自然破解難點(diǎn) 積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

陳云 宋佳真 唐劍嵐

【摘?要】“圓的周長(zhǎng)”是圖形與幾何的重要知識(shí)點(diǎn)。本知識(shí)點(diǎn)有三個(gè)教學(xué)難點(diǎn)：化曲為直測(cè)量圓周長(zhǎng)的方法、發(fā)現(xiàn)圓周長(zhǎng)與直徑的關(guān)系、圓周長(zhǎng)公式的推導(dǎo)。傳統(tǒng)教學(xué)常常采用“繞繩”“滾動(dòng)”等動(dòng)手實(shí)驗(yàn)的方法，讓學(xué)生多次測(cè)量圓的周長(zhǎng)與直徑或直接告知學(xué)生。文章基于課程標(biāo)準(zhǔn)中數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和基本思想方法的培養(yǎng)要求，通過(guò)活動(dòng)單導(dǎo)航、提問(wèn)鏈導(dǎo)思，借助Hawgent皓駿動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)，自然破解教學(xué)難點(diǎn)的同時(shí)，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和體悟數(shù)學(xué)基本思想方法，提升教學(xué)有效性，為優(yōu)化圓周長(zhǎng)的教學(xué)提供一些參考。

【關(guān)鍵詞】圓的周長(zhǎng);活動(dòng)單;提問(wèn)鏈;Hawgent皓駿

【作者簡(jiǎn)介】陳云，廣西科技師范學(xué)院教育科學(xué)學(xué)院教師，研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)教育;宋佳真，廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院數(shù)學(xué)教育碩士研究生;唐劍嵐（通訊作者），博士，廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院碩士研究生導(dǎo)師、教授，主要研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)課程與教學(xué)論、數(shù)學(xué)教育技術(shù)。

【基金項(xiàng)目】小學(xué)數(shù)學(xué)重難點(diǎn)知識(shí)可視化設(shè)計(jì)與應(yīng)用的研究（桂林市B類(lèi)課題2016B30）;動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)的創(chuàng)新研究與應(yīng)用項(xiàng)目（GXSDHX201706）?一、創(chuàng)課背景與問(wèn)題

“圓的周長(zhǎng)”是人教版數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)第5單元“圓”第二節(jié)的內(nèi)容，是圖形與幾何的重要知識(shí)點(diǎn)。在此之前，學(xué)生學(xué)習(xí)了應(yīng)用測(cè)量方法獲取長(zhǎng)方形和正方形的周長(zhǎng)計(jì)算公式。圓作為一種由曲線圍成的圖形，與直線圍成的圖形相比，在形狀上有很大不同。曲線圖形不能直接被測(cè)量，這與學(xué)生原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)產(chǎn)生沖突，如何“化曲為直”成為第一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)。即使應(yīng)用“繞繩”“滾動(dòng)”等動(dòng)手實(shí)驗(yàn)方法，學(xué)生通過(guò)多次測(cè)量圓的周長(zhǎng)與直徑，也很難發(fā)現(xiàn)圓的周長(zhǎng)與直徑的關(guān)系，因?yàn)閿?shù)據(jù)里面隱藏了圓周率的秘密[1][2]，這是第二個(gè)教學(xué)難點(diǎn)。師生如何類(lèi)比長(zhǎng)方形、正方形周長(zhǎng)公式的推導(dǎo)過(guò)程發(fā)現(xiàn)圓的周長(zhǎng)公式，這是第三個(gè)教學(xué)難點(diǎn)。本文基于《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和基本思想方法的培養(yǎng)要求，借助Hawgent皓駿動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)，自然破解教學(xué)難點(diǎn)的同時(shí)，強(qiáng)化學(xué)生數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累和數(shù)學(xué)基本思想方法的體悟，提升教學(xué)有效性，為優(yōu)化圓周長(zhǎng)的教學(xué)提供一些參考。

二、創(chuàng)課設(shè)計(jì)與實(shí)錄

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是個(gè)體在經(jīng)歷了具體的學(xué)科活動(dòng)之后留下的、具有個(gè)體特色的內(nèi)容，既可以是感覺(jué)知覺(jué)，也可以是經(jīng)過(guò)反省之后形成的經(jīng)驗(yàn)[3]。本教學(xué)設(shè)計(jì)主要通過(guò)活動(dòng)單導(dǎo)航、提問(wèn)鏈導(dǎo)思，促進(jìn)學(xué)生經(jīng)歷“看一看、說(shuō)一說(shuō)、驗(yàn)一驗(yàn)”等顯性活動(dòng)，設(shè)計(jì)“想一想、猜一猜”等隱性活動(dòng)，借助Hawgent皓駿動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)自然破解教學(xué)難點(diǎn)的同時(shí)，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和體悟數(shù)學(xué)基本思想方法，努力實(shí)現(xiàn)“授人以魚(yú)”的同時(shí)實(shí)現(xiàn)“授人以漁”和“授人以欲”[4]，提升教學(xué)有效性。

