分配計(jì)算資源，該框架可以提高算法的整體性能.

（2）基于非分解的EA和傳統(tǒng)的EA一樣將所有決策變量一起進(jìn)化，為了提高優(yōu)化器的性能，引入了許多新的進(jìn)化方案和策略.文獻(xiàn)中存在著許多該方面的工作.在這里我們主要介紹最近由Cheng和Jin提出的CSO算法[4]，其性能良好.在該優(yōu)化器中，從當(dāng)前群體中隨機(jī)選擇的兩個(gè)粒子相互競(jìng)爭(zhēng)，在競(jìng)爭(zhēng)后，獲勝者直接進(jìn)入下一代，而輸家則通過(guò)向獲勝者和群體的平均位置學(xué)習(xí)來(lái)更新.該機(jī)制稱(chēng)為競(jìng)爭(zhēng)學(xué)習(xí)策略.因?yàn)镃SO在進(jìn)化過(guò)程中可以保持高的種群多樣性，所以在處理大規(guī)模優(yōu)化時(shí)，具有良好的性能.CSO具有這種高的種群多樣性得益于它的學(xué)習(xí)策略，即直接采用在競(jìng)爭(zhēng)中的優(yōu)勝者作為指導(dǎo)粒子學(xué)習(xí)的范例.因此，CSO算法的性能超過(guò)了大多數(shù)現(xiàn)有的進(jìn)化算法.

3 隨機(jī)主導(dǎo)學(xué)習(xí)優(yōu)化算法

3.1 隨機(jī)主導(dǎo)學(xué)習(xí)策略

在詳細(xì)闡述SDLSO的機(jī)制之前，我們給出了一個(gè)粒子的支配者的定義.具體來(lái)說(shuō)，對(duì)于第i個(gè)粒子xi，只有當(dāng)xj的適應(yīng)度不比xi的適應(yīng)度差時(shí)（即 f（xj）≤f（xi）），才能將群中的粒子xj認(rèn)為是xi的支配者.然后，考慮在SDLSO中存在一個(gè)具有NP個(gè)粒子的群，隨機(jī)主導(dǎo)學(xué)習(xí)策略的關(guān)鍵步驟如下：

步驟（1）：對(duì)于每個(gè)粒子xi（1≤i≤NP），首先從當(dāng)前群中隨機(jī)選擇兩個(gè)不同的樣本，分別表示為xb1和xb2（1≤b1，b2≤NP）.應(yīng)該注意到b1≠b2≠i.

步驟（2）：然后，將兩個(gè)樣本（xb1和xb2）與xi進(jìn)行比較.只有當(dāng)xb1和xb2在適應(yīng)度方面都優(yōu)于xi時(shí)，即f（xb1）≤f（xi）和f（xb2）≤f（xi），xi才通過(guò)向它們學(xué)習(xí)來(lái)更新.否則，xi不會(huì)更新并直接進(jìn)入下一代.

步驟（3）：當(dāng)xi更新時(shí)，兩個(gè)樣本之間的較好的一個(gè)（假設(shè)它是xb1）充當(dāng)?shù)谝粋€(gè)樣本，而另一個(gè)（xb2）作為第二個(gè)樣本來(lái)指導(dǎo)xi學(xué)習(xí).具體來(lái)說(shuō)，xi更新如下：

其中xi和νi分別是第i個(gè)粒子的位置和速度向量，xb1和xb2是從群中隨機(jī)選擇的兩個(gè)不同的粒子，它們與第i個(gè)粒子不同但更好，并且xb1在適應(yīng)度方面優(yōu)于xb2，即b1≠b2≠i且 f（xb1）≤f（xb2）≤f（xi）.至于參數(shù)r1，r2和r3在[0，1]內(nèi)均勻生成，β是[0，1]內(nèi)的一個(gè)控制參數(shù)，控制第二樣本對(duì)更新xi的影響.

