李天梅，司小勝，楊宗浩，徐從啟，張琪

1.火箭軍工程大學(xué) 導(dǎo)彈工程學(xué)院，西安 710025 2.火箭軍士官學(xué)校，青州 262500 3.中國人民解放軍32181部隊(duì)，西安 710032

測(cè)試性增長模型(Testability Growth Model，TGM)是跟蹤并預(yù)計(jì)裝備測(cè)試性水平增長過程的數(shù)學(xué)模型，是裝備測(cè)試性增長分析過程的核心要素。而為了更加方便有效地實(shí)現(xiàn)測(cè)試性增長跟蹤與預(yù)計(jì)，需要建立測(cè)試性增長參數(shù)化學(xué)習(xí)曲線時(shí)間函數(shù)模型[1-2]。

近年來，測(cè)試性增長建模相關(guān)問題已成為測(cè)試性工程領(lǐng)域的熱難點(diǎn)問題。Li等[3]研究建立了測(cè)試性增長參數(shù)化學(xué)習(xí)曲線時(shí)間函數(shù)模型，該模型通過分析測(cè)試性設(shè)計(jì)缺陷(Testability Design Limitation，TDL)變化規(guī)律，構(gòu)建具有鈴形變化規(guī)律的測(cè)試性增長效能函數(shù)來表征已識(shí)別TDL數(shù)量變化趨勢(shì)，并假設(shè)TDL在識(shí)別后立即被修正，不存在時(shí)間延遲，且不引入新的TDL。Zhao等[4-5]針對(duì)試驗(yàn)過程中故障模式可能發(fā)生變化的情況，并假設(shè)對(duì)識(shí)別的TDL不能一次性根除，分析測(cè)試性指標(biāo)變化規(guī)律，提出了一種基于馬爾科夫鏈考慮非理想修正的測(cè)試性增長參數(shù)模型。該模型是以單個(gè)故障模式不可檢測(cè)/隔離概率作為馬爾科夫鏈的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率，但對(duì)于大型復(fù)雜裝備，每個(gè)故障模式的不可檢測(cè)/隔離概率數(shù)據(jù)很難獲取，且所獲取數(shù)據(jù)具有很大的不確定性，因此影響所建立測(cè)試性增長參數(shù)模型的準(zhǔn)確性。

以上模型的提出對(duì)測(cè)試性增長試驗(yàn)的開展具有重要理論指導(dǎo)意義，但這些模型忽略了測(cè)試性設(shè)計(jì)者的學(xué)習(xí)過程和TDL修正延時(shí)問題。測(cè)試性設(shè)計(jì)者學(xué)習(xí)過程是指隨著裝備測(cè)試性增長過程的進(jìn)行，測(cè)試性設(shè)計(jì)人員對(duì)系統(tǒng)越來越了解，對(duì)測(cè)試性設(shè)計(jì)技術(shù)越來越熟悉，對(duì)TDL修正能力越來越強(qiáng)。修正延時(shí)是指TDL修正過程滯后于TDL識(shí)別過程的現(xiàn)象，從時(shí)間角度來看就是TDL被識(shí)別之后到完全被修正所需要的那一段時(shí)間。因此，如何考慮測(cè)試性設(shè)計(jì)者的學(xué)習(xí)過程和修正延時(shí)現(xiàn)象建立準(zhǔn)確的測(cè)試性增長參數(shù)化學(xué)習(xí)曲線時(shí)間函數(shù)模型十分必要。