首先，設(shè)計(jì)“憶一憶，想一想”活動(dòng)，動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)長(zhǎng)方形與正方形的周長(zhǎng)公式推導(dǎo)過(guò)程，激活學(xué)生原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，成為學(xué)習(xí)新知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)。接著，設(shè)計(jì)“看一看，說(shuō)一說(shuō)”活動(dòng)，通過(guò)“圓的周長(zhǎng)是否可以直接用直尺量出來(lái)？”等提問(wèn)鏈追問(wèn)學(xué)生，并聯(lián)系學(xué)生的生活實(shí)際，呈現(xiàn)生活中常見(jiàn)的化曲為直的實(shí)例，驅(qū)動(dòng)學(xué)生聯(lián)想繞繩、滾動(dòng)等方法，實(shí)現(xiàn)化曲為直的想法。最后，設(shè)計(jì)“猜一猜，驗(yàn)一驗(yàn)”活動(dòng)，再次通過(guò)提問(wèn)鏈和動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)數(shù)據(jù)分析，促進(jìn)學(xué)生類(lèi)比長(zhǎng)方形、正方形周長(zhǎng)公式的推導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)隱藏的圓周率秘密和圓周長(zhǎng)的計(jì)算公式。根據(jù)上述創(chuàng)課思路，設(shè)計(jì)如下“圓的周長(zhǎng)”教學(xué)片段。

1憶一憶，想一想

師：同學(xué)們，你們還記得怎樣計(jì)算長(zhǎng)方形和正方形的周長(zhǎng)嗎？（呈現(xiàn)用直尺測(cè)量長(zhǎng)方形、正方形周長(zhǎng)的動(dòng)畫(huà)效果）

小圓：用直尺測(cè)量長(zhǎng)方形的每條邊，然后加起來(lái)就是長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)了。

小方：先將長(zhǎng)方形和正方形展開(kāi)成一條線段，再用直尺測(cè)量，這條線段就是長(zhǎng)方形和正方形的周長(zhǎng)了，得到公式C長(zhǎng)=2（a+b），C正=4a（動(dòng)畫(huà)展開(kāi)長(zhǎng)方形、正方形，閃動(dòng)長(zhǎng)、寬、周長(zhǎng)）。

2看一看，說(shuō)一說(shuō)

師：這兩種方法都是通過(guò)直接測(cè)量得到的周長(zhǎng)。圓是由曲線圍成的圖形（顯示點(diǎn)生成圓的動(dòng)畫(huà)），那它的周長(zhǎng)是否可以直接用直尺測(cè)量出來(lái)？如果不能，又有什么辦法測(cè)量？

小圓：圓的周長(zhǎng)好像不能直接用直尺測(cè)量出來(lái)，怎么辦呢？

小方：我們可以將圍成圓的曲線變?yōu)橹本€，這樣不就可以了嗎？

師：小方很有想法！但如何將圓的曲線變?yōu)橹本€呢？其實(shí)我們生活中有很多類(lèi)似的情境，如我們常用的透明膠卷、體育課用的皮尺等（如圖1）?？吹竭@些東西，大家有想法了嗎？誰(shuí)來(lái)說(shuō)一說(shuō)。

