薛彩霞 蔣愛武

【摘要】正、反比例知識的學(xué)習(xí)有助于促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維方式的轉(zhuǎn)變，使其經(jīng)歷重要的轉(zhuǎn)折點(diǎn)：從“靜態(tài)”到“動(dòng)態(tài)”，從“離散”到“連續(xù)”，在“操作”中厘清“關(guān)系”。在正比例圖像教學(xué)中，教師應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)正比例圖像的形成過程，感受量的對應(yīng)性和連續(xù)性，體會(huì)量的運(yùn)動(dòng)和變化。

【關(guān)鍵詞】正比例關(guān)系 正比例圖像 負(fù)遷移 “正”生長

小學(xué)正、反比例知識的學(xué)習(xí)意味著學(xué)生由“算術(shù)知識”向“代數(shù)知識”的轉(zhuǎn)變，這是學(xué)生從理解“數(shù)量”到探索“關(guān)系”的明顯轉(zhuǎn)折點(diǎn)（五年級的“用字母表示數(shù)”和“方程”也是一個(gè)重要的轉(zhuǎn)折點(diǎn)）。正、反比例知識的學(xué)習(xí)有助于促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維方式的轉(zhuǎn)變，使其經(jīng)歷重要的轉(zhuǎn)折點(diǎn)：從“靜態(tài)”到“運(yùn)動(dòng)”，從“離散”到“連續(xù)”，從“操作”到“關(guān)系”。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對小學(xué)“正比例圖像”學(xué)習(xí)的要求是：“根據(jù)給出的有正比例關(guān)系的數(shù)據(jù)在方格紙上畫圖，并根據(jù)其中一個(gè)量的值估計(jì)另一個(gè)量的值?！痹谔K教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，學(xué)生首先學(xué)習(xí)“正比例意義”的相關(guān)知識，在此基礎(chǔ)上再學(xué)習(xí)“正比例圖像”。具體如下：教材首先根據(jù)例題1表中的數(shù)據(jù)，在方格圖上描出了各組數(shù)據(jù)所對應(yīng)的點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系現(xiàn)實(shí)問題的背景理解描出的點(diǎn)所表示的意義，再連接圖中各點(diǎn)，看能發(fā)現(xiàn)什么，進(jìn)而初步認(rèn)識正比例圖像的特點(diǎn)。在繪制圖像后，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)正比例圖像進(jìn)行判斷，解決簡單的實(shí)際問題，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解圖像上的點(diǎn)的實(shí)際意義，初步體會(huì)正比例圖像的作用，為今后函數(shù)相關(guān)知識的學(xué)習(xí)打下一定的基礎(chǔ)。接著學(xué)生通過不同形式的練習(xí)，進(jìn)一步感知正比例圖像的特點(diǎn)，逐步積累借助圖像刻畫數(shù)量關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)，不斷感受正比例圖像的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

一、課堂實(shí)錄——正比例圖像的探究過程

出示例題1的表格：

師：這是例題1表格中的各組數(shù)據(jù)，路程與時(shí)間成正比例關(guān)系，我們可以借助圖形來表示它們的變化關(guān)系。

（出示橫軸）

師：仔細(xì)觀察，橫軸表示哪個(gè)數(shù)量？

生：橫軸表示時(shí)間。

（出示縱軸）

師：縱軸表示哪個(gè)數(shù)量？

生：縱軸表示路程。

（出示完整的含有橫軸與縱軸的方格圖）（見圖1）

師：仔細(xì)思考，例題1表中的各組數(shù)據(jù)可以用方格圖中哪些點(diǎn)來表示？哪個(gè)點(diǎn)可以表示1小時(shí)行80千米？

（學(xué)生上臺演示）

生：在橫軸上找到1小時(shí)，在縱軸上找到80千米，它們的交點(diǎn)就表示1小時(shí)行駛80千米。

師：那么，你能照樣子在方格圖上，畫出其他各組數(shù)據(jù)的對應(yīng)點(diǎn)嗎？其他同學(xué)也自己動(dòng)手試一試。

（學(xué)生嘗試后反饋交流）

師：同學(xué)們經(jīng)過努力，在方格圖上找到了表格中每一組數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)。我們知道A點(diǎn)的意思是每小時(shí)行駛80公里，那么B點(diǎn)的意思是什么？其他各點(diǎn)呢？（見圖2）