首先，在步驟（1）中，SDLSO不使用在經(jīng)典粒子群算法中使用pbest、ibest或gbest來(lái)指導(dǎo)[5-7][20][21]粒子的學(xué)習(xí)，而是直接采用從當(dāng)前群中隨機(jī)選取的兩個(gè)不同粒子作為樣本來(lái)更新每個(gè)粒子.不同于pbest、ibest或gbest（它們可能保持多代不變），在SDLSO中，學(xué)習(xí)樣本通常是一代一代地更新.此外，兩個(gè)樣本都是隨機(jī)選擇的，因此等式（4）中的兩個(gè)樣本對(duì)于不同的粒子可能不同.總之，我們可以看到SDLSO在樣本選擇中可以保持高的群體多樣性.

其次，在步驟（2）中，只有當(dāng)xb1和xb2在適應(yīng)度方面都優(yōu)于xi時(shí)，xi才能被更新.通過(guò)這種策略，可以為較差的粒子直接進(jìn)入下一代提供機(jī)會(huì)，這對(duì)于保持高的群體多樣性具有相當(dāng)大的幫助.此外，每個(gè)更新的粒子只能從其支配者那里學(xué)習(xí)，因此SDLSQ也可以保持快速收斂到有希望的區(qū)域，因?yàn)榱Ｗ涌偸菑母玫膮^(qū)域中學(xué)習(xí).

最后，在步驟（3）中，xb1和xb2之間較好的一個(gè)（假設(shè)它是xb1）充當(dāng)?shù)谝粋€(gè)樣本，而另一個(gè)（xb2）作為第二個(gè)樣本來(lái)指導(dǎo)粒子的學(xué)習(xí).兩個(gè)選定樣本之間較好的一個(gè)可以保留更多開(kāi)發(fā)搜索區(qū)域的潛力，并且還擁有更多有用的進(jìn)化信息來(lái)進(jìn)化群體.因此，這個(gè)樣本被作為第一個(gè)樣本來(lái)指導(dǎo)一個(gè)粒子的學(xué)習(xí)，以便更新的粒子可以快速接近有希望的區(qū)域.雖然另一個(gè)樣本稍微差一點(diǎn)，但它可能在探索搜索空間方面具有更大的潛力.作為第二個(gè)樣本，它可以防止粒子太快地更新移動(dòng)到更好的粒子.這樣，當(dāng)xb1落入局部陷阱時(shí)，更新的粒子可能從局部區(qū)域逃離.

3.2 SDLSO的自適應(yīng)參數(shù)調(diào)整

在方程（4）中，β控制第二個(gè)樣本的影響，這可以防止粒子更快地接近第一個(gè)樣本.具體而言，如果兩個(gè)選定的樣本在其適應(yīng)度方面存在很大差異，那么它們?cè)诳碧胶烷_(kāi)發(fā)方面的潛力可能存在很大差異.在這種情況下，β應(yīng)該很小，以便可以快速找到有希望的區(qū)域.但是，如果這兩個(gè)樣本在適應(yīng)度方面非常相似，那么很可能它們?cè)诳碧胶烷_(kāi)發(fā)潛力之間保持很小的差異，因此β應(yīng)該很大，以增強(qiáng)第二個(gè)樣本的影響，以便一旦第一個(gè)樣本落入局部區(qū)域，就可以加強(qiáng)預(yù)防以避免局部陷阱.

基于上述考慮，我們?yōu)棣略O(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)調(diào)整策略，具體如下：

其中βi是方程（4）中第i個(gè)粒子的β值，xb1和xb2是兩個(gè)選擇的樣本，它們?cè)谶m應(yīng)度方面都優(yōu)于xi，而且xb1優(yōu)于xb2，即f（xb1）≤f（xb2）≤f（xi）;exp（·）是以e為底數(shù)的指數(shù)函數(shù)，ξ是用于避免零分母的小正值.

從方程（6），我們可以得到三個(gè)結(jié)果.（1）不同的粒子可能有不同的β值.（2）如果兩個(gè)選定的樣本在適應(yīng)度方面有很大差異，β很小并且接近0.3.當(dāng)它們的適應(yīng)度之間幾乎沒(méi)有差異時(shí)，β很大并且接近0.5.（3）特別地，在早期階段，樣本之間的適合度通常存在很大差異，因此β通常很小.但是，隨著進(jìn)化過(guò)程的進(jìn)行，樣本之間的適應(yīng)度的差異變得越來(lái)越小.因此，β逐漸變得越來(lái)越大.特別是到了后期，由于后期粒子之間的適合度存在微小的差異，所以每個(gè)粒子的β值通常都很大.β的這種變化符合粒子在早期快速定位有希望的區(qū)域，在后期有效開(kāi)發(fā)有希望的區(qū)域，從而不會(huì)嚴(yán)重喪失多樣性的期望.