小圓：我們可以用一條繩子把圓圍一圈，剪掉多余的部分，繩子拉直后測(cè)量它的長(zhǎng)度，就得到圓的周長(zhǎng)了。

（教師同時(shí)呈現(xiàn)“繞繩”、繩子展開(kāi)在直尺上測(cè)量的動(dòng)畫(huà)效果。）

師：不錯(cuò)的方法，我們常常把這個(gè)方法叫做繞繩法（聲音突出）！

小方：我也有一個(gè)方法，而且不需要繩子。將圓直接在直尺上滾一圈（標(biāo)記起始點(diǎn)），也可以得到圓的周長(zhǎng)。

（教師同時(shí)呈現(xiàn)圓在直尺上滾動(dòng)測(cè)量的動(dòng)畫(huà)效果。）

師：很好的方法，小方不用繩子也能得到圓的周長(zhǎng)。像這樣的方法我們叫做滾動(dòng)法，但要注意在起始位置做好標(biāo)記！

師：剛才的這些方法為什么能量出圓的周長(zhǎng)？其實(shí)就是因?yàn)榍€圍成的圓與直線段可以相互轉(zhuǎn)化。如果一個(gè)圓很大，但繩子不夠長(zhǎng)，而且圓很難滾動(dòng)，那該如何計(jì)算圓的周長(zhǎng)呢？看來(lái)我們還是有必要去發(fā)現(xiàn)、學(xué)習(xí)計(jì)算圓周長(zhǎng)的公式。那么，圓周長(zhǎng)的公式是什么？是否與長(zhǎng)方形、正方形的周長(zhǎng)公式有關(guān)系呢？

師：其實(shí)圓的周長(zhǎng)公式與長(zhǎng)方形、正方形的周長(zhǎng)公式有很密切的關(guān)系。長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是長(zhǎng)與寬（聲音強(qiáng)調(diào)）的和的2倍，即C長(zhǎng)=2（a+b）;正方形的周長(zhǎng)是邊長(zhǎng)的4倍，即C正=4a（聲音強(qiáng)調(diào)）。如圖2所示，長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)與它的構(gòu)成要素——長(zhǎng)和寬有關(guān)，正方形的周長(zhǎng)與它的構(gòu)成要素邊長(zhǎng)有關(guān)，那么圓的周長(zhǎng)與它的構(gòu)成要素直徑或半徑是否也有關(guān)系？

師：我們用剛才的方法來(lái)算一算，并列出表1。（教師邊說(shuō)邊動(dòng)態(tài)演示用滾動(dòng)法測(cè)量不同半徑的圓，得出周長(zhǎng)，如圖3。）

3猜一猜，驗(yàn)一驗(yàn)

師：觀察這個(gè)數(shù)據(jù)表，大家有什么發(fā)現(xiàn)，誰(shuí)來(lái)說(shuō)一說(shuō)？

小方：我發(fā)現(xiàn)半徑越大，直徑越大，圓越大，圓的周長(zhǎng)也越長(zhǎng)，所以圓的周長(zhǎng)跟它的半徑、直徑有關(guān)。

師：很好，圓的周長(zhǎng)跟它的半徑、直徑有關(guān)。誰(shuí)還能進(jìn)一步用數(shù)據(jù)描述圓的周長(zhǎng)與直徑的數(shù)量關(guān)系？

師：是否也像長(zhǎng)方形和正方形的周長(zhǎng)公式一樣，與長(zhǎng)和寬或邊長(zhǎng)有倍數(shù)關(guān)系呢？

小圓：圓的周長(zhǎng)與直徑好像也有倍數(shù)關(guān)系。

師：很好的發(fā)現(xiàn)，我們輸入不同半徑的值，看看直徑、周長(zhǎng)、周長(zhǎng)與直徑的比值（展示結(jié)果，如表1）有什么變化。大家觀察表格中圓的周長(zhǎng)與直徑的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)它們有什么規(guī)律？（教師邊說(shuō)邊輸入任意值，看各組數(shù)據(jù)的變化。）

小鏡：圓的周長(zhǎng)與直徑的比值都是一個(gè)固定的數(shù)，它約等于314。

師：真厲害，這就是表格中隱藏的秘密。圓的周長(zhǎng)與直徑的比值一直都是一個(gè)相對(duì)固定的數(shù)，它約等于314。在數(shù)學(xué)中，我們把它叫做圓周率，用希臘字母π表示。

師：2300年前，古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德算出了圓的周長(zhǎng)大約是直徑的314倍多一些。1700年前，我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽用“割圓術(shù)”計(jì)算圓的周長(zhǎng)大約是直徑的31416倍。在2000年時(shí)，科學(xué)家用計(jì)算機(jī)算出了圓周率小數(shù)點(diǎn)后14萬(wàn)億位。（呈現(xiàn)：314159265358979323846264338 3279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117067982148086513282 306647093844607550582231……）

師：人類(lèi)花了2000多年，通過(guò)無(wú)數(shù)科學(xué)家的畢生努力，最終達(dá)成一個(gè)共識(shí)——無(wú)論是大圓還是小圓，它的周長(zhǎng)除以直徑都等于一個(gè)固定數(shù)，即314159……，計(jì)算公式是圓周長(zhǎng)÷直徑=圓周率（314159……），這也就是說(shuō)圓的周長(zhǎng)是直徑的π倍。今天我們得出的圓周長(zhǎng)公式是：C圓=πd=2πr。