在軟件可靠性領(lǐng)域中，有大量考慮故障修正延時(shí)的軟件可靠性增長模型。Schneidewind[6]首先提出故障修正過程是影響可靠性和測(cè)試進(jìn)度的主要過程，他從時(shí)間角度分析了故障修正延遲現(xiàn)象，并在假設(shè)修正延遲是一個(gè)常數(shù)的基礎(chǔ)上建立了故障修正過程的軟件可靠性增長模型。在此基礎(chǔ)上，一些學(xué)者還提出了基于不同時(shí)間延時(shí)函數(shù)的軟件可靠性增長模型[7-9]。在測(cè)試性增長過程中，修正TDL是測(cè)試性設(shè)計(jì)增長的主要目的，對(duì)于不同的TDL其修正的難易程度不同，需要的修正時(shí)間不同，同時(shí)，隨著測(cè)試性設(shè)計(jì)者學(xué)習(xí)過程的存在，很難用一種時(shí)間延時(shí)函數(shù)統(tǒng)一描述。然而與描述每個(gè)TDL的延時(shí)時(shí)間相比，測(cè)定已識(shí)別TDL數(shù)量和已修正TDL數(shù)量是較為簡(jiǎn)單的和可行的。事實(shí)上，測(cè)試性增長的目的就是逐一識(shí)別并修正TDL，這里將已經(jīng)識(shí)別到但未修正的測(cè)試性設(shè)計(jì)缺陷，稱為剩余測(cè)試性設(shè)計(jì)缺陷(Remaining Testability Design Limitation，RTDL)，RTDL數(shù)量能直接反映測(cè)試性設(shè)計(jì)水平的高低。

基于以上分析，本文考慮測(cè)試性設(shè)計(jì)者的學(xué)習(xí)過程，在分析TDL識(shí)別過程與修正過程存在延時(shí)關(guān)系的基礎(chǔ)上，通過分析TDL識(shí)別與修正機(jī)理及變化規(guī)律，構(gòu)建具有鈴形變化規(guī)律的剩余測(cè)試性設(shè)計(jì)缺陷函數(shù)，在此基礎(chǔ)上，研究建立基于Gamma、Rayleigh和Delay-S 3種鈴型曲線考慮修正延時(shí)的測(cè)試性增長參數(shù)化學(xué)習(xí)曲線時(shí)間函數(shù)模型；最后，基于某機(jī)載穩(wěn)定跟蹤平臺(tái)的增長試驗(yàn)數(shù)據(jù)，驗(yàn)證所提測(cè)試性增長模型的有效性。

1 RTDL變化趨勢(shì)分析

在實(shí)際的測(cè)試性增長試驗(yàn)中，TDL必須在被識(shí)別之后才能被修正。一般來說識(shí)別的測(cè)試性缺陷數(shù)量越多，修正的TDL也隨之增多。與此同時(shí)，修正的TDL數(shù)量越多，TDL修正人員積累的經(jīng)驗(yàn)也越多，可以更容易對(duì)已識(shí)別的TDL進(jìn)行修正。

在測(cè)試性增長試驗(yàn)初期，隨著注入的故障模式數(shù)量逐漸增加，TDL逐漸被識(shí)別，已識(shí)別TDL數(shù)量不斷增多。此時(shí)，由于設(shè)計(jì)師缺乏經(jīng)驗(yàn)，TDL不容易被修正，所用的修正時(shí)間較長，TDL修正效率較低，TDL的修正過程將滯后于TDL的識(shí)別過程，RTDL不斷增大。隨著測(cè)試性增長試驗(yàn)的進(jìn)行，在規(guī)定的故障注入次數(shù)下，能識(shí)別的測(cè)試性設(shè)計(jì)缺陷數(shù)量逐漸達(dá)到飽和，設(shè)計(jì)師不斷學(xué)習(xí)，對(duì)儀器、工具、方法逐漸掌握，經(jīng)驗(yàn)不斷積累，TDL的修正效率不斷提高，RTDL數(shù)量逐漸減小，TDL的修正過程逐漸逼近TDL的識(shí)別過程。而且RTDL能夠從測(cè)試性設(shè)計(jì)缺陷數(shù)量上直接反應(yīng)修正延時(shí)的變化過程，且具有“先增后減”的變化趨勢(shì)。

衡量測(cè)試性的指標(biāo)包括故障檢測(cè)率(Fault Defection Rate，F(xiàn)DR)、故障隔離率、以及虛警率等，這些指標(biāo)在數(shù)學(xué)上沒有相關(guān)性。因此一般情況下，一次測(cè)試性增長試驗(yàn)只能以一個(gè)測(cè)試性指標(biāo)增長為目標(biāo)。不失討論問題的一般性，接下來的論文部分以FDR增長模型建模為例展開討論。

2 考慮TDL修正延時(shí)的FDR增長模型

(1)

