應(yīng)用STELLA軟件研究非勻變速直線運(yùn)動(dòng)

劉文慶

(南京師范大學(xué)附屬中學(xué)，江蘇 南京 210003)

系統(tǒng)思考能夠幫助我們理解并解決現(xiàn)實(shí)世界中復(fù)雜問(wèn)題,用于支持系統(tǒng)思考的計(jì)算機(jī)模型有其特有的名稱——系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)．系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)是一項(xiàng)計(jì)算機(jī)建模技術(shù),能夠?qū)φ鎸?shí)系統(tǒng)進(jìn)行仿真,得出其時(shí)間特性．[1]STELLA軟件在Windows操作系統(tǒng)下工作,是系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)用于建模的一種工具性軟件．

運(yùn)用系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方法,思考做非勻變速直線運(yùn)動(dòng)物體的相關(guān)物理量之間邏輯關(guān)系,應(yīng)用STELLA軟件,構(gòu)建系統(tǒng)循環(huán)圖,即棧流圖．從建模角度出發(fā),棧流圖有4個(gè)基本構(gòu)造塊,即棧、流、轉(zhuǎn)換器、連接器．從系統(tǒng)思考的角度出發(fā),棧流圖由3個(gè)基本構(gòu)造塊組成,即棧、流和信息反饋．[2]STELLA軟件具有強(qiáng)大的計(jì)算和作圖功能,非常方便作出相應(yīng)物理量隨時(shí)間變化的圖像和圖表,可以定量研究變化的過(guò)程細(xì)節(jié)．本文筆者展示3個(gè)例子,應(yīng)用STELLA軟件,分別解決力學(xué)、電學(xué)、磁學(xué)中的非勻變速直線運(yùn)動(dòng)問(wèn)題．

1 合外力隨速度變化的非勻變速直線運(yùn)動(dòng)

情景1.質(zhì)量是2 t的汽車,在平直的公路上行駛,如果汽車初速度是5 m/s,保持額定功率為80 kW,且運(yùn)動(dòng)過(guò)程中阻力不變,阻力是重力的0.2倍．問(wèn):汽車運(yùn)動(dòng)的加速度、速度如何變化?

f=0.2mg=0.2×2×103×10 N=4×103N.

由牛頓第二定律

開(kāi)始,v0=5 m/s,牽引力為

合外力F合=F-f=1.2×104N,

最終,汽車以20 m/s收尾速度做勻速直線運(yùn)動(dòng)．

這個(gè)問(wèn)題并不復(fù)雜,筆者以此為例,簡(jiǎn)要介紹應(yīng)用STELLA軟件解決問(wèn)題的流程．

第1步,在Map菜單下,建立汽車恒功率加速過(guò)程物理量的邏輯關(guān)系的系統(tǒng)循環(huán)圖如圖1,速度是棧(Stock),加速度是流(Flow),質(zhì)量、合外力、牽引力、功率、阻力、阻力系數(shù)都是轉(zhuǎn)換器(Conventer),帶箭頭的連接兩個(gè)物理量的線是連接器(Action connector)．圖中諸多物理量構(gòu)成一個(gè)相互作用的系統(tǒng),注意到速度對(duì)牽引力的影響,邏輯上是負(fù)反饋．

圖1

第2步,在Model菜單下,輸入已知物理量大小和相關(guān)公式．在Equation菜單下,可見(jiàn)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型內(nèi)部公式和物理量大小和關(guān)系,如圖2所示．

圖2

第3步,在Graph 菜單下,建立速度、加速度、牽引力等多個(gè)物理量隨時(shí)間變化規(guī)律的圖像,在Run菜單下,設(shè)置模擬長(zhǎng)度等,運(yùn)行可得如圖3,圖中1、2、3分別為v-t、a-t、F-t圖像．

圖3

2 合外力隨位移變化的非勻變速直線運(yùn)動(dòng)

圖4

情景2.如圖4,質(zhì)量為m的小球A穿在絕緣細(xì)桿上,桿的傾角為α,小球A帶正電,電荷量為q,在桿上B點(diǎn)處固定一個(gè)電荷量為Q的正電荷．將A由距B豎直高度為H處無(wú)初速釋放,小球A下滑過(guò)程中電荷量不變,不計(jì)A與細(xì)桿間的摩擦,整個(gè)裝置處在真空中．已知靜電力常量k和重力加速度g．問(wèn):A球如何運(yùn)動(dòng)?何時(shí)有最大速度?