生1：點(diǎn)B表示5小時(shí)行駛400千米。

生2：點(diǎn)C表示2小時(shí)行駛160千米。

生3：點(diǎn)G表示7小時(shí)行駛560千米。

……

師：當(dāng)汽車還沒有啟動(dòng)時(shí)，也就是說，當(dāng)行駛時(shí)間為零時(shí)，汽車行駛的距離是多少千米？

生：0千米。

師：那么圖中哪個(gè)點(diǎn)可以表示這種狀態(tài)呢？

（學(xué)生在方格圖上找到原點(diǎn)）

師：仔細(xì)看看描述的每個(gè)點(diǎn)的位置。你發(fā)現(xiàn)了什么？你能在自己的方格圖上，把這些點(diǎn)按順序連起來嗎？

（學(xué)生自己嘗試連線后思考）

師：連接各點(diǎn)畫成的是什么圖形？

（教師出示部分學(xué)生的連線圖，見圖3～圖6）

師：同學(xué)們，請你們思考一下，哪個(gè)圖形更合理？為什么？

（小組交流后反饋）

生1：應(yīng)該是一條直線，因?yàn)楸砀裰凶詈笠粰谑鞘÷蕴?，省略號表示有無數(shù)，直線可以無限延長，所以直線合適。

生2：要從0開始畫，因?yàn)槠嚥豢赡芤幌伦优艿?小時(shí)80千米的位置。

生3：不從0開始畫，汽車行駛的時(shí)間小于1小時(shí)就找不到對應(yīng)的點(diǎn)了。

……

師：回顧剛才的研究過程，我們根據(jù)表格中每一組數(shù)據(jù)，在方格圖上找到對應(yīng)的點(diǎn)，連點(diǎn)成線。直線上的每個(gè)點(diǎn)不僅代表時(shí)間，還代表相應(yīng)的路程。這條直線是一幅顯示路程與時(shí)間之間正比例關(guān)系的圖像。

二、案例分析——正視學(xué)生已有知識經(jīng)驗(yàn)的負(fù)遷移

特級教師賁友林指出：“正比例圖像的呈現(xiàn)形式，從表面上看是靜止的，但從列表、描點(diǎn)到連線這一過程來看，是運(yùn)動(dòng)、變化的。畫成的圖像從表面上看是完整的，其實(shí)是局部的、不完整的，它還可以延伸，即不斷地運(yùn)動(dòng)、發(fā)展、變化?！痹谡壤龍D像的實(shí)際教學(xué)中我們發(fā)現(xiàn)，由于受到已有知識經(jīng)驗(yàn)和學(xué)習(xí)水平的影響，在正比例圖像的制作過程中，學(xué)生畫出了很多意想不到的圖像。分析其中原因，主要有兩點(diǎn)：思維特點(diǎn)導(dǎo)致理解有偏差，已有經(jīng)驗(yàn)對理解產(chǎn)生負(fù)遷移。

1.思維特點(diǎn)導(dǎo)致理解有偏差

由于小學(xué)六年級學(xué)生的發(fā)展處于從形象思維到抽象邏輯思維的過渡階段，要理解正比例圖像這樣一條“直線”，它還包含“兩個(gè)變量一個(gè)擴(kuò)大（減少），另一個(gè)也擴(kuò)大（減少），其比值保持不變”這種相互依存的關(guān)系是非常困難的。

2.已有經(jīng)驗(yàn)對理解產(chǎn)生負(fù)遷移

與學(xué)生熟悉的折線統(tǒng)計(jì)圖相比，正比例圖像與其外觀相似：有兩個(gè)相互垂直的坐標(biāo)軸;制作過程類似——都是先描點(diǎn)再連線。因此學(xué)生很容易將畫折線統(tǒng)計(jì)圖的經(jīng)驗(yàn)照搬到正比例圖像的制作過程中來，從而得到錯(cuò)誤的正比例圖像。事實(shí)上，兩者之間的區(qū)別是非常明顯的：折線統(tǒng)計(jì)圖的每一個(gè)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)都是相對獨(dú)立的，所描述的點(diǎn)是離散的，而在正比例圖像中，每個(gè)變量的值是連續(xù)的，因此描述的點(diǎn)也是連續(xù)的。正比例圖像反映了兩個(gè)變量之間相互依存的關(guān)系，是若干個(gè)連續(xù)的點(diǎn)的集合，自然包含“零點(diǎn)”和無限延伸。

三、教學(xué)思考——強(qiáng)化正比例圖像的形成過程和分析解讀過程

在正比例圖像的教學(xué)中，面對學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)的負(fù)遷移，教師要善加利用課堂中生成的“錯(cuò)誤資源”進(jìn)行教學(xué)。引導(dǎo)學(xué)生在比較、辨析、反思、交流的過程中，建立正確的正比例圖像的認(rèn)識，并在研究中進(jìn)一步感知兩個(gè)量的正比例關(guān)系，滲透函數(shù)思想。

（一）著力于正比例圖像的動(dòng)態(tài)形成過程

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個(gè)生動(dòng)活潑的、主動(dòng)的和富有個(gè)性的過程。學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)過程?！币虼耍谡壤龍D像教學(xué)中，教師應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)正比例圖像的形成過程，感受量的對應(yīng)性和連續(xù)性，體會(huì)量的運(yùn)動(dòng)和變化。

1.依據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)，找到對應(yīng)點(diǎn)

