（浙江省湖州市南潯區(qū)教育教學(xué)研究和培訓(xùn)中心）

羅增儒教授曾在《中學(xué)數(shù)學(xué)解題的理論與實踐》一書中提到：掌握數(shù)學(xué)的一個重要標志就是善于解題，會解題的不知道怎么就會了，不會解題的更不知道怎么就老學(xué)不會.可謂是一語驚醒廣大數(shù)學(xué)教育工作者，特別是后半句——“不會解題的更不知道怎么就老學(xué)不會”.相信這也是數(shù)學(xué)教師在解題教學(xué)時的心聲.那么，如何才能有效解決這一普遍現(xiàn)象呢？筆者認為，當(dāng)學(xué)生遇到問題時，如何快速浮現(xiàn)數(shù)學(xué)表象，以及頓時產(chǎn)生數(shù)學(xué)直感非常重要，即如何深入剖析問題的已知條件，從而直觀想象，并通過解題經(jīng)驗尋求思維起點，進而解決問題.本文從一道幾何競賽題的多解思路分析來談一談筆者對解題教學(xué)的一些粗淺的認識，權(quán)當(dāng)拋磚引玉.

一、題目呈現(xiàn)

題目（2016年浙江省湖州市九年級數(shù)學(xué)競賽題）如圖1，已知AD為△ABC的角平分線，AB＜AC，在AC上截取CE=AB，M，N分別為BC，AE的中點.求證：MN∥AD.

圖1

二、試題評析

該題是一道對學(xué)生的邏輯推理能力要求較高的幾何證明題，圖形和已知條件看似簡單，但剖析已知條件發(fā)現(xiàn)線段之間的關(guān)系錯綜復(fù)雜，因此，學(xué)生解決起來有一定的困難.該題綜合性較強，涉及的主要知識點可能有全等三角形、相似三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的性質(zhì)與意義，三角形中位線判定與性質(zhì)，梯形中位線判定與性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例，平行四邊形的判定與性質(zhì)，等腰三角形“三線合一”，等等.需要用到的數(shù)學(xué)思想可能有轉(zhuǎn)化思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合思想等.

三、多解思路分析

即便是具備較高思維層次的學(xué)生遇到該題，都會感覺不知所措，從何想起？換言之，該題的思維起點到底在哪里？不妨深入剖析一下該題的每一個已知條件，這些已知條件均有可能成為重要的思維起點，有了思維起點，就能逐步打通整個解題思路.接下來，筆者就從不同的已知條件出發(fā)進行深入剖析，從而正確地尋求該題的思維起點，進而解決問題.

1.深剖中點條件，尋求中位線思維起點

（1）構(gòu)造三角形的中位線.

解法1：取AB中點F，連接MF，交AD于點G，如圖2所示.

圖2

所以∠1=∠2=∠3.

所以GM=AN.

所以四邊形AGMN為平行四邊形.

所以MN∥AD.

解法2：取AC中點F，連接MF，如圖3所示.

圖3

同解法1，得FM∥AB，

所以FM=FN.

所以∠3=∠4.

由∠MFC=∠BAC，得∠1+∠2=∠3+∠4.

又因為∠1=∠2，

所以∠1=∠2=∠3=∠4.

所以MN∥AD.

解法3：連接BE，取BE中點為點F，連接FN，F(xiàn)M，如圖4所示.

圖4

因為FN為△EAB的中位線，

因為CE=AB，

所以FN=FM.

所以∠3=∠5=∠4.

因為∠1=∠2，∠1+∠2=∠3+∠4，

所以∠2=∠4.

所以MN∥AD.

【評析】解法1和解法2這兩種思路的本質(zhì)相通，均是由已知條件中的“M為BC的中點”所聯(lián)想到；解法3是由已知條件中的“CE=AB，M，N分別為BC，AE的中點”所聯(lián)想到，形成了正確的思維起點，即由三角形某邊的中點，聯(lián)想到了構(gòu)造三角形中位線.解法1通過三角形中位線，以及已知的線段相等關(guān)系證得平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)證得結(jié)論.解法2通過三角形中位線及已知的線段關(guān)系，利用數(shù)量關(guān)系的轉(zhuǎn)化證得同位角相等，從而結(jié)論成立.解法3利用兩條三角形中位線的構(gòu)造巧妙的將條件“CE=AB”轉(zhuǎn)化為“FM=FN”，從而利用角關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化，進而利用平行線的判定方法解決.這三種解法均是通過深入剖析已知條件“CE=AB，M，N分別為BC，AE的中點”和所證結(jié)論“MN∥AD”之間的關(guān)聯(lián)，找準了“作三角形中位線”來作為此題的邏輯思維起點，為解決問題邁出了堅實的一步.