式中：a為最初隱藏于系統(tǒng)中的TDL數(shù)量；b為比例系數(shù)，不失討論問題的一般性，假設(shè)b為常數(shù)；mf(t)為識(shí)別出的TDL數(shù)量；mr(t)為識(shí)別并有效修正的TDL數(shù)量。

由第1節(jié)分析可知，由于存在測(cè)試性設(shè)計(jì)者的學(xué)習(xí)過程，導(dǎo)致TDL在識(shí)別出來后不能被立即修正，即存在TDL的修正延時(shí)問題。RTDL數(shù)量記為y(t)，即

mf(t)-mr(t)=y(t)

(2)

將式(2)代入式(1)可得

(3)

FDR的數(shù)學(xué)模型可表示為

(4)

式中：M為故障模式總數(shù)，可以通過故障模式影響及危害性分析得到；ND為系統(tǒng)測(cè)試性設(shè)計(jì)能夠成功檢測(cè)到的故障模式數(shù)量。

ND的表達(dá)式為

ND=M-(a-mr(t))

(5)

ND=M-[a-(mf(t)-y(t))]

(6)

將(6)式代入(4)式可得

(7)

式中：q(t)即為考慮TDL修正延時(shí)的測(cè)試性增長參數(shù)化學(xué)習(xí)曲線時(shí)間函數(shù)模型的一般表達(dá)形式。

由于測(cè)試性試驗(yàn)工程師具有一定的學(xué)習(xí)能力，隨著測(cè)試性增長試驗(yàn)的開展，RTDL數(shù)量具有先增后減的變化趨勢(shì)，借鑒軟件可靠性增長領(lǐng)域考慮學(xué)習(xí)過程的鈴形曲線形式[10-13]，分別采用Gamma、Rayleigh和Delay-S 3種鈴形曲線表示RTDL變化趨勢(shì)，將這3種曲線代入式(6)，即可得到考慮TDL修正延時(shí)的3種不同曲線特性下的FDR增長模型。

2.1 基于Gamma修正延時(shí)曲線的FDR增長模型

Gamma曲線可以表示為[10]

(8)

由式(8)可知，Gamma曲線是一條光滑的鈴形曲線，如圖1所示。

圖1 具有固定參數(shù)的Gamma函數(shù)曲線(α=240, β=1.496, θ=5.96)Fig.1 A Gamma curve with fixed parameters (α=240, β=1.496, θ=5.96)

將式(8)代入式(3)可得

(9)

在邊界條件mf(0)=0下求解微分方程式(9) 可得

(10)

將式(10)代入式(7)，可得基于Gamma修正延時(shí)曲線的FDR增長參數(shù)化學(xué)習(xí)曲線時(shí)間函數(shù)模型為

(11)

2.2 基于Rayleigh修正延時(shí)曲線的FDR增長模型

Rayleigh曲線可以表示為[11]

(12)

由式(12)可知，Rayleigh函數(shù)是一條光滑的鈴形曲線，如圖2所示。

將式(12)代入式(3)可得

(13)

在邊界條件mf(0)=0下求解微分方程(13)可得

(14)

將式(14)代入式(6),可得基于Rayleigh修正延時(shí)曲線的FDR增長參數(shù)化學(xué)習(xí)曲線時(shí)間函數(shù)模型為

(15)

圖2 具有固定參數(shù)的Rayleigh函數(shù)曲線(α=240, β=0.111 1)Fig.2 A Rayleigh curve with fixed parameters (α=240, β=0.111 1)

2.3 基于Delay-S修正延時(shí)曲線的FDR增長模型

Delay-S曲線可以表示為[12-13]

y(t)=αβ2te-β t

(16)

由式(16)可知，Delay-S函數(shù)是一條光滑的鈴形曲線，如圖3所示。

將式(16)代入式(3)可得

(17)

圖3 Delay-S函數(shù)曲線示意圖 (α=240, β=0.111 1)Fig.3 A Delayed-S curve with fixed parameters (α=240, β=0.111 1)

在邊界條件mf(0)=0下求解微分方程(17)可得

(18)

將式(18)代入式(6)，可得基于Delay-S修正延時(shí)曲線的FDR增長參數(shù)化學(xué)習(xí)曲線時(shí)間函數(shù)模型為

q(t)=1-

(19)