從式（4）可以看出，我們可以看到，只有當(dāng)兩個(gè)選定的樣本都是它的支配者時(shí)才更新這個(gè)粒子;否則，它將存活并直接進(jìn)入下一代.具體而言，一個(gè)粒子的隱含生存概率可以計(jì)算如下：

其中pi是第i個(gè)粒子的生存概率，c是從（NP-1）個(gè)元素中選擇兩個(gè)元素時(shí)的組合數(shù)，rank（i）是在以適應(yīng)度的升序?qū)θ航M進(jìn)行排序之后的第i個(gè)粒子的排名.從方程（7），我們可以得到三個(gè)觀察結(jié)果.（1）：在每一代中，前兩個(gè)最佳粒子的存活概率均為1.換句話(huà)說(shuō)，這兩個(gè)粒子總能存活并直接進(jìn)入下一代.（2）：最壞粒子的存活概率為0，表明每一代中最差的粒子總是更新.（3）：至于其他粒子，粒子越好，它的存活概率就越高，反之亦然.總之，不同的粒子具有不同的存活機(jī)會(huì)，這有利于SDLSO維持高的搜索多樣性.

總的來(lái)說(shuō)，我們可以看到利用粒子的進(jìn)化信息，這種調(diào)整策略可以在進(jìn)化過(guò)程中自適應(yīng)地調(diào)整每個(gè)粒子的β.

3.3 復(fù)雜性分析

總而言之，算法1給出了所提出的SDLSO的偽代碼.

Algorithm 1： The pseudocode of SDLSO

Input： swarm size NP， maximum fitness evaluations FESmax

1： Initialize particles randomly and calculate their fitness;

2： fes=NP

3： While （fes≤FESmax） do

4： For i =1：NP do

5： Select two random exemplars from the swarm：xb1，xb2;

6：? If （f（xb1）≤f（xi） && f（xb2）≤f（xi）） then

7：? ?If （f（xb1）≤f（xi）） then

8：? ? Swap b2 and b1

9：? ?End If

10：? ?Compute βi according to Eq.（6）;

11：? ?Update particle x_i according to Eq.

（4） and Eq.（5）;

12：? ?Calculate the fitness of xi： f（xi）;

13：? ?fes++;

14：? ?End If

15：? End For

16： End While

17： Obtain the globa l best? solution gbest? and its fitness f（gbest）;

Output： f（gbest） and gbest

從這個(gè)算法中，我們可以看到SDLSO直接利用當(dāng)前群中的支配者粒來(lái)指導(dǎo)粒子的學(xué)習(xí).除了函數(shù)評(píng)估時(shí)間，在每一代中SDLSO的計(jì)算時(shí)間都是O（NP×D）用于更新粒子，這些計(jì)算時(shí)間是不可避免的.因此，在計(jì)算時(shí)間上SDLSO和經(jīng)典的PSO[6-7][22]保持相同的效率.

至于空間復(fù)雜性，SDLSO占據(jù)了O（2×NP×D）的空間來(lái)存儲(chǔ)群，其中O（NP×D）的空間保持粒子的位置，另一個(gè)O（NP×D）的空間存儲(chǔ)粒子的速度，這兩者都是不可避免的.由于在SDLSO中沒(méi)有使用pbest或lbest，因此與傳統(tǒng)的PSO[6-7][22]相比，O（NP×D）的空間可以在SDLSO中被節(jié)省.簡(jiǎn)而言之，SDLSO在時(shí)間上仍然與經(jīng)典PSO一樣有效，但在空間占用方面更有效.

