岔曹春 段愛華 門秀萍 張子振

摘要：目的：本文以反病毒軟件清理病毒需要的時(shí)間周期為分岔參數(shù)，研究了一類時(shí)滯SVIR計(jì)算機(jī)病毒傳播模型的穩(wěn)定性與Hopf分岔。方法：首先通過討論特征根分布，得到模型局部漸近穩(wěn)定性和產(chǎn)生Hopf分岔的充分條件，進(jìn)而利用中心流形定理和規(guī)范型理論確定了Hopf分岔的方向和分岔周期解的穩(wěn)定性。結(jié)論：理論研究和matlab仿真表明，當(dāng)時(shí)滯τ∈[0，τ0）時(shí)，模型處于局部漸近穩(wěn)定狀態(tài)，當(dāng)時(shí)滯τ>τ0時(shí)，模型失去穩(wěn)定性，產(chǎn)生Hopf分岔。

關(guān)鍵詞：計(jì)算機(jī)病毒;SVIR模型;Hopf分岔;中心流形定理;規(guī)范型理論

中圖分類號：O175 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1008-4657（2019）05-0014-07

0 引言

根據(jù)第44次《中國互聯(lián)網(wǎng)絡(luò)發(fā)展?fàn)顩r統(tǒng)計(jì)報(bào)告》，截止2019年6月，我國網(wǎng)民規(guī)模達(dá)8.54億，較2018年底增長2 598萬，互聯(lián)網(wǎng)普及率達(dá)61.2%，較2018年提升1.6個(gè)百分點(diǎn)[1]?；ヂ?lián)網(wǎng)在給社會生產(chǎn)生活方式帶來巨大變革、推動社會發(fā)展的同時(shí)，也使得網(wǎng)絡(luò)安全成為國家和個(gè)人重點(diǎn)關(guān)注的問題。而計(jì)算機(jī)病毒是網(wǎng)絡(luò)安全的最大威脅[2-3]。根據(jù)國家計(jì)算機(jī)病毒應(yīng)急處理中心發(fā)布的 《計(jì)算機(jī)病毒疫情分析報(bào)告》，2019年6月，共發(fā)現(xiàn)新增病毒2 929萬個(gè)，比5月上升48.9%，感染計(jì)算機(jī)21 704萬臺次，比5月上升4.7%[4]。計(jì)算機(jī)病毒的可復(fù)制性和破壞性使得其一旦爆發(fā)，便會給社會和個(gè)人帶來難以估計(jì)的損失[5]。為了降低計(jì)算機(jī)病毒的危害，人們采取了各種各樣的措施，最典型的就是安裝殺毒軟件。然而，沒有什么軟件可以清除所有病毒，而且，往往是病毒先出現(xiàn)，反病毒軟件等措施后查殺病毒。

因此，為了更好地抑制網(wǎng)絡(luò)病毒的傳播，很多學(xué)者根據(jù)計(jì)算機(jī)病毒與生物病毒傳播的相似性，利用研究生物病毒的數(shù)學(xué)模型來分析計(jì)算機(jī)病毒的傳播規(guī)律[6-11]。尹禮壽等[9]考慮到免疫策略對病毒潛伏期計(jì)算機(jī)的影響，研究了一類離散時(shí)間的易感染-潛伏-已感染-恢復(fù)（Susceptible-Exposed -Infected-Recovered ，SEIR）計(jì)算機(jī)病毒模型。王剛等[10]根據(jù)網(wǎng)絡(luò)中計(jì)算機(jī)節(jié)點(diǎn)動態(tài)增減的情況，研究了易感染-已感染-恢復(fù)（Susceptible-Infected-Recovered ，SIR）模型中各節(jié)點(diǎn)間轉(zhuǎn)換率對病毒傳播的影響。R.K.Upadhyay等[11]研究了一類非線性感染率的易感染-免疫-潛伏-已感染（Susceptible- Vaccinated -Exposed –Infected ，SVEI）計(jì)算機(jī)病毒傳播模型的穩(wěn)定性情況，得到了模型穩(wěn)定性受基本再生數(shù)影響的結(jié)論。

Yerra Shankar Rao 等[12]研究了一類具有免疫策略的易感染-免疫-已感染-恢復(fù)（Susceptible-Vaccinated-Infected-Recovered ，SVIR）計(jì)算機(jī)病毒模型，該模型假定新接入網(wǎng)絡(luò)中的計(jì)算機(jī)中有一定比例已經(jīng)感染病毒，同時(shí)網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部的免疫措施能夠?qū)τ?jì)算機(jī)病毒起到一定清除作用。本文在Yerra Shankar Rao 等[12]的研究基礎(chǔ)之上，考慮殺毒軟件等免疫措施在清理病毒的過程中存在時(shí)間延遲的實(shí)際情況，研究了一類具有時(shí)滯的SVIR計(jì)算機(jī)病毒模型的傳播規(guī)律。本文建立的時(shí)滯SVIR模型如下所示：