3 試驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 試驗(yàn)數(shù)據(jù)說明

為驗(yàn)證本文所建TGM的有效性，以某型機(jī)載穩(wěn)定跟蹤平臺(tái)控制系統(tǒng)為對(duì)象開展了測(cè)試性增長試驗(yàn)，具體的試驗(yàn)數(shù)據(jù)見表1。對(duì)該機(jī)載穩(wěn)定跟蹤平臺(tái)開展故障模式影響及其危害性分析得到該平臺(tái)有350個(gè)功能故障。在研制階段共投入24周時(shí)間開展測(cè)試性增長試驗(yàn)，在這24周時(shí)間里，通過注入313個(gè)板級(jí)功能故障，識(shí)別了86個(gè)TDL。測(cè)試性設(shè)計(jì)者分析導(dǎo)致TDL的根本原因并改進(jìn)測(cè)試性設(shè)計(jì)，共修正了80個(gè)TDL。

基于表1所列數(shù)據(jù)，已識(shí)別TDL數(shù)量、已修正TDL數(shù)量和RTDL數(shù)量變化趨勢(shì)如圖4所示。

從圖4中可以看出已識(shí)別的TDL數(shù)量和已修正的TDL數(shù)量變化趨勢(shì)十分相似，表明兩者之間存在一定的相關(guān)性。而RTDL數(shù)量并不是常數(shù)，在測(cè)試性增長試驗(yàn)的開始階段，RTDL數(shù)量不斷增長，而在增長試驗(yàn)的后期，RTDL數(shù)量不斷減小，具有先增后減的鈴形變化趨勢(shì)。

表1 某機(jī)載穩(wěn)定跟蹤平臺(tái)測(cè)試性增長試驗(yàn)數(shù)據(jù)Table 1 Test data of a stable tracking platform

圖4 已識(shí)別TDL、已修正TDL和RTDL數(shù)量變化趨勢(shì)Fig.4 Variation tendency of identified TDL, corrected TDL and RTDL

3.2 TGM參數(shù)估計(jì)

本文采用最小二乘方法估計(jì)得到式(10)、式(14)、式(18)中的參數(shù)。

以式(18)中參數(shù)估計(jì)為例，首先計(jì)算

(20)

式(20)分別對(duì)參數(shù)集合η1={α,β}求偏導(dǎo)數(shù)可得

(21)

代入具體的表達(dá)式和數(shù)據(jù)，通過最小二乘求極值原理可得到參數(shù)估計(jì)結(jié)果為：α=674.46、β=0.084 8。

將求得的α=674.46、β=0.08代入式(18)后，計(jì)算可得

(22)

式(22)分別對(duì)參數(shù)集合η2={a,b}求偏導(dǎo)數(shù)可得

(23)

代入具體的表達(dá)式和數(shù)據(jù)，通過最小二乘求極值原理可得到參數(shù)估計(jì)結(jié)果為：a=46.03、b=0.18。

同理，可以計(jì)算得到式(10)、式(14)中具體參數(shù)估計(jì)結(jié)果，見表2。

基于表2的參數(shù)估計(jì)結(jié)果，圖5給出了實(shí)際剩余測(cè)試性設(shè)計(jì)缺陷數(shù)量變化曲線和基于Gamma、Rayleigh和Delay-S 3種鈴形曲線擬合出來的剩余測(cè)試性設(shè)計(jì)缺陷數(shù)量變化趨勢(shì)圖。

圖6給出了實(shí)際檢測(cè)到測(cè)試性設(shè)計(jì)缺陷數(shù)量變化曲線和基于式(10)、式(14)、式(18)計(jì)算得到的已檢測(cè)出測(cè)試性設(shè)計(jì)數(shù)量變化趨勢(shì)圖。

表2 最小二乘參數(shù)估計(jì)值Table 2 Estimation values based on LSE

圖5 實(shí)際的和鈴形曲線擬合的RTDL數(shù)量Fig.5 Actual number of RTDL and fitting number of RTDL

圖6 實(shí)際的和擬合的已識(shí)別測(cè)試性設(shè)計(jì)缺陷個(gè)數(shù)Fig.6 Actual number and fitting number of identified TDL