通過以往的研究，學(xué)生們積累了用數(shù)對確定位置的經(jīng)驗(yàn)。在已有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，通過描述點(diǎn)的過程，使學(xué)生自覺地將所描述的點(diǎn)與原表中每組數(shù)據(jù)對應(yīng)起來，認(rèn)識到每個(gè)點(diǎn)代表汽車在一定時(shí)間內(nèi)行駛的路程，從而了解圖像上各點(diǎn)的實(shí)際意義。也就是說，每個(gè)點(diǎn)代表一組相應(yīng)的時(shí)間和路程的數(shù)值。

2.連點(diǎn)成線，認(rèn)識正比例圖像

在連點(diǎn)成線的教學(xué)中，抓住學(xué)生錯(cuò)誤資源，有效生成，讓學(xué)生通過比較與討論等學(xué)習(xí)活動(dòng)，在思辨中感悟正比例圖像的特點(diǎn)。讓學(xué)生在操作中感知，通過把各個(gè)點(diǎn)連接成一條直線的過程，對正比例圖像是一條直線有更深刻的體驗(yàn)和理解。讓學(xué)生通過學(xué)習(xí)知道正比例圖像是直線，一是有助于學(xué)生根據(jù)圖像的形狀，判斷兩種相關(guān)聯(lián)的量是否成正比例關(guān)系;二是可以幫助學(xué)生檢查自己制作的正比例圖像是否正確。

3.應(yīng)用圖像，解決實(shí)際問題

根據(jù)正比例圖像進(jìn)行判斷，估計(jì)行駛時(shí)間所對應(yīng)的路程或者行駛路程所對應(yīng)的時(shí)間，要引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系用數(shù)對確定位置的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行判斷。根據(jù)圖像進(jìn)行估計(jì)，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)正比例圖像的意義和作用。通過解決簡單的實(shí)際問題，有助于培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力，感受正比例圖像的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

（二）著眼于圖像的分析解讀過程

皮亞杰認(rèn)為：“比例是函數(shù)的最初形式”，抓住機(jī)會(huì)幫助學(xué)生理解兩個(gè)變量之間的相互依存關(guān)系，豐富學(xué)生對變量的體驗(yàn)，滲透函數(shù)的思想，是小學(xué)“正比例圖像”教學(xué)的核心。因此，在正比例圖像的研究中，教師要善于利用豐富的正比例圖像教學(xué)資源，引導(dǎo)學(xué)生在正比例圖像分析和解讀過程中，充分感受成正比例關(guān)系的兩種量的變化，并使相應(yīng)的關(guān)系“可視化”。在運(yùn)用正比例圖形解決問題的過程中，幫助學(xué)生積累解決問題的經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，滲透函數(shù)思想。

1.注重比較，深化對正比例圖像的認(rèn)識

結(jié)合例題（見圖7）進(jìn)行設(shè)計(jì)，例題中為學(xué)生展現(xiàn)了汽車在不同狀態(tài)下的行駛情況。這三組數(shù)據(jù)雖然都反映的是路程與時(shí)間成正比例關(guān)系的兩個(gè)量，且都是直線，但是由于速度不同，直線呈線的角度不同。學(xué)生通過對正比例圖像的制作和比較，能夠充分體會(huì)路程與時(shí)間的變化規(guī)律，感受到這三組數(shù)據(jù)，路程與時(shí)間的比值（速度）一定，但由于比值（速度）不同，制作的正比例圖像也有所不同。速度越快，直線越陡，速度越慢，直線越緩。通過這樣的比較實(shí)踐，將生活經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)知識相結(jié)合，有助于學(xué)生加深對正比例關(guān)系的理解，為學(xué)生滲透了函數(shù)思想。

2.借助不同的生活場景，豐富對正比例圖像的認(rèn)識

教師結(jié)合實(shí)踐中不同的生活場景，精心設(shè)計(jì)的練習(xí)可以豐富學(xué)生對正比例圖像的理解。例如，汽車速度一定，時(shí)間和路程是成正比例關(guān)系的兩個(gè)量;電腦打字的速度不變，字?jǐn)?shù)和時(shí)間是成正比例關(guān)系的兩個(gè)量;班級訂閱同一種報(bào)紙，訂閱數(shù)量和總價(jià)格是成正比例的兩個(gè)量;彈簧秤懸掛每千克物體的伸長長度一定，懸掛物質(zhì)量和彈簧伸長長度是成正比例關(guān)系的兩個(gè)量……通過數(shù)形結(jié)合，變量之間的抽象關(guān)系變得生動(dòng)、直觀，為學(xué)生今后學(xué)習(xí)正比例函數(shù)和正比例函數(shù)圖像鋪平了道路。

在正比例圖像教學(xué)中，要正視學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的負(fù)遷移，這需要教師了解學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)，尊重學(xué)生思維特點(diǎn)，通過豐富學(xué)生知識探究的過程，合理利用課堂生成資源，讓課堂在錯(cuò)誤處“正”生長，讓學(xué)生在錯(cuò)誤后有更多的收獲和體會(huì)。

【參考文獻(xiàn)】

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[2]沈重予，王林.小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容分析與教學(xué)指導(dǎo)[M].南京：江蘇鳳凰教育出版社，2015.