4 結(jié)論

由于計(jì)算機(jī)病毒的可復(fù)制性、潛伏性和高破壞性等性質(zhì)，對網(wǎng)絡(luò)安全存在嚴(yán)重威脅，而現(xiàn)有反病毒措施因清理計(jì)算機(jī)病毒需要一定時(shí)間周期而存在時(shí)間延遲的情況使得查殺病毒的效率難以進(jìn)一步提升。因此，本文基于Yerra Shankar Rao 等[12]的研究工作，考慮到殺毒軟件等反病毒措施清理病毒需要一定的時(shí)間周期，進(jìn)一步研究了具有時(shí)滯的SVIR計(jì)算機(jī)病毒傳播模型的穩(wěn)定性和Hopf分岔的存在性及性質(zhì)，以期望了解計(jì)算機(jī)病毒傳播規(guī)律，為反病毒措施的改進(jìn)提供理論指導(dǎo)，從而幫助實(shí)現(xiàn)更快地查殺病毒，降低計(jì)算機(jī)病毒可能造成的損失。本文通過討論特征根的分布，分析了該時(shí)滯SVIR模型在不同情況下的病毒傳播情況，并根據(jù)中心流形定理和規(guī)范型理論確定了病毒傳播失去穩(wěn)定時(shí)產(chǎn)生的Hopf分岔的方向和分岔周期解的穩(wěn)定性。通過研究和仿真可以知道，當(dāng)τ∈[0，τ0）時(shí)，模型處于局部漸近穩(wěn)定狀態(tài)，此時(shí)便于控制網(wǎng)絡(luò)病毒的傳播，降低網(wǎng)絡(luò)病毒危害。當(dāng)τ>τ0時(shí)，模型失去穩(wěn)定性，產(chǎn)生了Hopf分岔，此時(shí)計(jì)算機(jī)病毒的傳播過程難以控制。因此，應(yīng)當(dāng)采取適當(dāng)措施盡量延緩Hopf分岔的產(chǎn)生，使計(jì)算機(jī)病毒傳播在可控范圍之內(nèi)。

參考文獻(xiàn)：

[1] 中國互聯(lián)網(wǎng)中心.第43次中國互聯(lián)網(wǎng)絡(luò)發(fā)展?fàn)顩r統(tǒng)計(jì)[R/OL].（2019-08-30）[2019-11-05].http：//www.cac.gov.cn/2019-08/30 /c_1124938750.htm.

[2] 饒毓，李志輝.2019年6月網(wǎng)絡(luò)安全監(jiān)測數(shù)據(jù)發(fā)布[J].信息網(wǎng)絡(luò)安全，2019（8）：93-94.

[3] 國家計(jì)算機(jī)病毒應(yīng)急處理中心.第十八次全國計(jì)算機(jī)和移動終端病毒疫情調(diào)查分析報(bào)告[R/OL].（2019-09-18）[2019-11-05].http：//www.cverc.org.cn/zxdt/report20190918-4.htm.

[4] 付東楠，穆成菊.2019年6月計(jì)算機(jī)病毒疫情分析[J].信息網(wǎng)絡(luò)安全，2019（8）：91.

[5] 張旭龍.計(jì)算機(jī)病毒傳播與控制研究[D].重慶：重慶大學(xué)，2017.

[6] Mishra B K，Pandey S K.Effect of Anti-virus Software on Infectious Nodes in Computer Network：A Mathematical Model[J].Physics Letters A，2012，376（35）：2 389-2 393.

[7] Zhu Q，Yang X，Yang L-X，et al.A Mixing Propagation Model of Computer Viruses and Countermeasures[J].Nonlinear Dyn.2013，73（3）：1 433–1 441.

[8] Gan Chenquan，Modeling and Analysis of the Effect of Network Eigenvalue on Viral Spread[J].Nonlinear Dyn，2016，84（3）：1 727–1 733.

[9] 尹禮壽，張晉珠.含有免疫策略的一類計(jì)算機(jī)病毒模型穩(wěn)定性分析[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識，2017，47（8）：176-180.

[10] 王剛，胡鑫，陸世偉.節(jié)點(diǎn)增減機(jī)制下的病毒傳播模型及穩(wěn)定性[J].電子科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2019，48（1）：74-79.

[11] Upadhyay R K，Kumari S，Global Stability of Worm Propagation Model with Nonlinear Incidence Rate in Computer Network [J].International Journal of Network Security，2018（20）515-526.

[12] Yerra S R，Aswin K R，Tarini C P，et al.A Dynamic E-Epidemic Model for the Attack Against the Spread of Virus in Computer Network[J].Journal of Analysis and Computation.2019（6）：1-12.

[13] Hassard B D，Kazarinoff N D，Wan Y H.Theory and Applica-tions of Hopf Bifurcation [M].Cambridge：Cambridge University Press，1981.

[責(zé)任編輯：鄭筆耕]