3.3 TGM評(píng)估指標(biāo)

下面分別從擬合能力、估計(jì)精度和預(yù)測(cè)能力3個(gè)方面給出TGM的評(píng)價(jià)指標(biāo)。

1) 誤差平方和(Sum of Square due to Error，SSE)

SSE反映了估計(jì)值和實(shí)際值之間的偏差,SSE的定義為[14-15]

(24)

式中：n為測(cè)試性增長試驗(yàn)階段數(shù)；yi為經(jīng)過實(shí)際測(cè)試性增長試驗(yàn)后累計(jì)的RTDL數(shù)量；y(i)為測(cè)試性增長跟蹤與預(yù)計(jì)計(jì)算得到的RTDL數(shù)量。SSE越小，說明模型擬合效果越好。

2) 估計(jì)精度(Accuracy of Estimation，AE)

AE的定義為[14-15]

(25)

式中：mr為通過測(cè)試性增長試驗(yàn)累計(jì)修正的TDL數(shù)量；a為估計(jì)得到的裝備系統(tǒng)最初包含TDL數(shù)量。AE越小，說明模型估計(jì)精度越高。

3) 相對(duì)誤差(Relative Error，RE)

RE定義為[14-15]

(26)

3.4 TGM效果分析

本文建立的考慮TDL修正延時(shí)的TGM，其SSE和AE計(jì)算結(jié)果見表3。

分析表3中數(shù)據(jù)可得，基于Gamma鈴形修正延時(shí)曲線建立的測(cè)試性增長模型，其SSE和AE值相對(duì)較小，表明該模型具有很好地?cái)M合和估計(jì)能力。圖5和圖6的示意圖中也說明了這一結(jié)論。

圖7描述了基于3種鈴形修正延時(shí)曲線建立的測(cè)試性增長模型在RE這一指標(biāo)的變化趨勢(shì)。由圖7可以看出，基于Gamma鈴形修正延時(shí)曲線建立的測(cè)試性增長模型計(jì)算得到的RE值相對(duì)于其他兩種模型要小，且跟蹤與預(yù)計(jì)精度能達(dá)到10-2數(shù)量級(jí)。

表3 3種模型指標(biāo)估計(jì)值Table 3 Estimate values of SSE and AE

圖7 基于3種鈴形曲線的RE變化趨勢(shì)Fig.7 Variation tendency of RE based on three bell shaped curves

將表2計(jì)算得到的參數(shù)估計(jì)值代入式(11)繪制基于Gamma修正延時(shí)曲線的FDR增長試驗(yàn)跟蹤與預(yù)計(jì)曲線，同時(shí)基于表1的測(cè)試性增長試驗(yàn)數(shù)據(jù)繪制該機(jī)載穩(wěn)定跟蹤平臺(tái)實(shí)際FDR增長曲線，如圖8所示。

圖8 基于Gamma曲線的FDR增長曲線Fig.8 Variation tendency of FDR based on Gamma curves

4 結(jié) 論

1) 分析了剩余測(cè)試性設(shè)計(jì)缺陷具有先增后減的鈴形變化趨勢(shì)，提出基于Gamma、Rayleigh和Delay-S 3種曲線來擬合剩余測(cè)試性設(shè)計(jì)缺陷變化趨勢(shì)，數(shù)據(jù)應(yīng)用表明Gamma曲線擬合精度更高。

2) 以故障檢測(cè)率為具體的增長指標(biāo)，研究建立了基于3種剩余測(cè)試性設(shè)計(jì)變化趨勢(shì)曲線(Gamma, Rayleigh和Delay-S)、考慮修正延時(shí)的FDR增長模型，從擬合精度、估計(jì)精度和預(yù)測(cè)精度上給出了3個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)。試驗(yàn)數(shù)據(jù)應(yīng)用表明基于Gamma曲線考慮修正延時(shí)的測(cè)試性增長模型可以較精確地描述裝備測(cè)試性指標(biāo)在測(cè)試性增長過程中的變化規(guī)律，跟蹤與預(yù)計(jì)精度能達(dá)到10-2數(shù)量級(jí)。