（2）構(gòu)造梯形的中位線.

解法4：在BC上取一點F，使得MF=MD，如圖5所示.

圖5

則由M為BC的中點，可得CF=BD.

由∠1=∠2，可得

可證得EF∥AD.

因此，四邊形ADFE是梯形.

故MN是該梯形的中位線.

所以MN∥AD.

解法5：過點E作EF∥AD，交BC于點F，在AD上取點G，使得AG=EF，連接BG，如圖6所示.

圖6

易證△ABG≌△ECF.

所以BG=CF，∠5=∠4.

所以∠BGD=∠BDG.

所以BD=BG=CF.

由M為BC的中點，可得

MD=MF.

故MN是梯形ADFE的中位線.

所以MN∥AD.

解法6：過點E作EF∥AD，交BC于點F，過點B作BG∥AC，交AD的延長線于點G，如圖7所示.

易得∠1=∠2=∠3=∠G.

所以AB=BG=EC.

又因為∠GBD=∠C，

所以△BDG≌△CFE.

所以BD=CF.

下同解法4，略.

圖7

【評析】解法4通過角平分線定理證得平行，從而滿足了梯形中位線的條件.解法5和解法6思路相通，解法5是從內(nèi)部構(gòu)造全等三角形，而解法6是從外部去構(gòu)造全等三角形，這兩種解法都是通過構(gòu)造全等三角形來得出相等的線段，從而滿足梯形中位線特征.解法4主要通過剖析已知條件“M，N分別為BC，AE的中點”和所證結(jié)論“MN∥AD”的直接關(guān)聯(lián)，聯(lián)想到“構(gòu)造梯形中位線”的思維起點.解法5和解法6則是深入挖掘已知條件中的“M，N分別為BC，AE的中點”和“CE=AB”的內(nèi)在聯(lián)系，從而確定了“構(gòu)造梯形中位線并證全等三角形”的邏輯思維起點.

2.深剖中點條件，尋求全等三角形思維起點

解法7：延長NM至點F，使得MN=MF，連接BF，延長AD交BF于點G，如圖8所示.

圖8

易得△BMF≌△CMN.

所以BF=CN，且BF∥AC.

所以∠1=∠2=∠3.

所以BG=AB=EC.

所以BF-BG=CN-EC，

即GF=NE.

所以GF=AN.

所以四邊形AGFN是平行四邊形.

所以MN∥AD.

【評析】解法7是由已知條件中的“M為BC的中點”所形成的思維起點，當(dāng)然還需要學(xué)生具備這樣的解題經(jīng)驗——“遇中點，可倍長”，即看到中點，可將經(jīng)過中點的線段延長一倍，根據(jù)“邊角邊”的判定方法構(gòu)造出一對全等三角形，利用全等三角形的性質(zhì)解決問題.可見，線段中點作為已知條件時，有時亦可尋求全等三角形作為思維起點.

3.深剖角平分線條件，尋求等腰三角形思維起點

（1）利用“三線合一”構(gòu)造等腰三角形.

解法8：過點B作BF⊥AD于點F，并延長BF，交AC于點G，連接MF，如圖9所示.

由∠1=∠2，BF⊥AD，可得△ABG是等腰三角形.

圖9

所以AB=AG，BF=GF.

所以MF是△BCG的中位線.

所以MF∥AC，且

又因為CE=AB=AG，

所以CE-EG=AG-EG，

即CG=AE.

所以FM=AN.

所以四邊形AFMN是平行四邊形.

所以MN∥AD.

【評析】解法8的思維起點是通過分析已知條件中的“AD為△ABC的角平分線”聯(lián)想到：遇到角平分線時可作垂直構(gòu)造高線，從而利用等腰三角形“三線合一”定理的逆定理即能得出兩個重要的結(jié)論，即構(gòu)造一個等腰三角形和一條底邊上的中線，進而利用三角形中位線的判定與性質(zhì)，以及平行四邊形的判定與性質(zhì)證得結(jié)論成立.因此，只要讓學(xué)生具備“遇角平分線，可作垂直構(gòu)造等腰”的解題經(jīng)驗，相信該題的解題思路必將一路暢通.