三、創(chuàng)課評(píng)析與反思

將“魚(yú)漁欲”三位一體的教學(xué)理念結(jié)合課程標(biāo)準(zhǔn)理念，再將Hawgent皓駿動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)融入教學(xué)中，通過(guò)三個(gè)活動(dòng)單導(dǎo)航（憶一憶，想一想→看一看，說(shuō)一說(shuō)→猜一猜，驗(yàn)一驗(yàn)）和提問(wèn)鏈導(dǎo)思，自然破解教學(xué)中的三個(gè)難點(diǎn)，強(qiáng)化學(xué)生基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累和基本思想方法的體悟，在“授人以魚(yú)”的同時(shí)實(shí)現(xiàn)授人以“漁與欲”，提升教學(xué)有效性。

在破解如何測(cè)量圓的周長(zhǎng)這一環(huán)節(jié)，設(shè)計(jì)了“憶一憶，想一想”活動(dòng)，通過(guò)回顧長(zhǎng)方形和正方形周長(zhǎng)的兩種測(cè)量方法，激活學(xué)生原有知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)的同時(shí)，通過(guò)提問(wèn)鏈“圓是由曲線圍成的圖形（顯示點(diǎn)生成圓的動(dòng)畫(huà)），那它的周長(zhǎng)是否可以直接用直尺測(cè)量出來(lái)？如果不能，又有什么辦法測(cè)量？”激起學(xué)生的興趣和好奇，聯(lián)想新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，找尋測(cè)量圓周長(zhǎng)的辦法。本環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)在授人以“魚(yú)”的同時(shí)具有授人以“欲”的功能。

在破解怎樣測(cè)量圓的周長(zhǎng)這一環(huán)節(jié)，設(shè)計(jì)了“看一看，說(shuō)一說(shuō)”活動(dòng)，呈現(xiàn)生活中化曲為直的實(shí)例，促使學(xué)生類(lèi)比，自然引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出繞繩法、滾動(dòng)法等測(cè)量圓周長(zhǎng)的方法。但繞繩法和滾動(dòng)法只能測(cè)量較小的圓，如何計(jì)算所有圓的周長(zhǎng)，則需要圓周長(zhǎng)的計(jì)算公式。本環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)在授人以“漁”的同時(shí)實(shí)現(xiàn)了授人以“欲”。

在破解圓周長(zhǎng)的公式推導(dǎo)這一環(huán)節(jié)，設(shè)計(jì)了“猜一猜，驗(yàn)一驗(yàn)”活動(dòng)，通過(guò)提問(wèn)鏈引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比長(zhǎng)方形、正方形的周長(zhǎng)公式，猜想圓周長(zhǎng)與圓的要素（直徑或半徑）的關(guān)系，借助Hawgent皓駿動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)，展示圓半徑變化的數(shù)據(jù)和圓周長(zhǎng)的變化，助力學(xué)生發(fā)現(xiàn)圓的周長(zhǎng)與直徑的比值的關(guān)系，最后講出圓周率發(fā)現(xiàn)的歷史故事，在點(diǎn)撥“變中不變”數(shù)學(xué)思想的同時(shí)滲透數(shù)學(xué)文化。本環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)具有授人以“魚(yú)”的同時(shí)授人以“漁”和“欲”的作用，在破解教學(xué)難點(diǎn)、促進(jìn)學(xué)生積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和體悟數(shù)學(xué)基本思想方法的同時(shí)，潛移默化地滲透了數(shù)學(xué)文化，提升了教學(xué)有效性。

參考文獻(xiàn)：

[1]梁萬(wàn)里.重視幾何直觀?培養(yǎng)核心素養(yǎng)：以“圓的周長(zhǎng)”教學(xué)片段為例[J].小學(xué)教學(xué)參考，2019（6）：24-25.

[2]邱貽根.教不越位?學(xué)要到位：“圓的周長(zhǎng)”教學(xué)設(shè)計(jì)與評(píng)析[J].教學(xué)月刊：小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2009（4）：33-35.

[3]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[4]唐劍嵐，陳圓.基于“魚(yú)漁欲”三位一體優(yōu)化教學(xué)理念的數(shù)學(xué)創(chuàng)課設(shè)計(jì)：以“一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)”的教學(xué)為例[J].中小學(xué)課堂教學(xué)研究，2017（12）：34-37.