解析:帶電小球A在重力、支持力、庫(kù)侖力作用下,在斜面上做直線運(yùn)動(dòng),取沿斜面向下為正方向,設(shè)兩電荷距離為r,由庫(kù)侖定律和牛頓第二定律,有

初始距離為r0，小球A位移為x,

由于小球A與桿上固定正電荷B點(diǎn)距離r不斷變化,導(dǎo)致庫(kù)侖力大小變化,進(jìn)而合外力變化,加速度a變化,速度v變化,位移x變化,再導(dǎo)致小球A與桿上固定正電荷B點(diǎn)距離r變化,循環(huán)無(wú)窮,運(yùn)動(dòng)情況比較復(fù)雜,屬于非勻變速運(yùn)動(dòng)．

運(yùn)用系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方法,應(yīng)用STELLA軟件,建立帶電小球多個(gè)物理量邏輯關(guān)系的系統(tǒng)循環(huán)圖如圖5,這里有兩組棧和雙向流,左上方一組加速度是流,速度是棧;另一組速度是流,位移是棧．還要特別注意的是,速度、位移、加速度、合力可以為負(fù)值．由于題中沒(méi)有給出物理量大小,在Model菜單下,輸入合適的物理量大小數(shù)值和相關(guān)公式．

圖5

圖6

在Graph菜單下,創(chuàng)建速度、位移、加速度隨時(shí)間變化圖像;運(yùn)行展示圖像如圖6,其中1、2、3分別為v-t圖像、x-t圖像、a-t圖像,可以看出小球沿斜桿做往復(fù)運(yùn)動(dòng),是非簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)．

3 合外力隨速度和位移共同變化的非勻變速直線運(yùn)動(dòng)

圖7

情景3.一個(gè)質(zhì)量為m、直徑為d、電阻為R的金屬圓環(huán),在范圍很大的磁場(chǎng)中沿豎直方向下落,磁場(chǎng)的分布情況如圖7所示,已知磁感應(yīng)強(qiáng)度豎直方向的分量By的大小只隨高度變化,其隨高度y變化關(guān)系為By=B0(1+ky)(此處k為比例常數(shù),且k>0),其中沿圓環(huán)軸線的磁場(chǎng)方向始終豎直向上,在下落過(guò)程中金屬圓環(huán)所在的平面始終保持水平,速度越來(lái)越大,最終穩(wěn)定為某一數(shù)值,稱為收尾速度,問(wèn):金屬圓環(huán)的收尾速度多大?

解析:磁感應(yīng)強(qiáng)度豎直方向的分量為By，

By=B0(1+ky).

穿過(guò)金屬圓環(huán)的磁通量為

圓環(huán)產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和感應(yīng)電流為

感應(yīng)電流方向?yàn)楦┮曧槙r(shí)針?lè)较?大小隨速度不斷變化．

考慮到水平方向磁場(chǎng)不明,安培力計(jì)算比較復(fù)雜,通常資料上解法避談安培力和加速度,考慮金屬圓環(huán)最終以收尾速度勻速運(yùn)動(dòng),從能量守恒角度,列功率關(guān)系等式

學(xué)生知道了是什么,但不太清楚為什么．筆者從動(dòng)力學(xué)角度研究．研究安培力和加速度,必須深入研究水平方向磁場(chǎng),設(shè)從圓環(huán)中心沿各個(gè)方向的磁感應(yīng)強(qiáng)度水平方向的分量Br．構(gòu)造一個(gè)底面為金屬圓環(huán)、高為Δy的柱形閉合高斯面,磁通量為0．

可知磁感應(yīng)強(qiáng)度水平方向的分量Br大小恒定,再由安培力公式

安培力方向豎直向上,對(duì)圓環(huán)由牛頓第二定律得

分析變加速直線運(yùn)動(dòng)過(guò)程.

筆者還運(yùn)用系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方法,建立金屬圓環(huán)電磁感應(yīng)諸多物理量的復(fù)雜邏輯關(guān)系的系統(tǒng)循環(huán)圖如圖8,需要強(qiáng)調(diào)的是,速度、位移同時(shí)影響電流、安培力、加速度,是雙反饋機(jī)制．

圖8

在Model菜單下,恰當(dāng)?shù)亟o相應(yīng)物理量賦值;在Graph菜單下,創(chuàng)建速度、位移、電路等隨時(shí)間變化圖象;運(yùn)行圖像,如圖9中1、2、3分別為v-t圖像、y-t圖像、y-t圖像,充分展示了金屬圓環(huán)非勻變速直線運(yùn)動(dòng),學(xué)生的求知欲和好奇心得到了滿足．

圖9