（2）利用“雙平等腰問題”構(gòu)造等腰三角形.

解法9：過點B作BF∥AD，交CA的延長線于點F，如圖10所示.

圖10

因為BF∥AD，

所以∠1=∠3，∠2=∠F.

又因為∠1=∠2，

所以∠F=∠3.

所以AB=AF.

所以EC=AF.

因為AN=NE，

所以FN=CN.

所以MN是△BCF的中位線.

所以MN∥BF.

所以MN∥AD.

【評析】解法9的思維起點同樣源于已知條件中的“AD為△ABC的角平分線”，遇到角平分線時也可聯(lián)想到“雙平等腰三角形”問題，即“角平分線+平行→等腰三角形”，簡稱為“雙平等腰問題”.該思路通過巧妙地構(gòu)造出等腰三角形ABF，從而得出MN是△BCF的中位線，最后利用平行線的傳遞性證得結(jié)論成立.可見，由條件中的角平分線聯(lián)想到的“雙平等腰三角形”模型可以讓該題的解決更輕松簡潔.其實，解法1、解法5、解法6也都滲透著“雙平等腰問題”的運用.可見，學(xué)生如對于“雙平等腰問題”理解透徹的話，能夠?qū)で蟮娇梢越鉀Q該題的多種思維起點.

4.深剖角平分線條件，尋求比例線段思維起點

解法10：設(shè)AB=CE=a，AN=NE=b，如圖11所示.

圖11

由AD為△ABC的角平分線，可得

【評析】解法10是以上解法中唯一不需要添輔助線的解法，其思維起源于已知條件中的“AD為△ABC的角平分線”.根據(jù)三角形角平分線定理可以得到比例線段，再根據(jù)條件中的線段相等及線段中點等重要信息設(shè)出輔助元，進而利用比例線段證得結(jié)論成立.該思路雖然無需添加任何輔助線，但是對于比例線段的處理要求較高，因此也是不易想到的一種解題思路，但如能從角平分線這一條件進行突破，也還是能想到該思路的.

四、兩點思考

1.注重滲透解題經(jīng)驗，豐富學(xué)生的思維儲備

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》特別強調(diào)：數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標志，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標，是學(xué)生不斷經(jīng)歷、體驗各種數(shù)學(xué)活動過程的結(jié)果.這里的“解題經(jīng)驗”包括解題思想方法、解題基本模型、解題通法或技巧等規(guī)律方面的思維能力.如上述提到的“遇中點，想中位線”“遇中點，構(gòu)全等”“遇角平分線，構(gòu)等腰”等.另外還有沒提到的，但是大家在平時的教學(xué)中也時常會滲透的.例如，“遇垂直，想勾股”“遇切點，連圓心”“遇90°圓周角，找直徑”等.同時，一些常見的幾何基本問題也屬于解題經(jīng)驗范疇，如“雙平等腰問題”“將軍飲馬問題”“三垂直問題”“半角問題”“共頂點旋轉(zhuǎn)問題”等.我們?nèi)缒茉谄綍r的教學(xué)中多滲透這樣的“解題經(jīng)驗”，就能豐富學(xué)生的思維儲備，為思維起點的頓悟鋪好扎實的基石.

2.深入剖析已知條件，快速找準思維起點

分析問題，尋求思路的方法一般有三種：由因?qū)Ч?，?zhí)果索因，因果夾擊.本文重點探索“由因?qū)Ч钡乃季S尋求方式，即從已知條件出發(fā)，一步一步推得結(jié)論成立.上述案例中介紹的十種不同的解題思維均是從某個特定的已知條件出發(fā)，找準了思維起點后最終順利解決問題的.可見，該思維方式需要學(xué)生有一定的深入剖析已知條件的能力，以求浮現(xiàn)出更多的數(shù)學(xué)表象.當(dāng)學(xué)生擁有足夠的“解題經(jīng)驗”作為思維儲備時，數(shù)學(xué)表象就會轉(zhuǎn)化為一個有序的深化過程，進而頓悟出數(shù)學(xué)直感，即找準了某條正確思路的思維起點.數(shù)學(xué)直感的得出是解題的重大進展，它能為圖形各部分數(shù)學(xué)關(guān)系的溝通起到橋梁作用，為后續(xù)的展開數(shù)學(xué)想象和給出邏輯證明鋪平了思維的道路.