4 仿真實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

本實(shí)驗(yàn)的運(yùn)行環(huán)境為內(nèi)存8G，Intel i7-7500HQ CPU 2.80GHz，Windows 10 64位操作系統(tǒng)，算法采用MATLAB R2019a實(shí)現(xiàn).為了檢驗(yàn)算法SDLSO的有效性，我們?cè)贑EC’2010測(cè)試函數(shù)集上進(jìn)行了廣泛的實(shí)驗(yàn).CEC'2010包含了20個(gè)1000-D大型函數(shù)，它們是通過(guò)引入新特征（例如重疊）對(duì)函數(shù)的擴(kuò)展.有關(guān)這些函數(shù)的詳細(xì)信息，請(qǐng)參閱[23].在實(shí)驗(yàn)時(shí)除非另有說(shuō)明，否則適應(yīng)性評(píng)估的最大次數(shù)將設(shè)置為6000×D（其中D是維度大?。?為了公平起見(jiàn)，使用30個(gè)獨(dú)立運(yùn)行的均值來(lái)評(píng)估所有算法的性能.

在不失一般性的前提下，我們選擇了四個(gè)1000-D CEC’2010函數(shù)：完全可分離的單峰F1，部分可分離的單峰F9，部分可分離的多峰F11和F15作為測(cè)試平臺(tái)，適應(yīng)性評(píng)估的最大次數(shù)設(shè)置為6000×D=6×106.在實(shí)驗(yàn)中，為了進(jìn)行公平的比較，兩個(gè)算法的群大小都被設(shè)置為400.下列四幅圖給出了SDLSO和CSO在四個(gè)1000-D CEC 2010函數(shù)上的性能比較.橫坐標(biāo)代表適應(yīng)度評(píng)估次數(shù)，縱坐標(biāo)代表最佳適應(yīng)度.

從這些圖中，我們可以得到以下實(shí)驗(yàn)結(jié)果：（1）從圖（a）和圖（b），我們發(fā)現(xiàn)在單峰函數(shù)F1和F9上，SDLSO和CSO兩者的全局最佳適應(yīng)度的變化趨勢(shì)相同，并且SDLSO可以比CSO更快收斂的更好解決方案.在優(yōu)化的后期，SDLSO在F1上幾乎找到了最優(yōu)值.在F9上，即使沒(méi)有找到最優(yōu)值，SDLSO的性能也優(yōu)于CSO.因?yàn)镾DLSO在勘探和開(kāi)發(fā)之間比CSO具有更好的平衡.

（2）從圖（c）和（d）可以看出，當(dāng)遇到多峰問(wèn)題F11和F15時(shí)，因?yàn)榱Ｗ拥拈_(kāi)發(fā)不那么廣泛，這兩種算法都不能找到全局最優(yōu)的區(qū)域.在收斂速度和解決質(zhì)量方面，SDLSO仍比CSO具有更好的性能，并且SDLSO在優(yōu)化后期比CSO擁有更強(qiáng)的勘探和開(kāi)發(fā)能力.SDLSO的這種表現(xiàn)歸結(jié)于高度的種群多樣性，所以SDLSO比CSO有更廣闊的應(yīng)用前景.

5 結(jié)論

為了可以消耗盡可能少的計(jì)算時(shí)間和空間來(lái)定位最優(yōu)值，本文在SDLSO中提出了兩個(gè)策略：一是只有當(dāng)從當(dāng)前群體中隨機(jī)選擇的兩個(gè)樣本是其支配者時(shí)，才更新這個(gè)粒子.這樣，每個(gè)粒子都有一個(gè)直接進(jìn)入下一代的隱含概率，因此可以保持高的種群多樣性.每個(gè)更新的粒子只能從其支配者那里學(xué)習(xí)，因此也可以實(shí)現(xiàn)良好的收斂性.二是為了減輕該優(yōu)化器對(duì)新引入?yún)?shù)的敏感性，進(jìn)一步設(shè)計(jì)了自適應(yīng)參數(shù)調(diào)整策略.使用CEC’10測(cè)試函數(shù)對(duì)SDLSO算法和CSO算法進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)比較，結(jié)果驗(yàn)證了算法SDLSO在解決方案質(zhì)量和計(jì)算成本達(dá)到了競(jìng)爭(zhēng)性甚至更好的性能.后續(xù)工作是將本文算法應(yīng)用于解決其他實(shí)際優(yōu)化問(wèn)題中.

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