（浙江省嘉興市南湖區(qū)教育研究培訓(xùn)中心）

眾所周知，很多代數(shù)或幾何問題的解決依賴于作圖.良好的作圖能力可以啟發(fā)解題思路，為解決問題提供很大幫助.經(jīng)常動(dòng)手作圖，可以幫助學(xué)生更好地理解圖形的基本性質(zhì)和位置關(guān)系，建立幾何直觀，展開關(guān)聯(lián)想象，從而把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，這有助于探索解決問題的思路，進(jìn)而拉近題目條件與待求結(jié)論之間的距離，使得問題的解決事半功倍.筆者現(xiàn)結(jié)合幾個(gè)實(shí)例來闡述幾何作圖在數(shù)學(xué)解題中的妙用.

一、作網(wǎng)格，以“圖”的直觀探尋方法

作圖可以理解為一種從無到有的創(chuàng)造，它有助于提煉問題中的數(shù)量關(guān)系，并且進(jìn)行直觀表達(dá)，從而幫助學(xué)生分析問題和解決問題.例如，解答某些三角函數(shù)問題時(shí)，若能將構(gòu)造的直角三角形放置在正方形網(wǎng)格中，則題目中的一些數(shù)量關(guān)系和關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)就會(huì)自然顯現(xiàn)，讓問題的解答變得簡單，甚至是一擊而中.

例1已知,求α+β的度數(shù).

解析：如圖1，先作出正方形網(wǎng)格，然后根據(jù)已知條件，在正方形網(wǎng)格中作出∠ABC=α,∠DBC=β,于是∠ABD=α+β.借助幾何直觀和經(jīng)驗(yàn)，不難觀察并猜想∠ABD=45°,接著想辦法證明∠ABD=45°.而要證明∠ABD=45°,只需要連接AD，證明△ABD是等腰直角三角形即可.

圖1

此題中，在正方形網(wǎng)格背景中作出滿足要求的角α和β，并將這兩個(gè)角合并在一起，不僅能很快地判斷出α+β=45°,而且不需要經(jīng)歷復(fù)雜的運(yùn)算，只需要調(diào)用直觀經(jīng)驗(yàn)，借助簡單的幾何推理，即可找到答案，凸顯了“寓數(shù)于形，以形解數(shù)”的應(yīng)用價(jià)值.

二、作軌跡，用“圖”的規(guī)律啟發(fā)思維

初中階段，許多“求最值”的問題都與點(diǎn)的軌跡有關(guān).求解此類問題時(shí)，若能作出動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的軌跡，并通過作圖形去思考和發(fā)現(xiàn)規(guī)律，那么問題就會(huì)迎刃而解.

例2如圖2，在邊長為1的正方形ABCD中，將射線AC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α度（0°＜α≤ 360°），得到射線AE，點(diǎn)M是點(diǎn)D關(guān)于射線AE的對(duì)稱點(diǎn)，則線段CM長度的最小值為（ ）.

圖2

解析：如圖3，先作出射線AE在不同位置時(shí)，點(diǎn)D關(guān)于射線AE的對(duì)稱點(diǎn)M（例如，當(dāng)射線AE與直線AC重合時(shí)，點(diǎn)D關(guān)于射線AE的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B；當(dāng)射線AE與直線AB重合時(shí)，點(diǎn)D關(guān)于射線AE的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)M1），然后觀察這些對(duì)稱點(diǎn)的位置特征，再通過直觀想象與操作驗(yàn)證，不難發(fā)現(xiàn)這些對(duì)稱點(diǎn)在以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑的圓上，即點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑的圓，進(jìn)而得出當(dāng)點(diǎn)M在正方形對(duì)角線AC上時(shí)，線段CM長度的最短，最小值為

圖3

此題要求動(dòng)線段CM長的最小值，解答時(shí)很難直接想到解題思路.即使有學(xué)生想到利用三角形的三邊關(guān)系去解答，并且連接了AM，知道了CM≥AC-AM，也不一定能想到線段AM的長是定值1.更何況利用三角形的三邊關(guān)系推出CM＞AC-AM容易，推出CM≥AC-AM較難，因?yàn)閷W(xué)生不一定能理解CM=AC-AM.基于這樣的現(xiàn)實(shí)，若用軌跡思想去思考，則問題就變得明朗起來.因?yàn)榫€段的長度取決于線段兩個(gè)端點(diǎn)的位置，此題中動(dòng)線段CM的兩個(gè)端點(diǎn)“一定一動(dòng)”，于是想到先作出動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡，再仔細(xì)觀察圖中的規(guī)律，則問題的解決方案近在咫尺.

三、作全等，借“圖”的形象化難為易

全等三角形是初中幾何的重要內(nèi)容之一，也是研究其他幾何圖形的基礎(chǔ).許多幾何問題若能通過添加輔助線構(gòu)造出全等三角形，以聯(lián)通題設(shè)與結(jié)論，并靈活運(yùn)用全等圖形的相關(guān)性質(zhì)，往往可以使問題化難為易，進(jìn)而快速找到解決問題的方法.

例3如圖4，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4, 點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊BC和對(duì)角線BD上的動(dòng)點(diǎn)，且始終保持BE=DF,連接AE和AF.當(dāng)線段AE+AF的值最小時(shí)，求的值.

圖4

解析：如圖5，以點(diǎn)B為頂點(diǎn)，BE為一條邊向矩形ABCD外作∠GBE=∠ADF,并在∠GBE的一邊上截取BG=AD,連接BG，則△BGE≌△DAF.所以EG=AF.從而將AE+AF轉(zhuǎn)化為AE+EG.此時(shí)不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)A，E，G三點(diǎn)共線時(shí)，線段AE+AF的值最?。ㄈ鐖D6）.

圖5

圖6

此題通過作全等三角形，實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)移和拼接，同時(shí)將定點(diǎn)A轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)G，巧妙地將“兩動(dòng)一定”轉(zhuǎn)化為“兩定一動(dòng)”.于是利用“兩點(diǎn)之間線段最短”的基本事實(shí)可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)A，E，G三點(diǎn)共線時(shí)，AE+EG的值最小，即AE+AF的值最小.至此，離問題的最后解決僅一步之遙，后續(xù)只需要構(gòu)造相似三角形，便能實(shí)現(xiàn)問題的真正解決.這種先作圖后計(jì)算的思維策略相比其他思維策略要簡明許多.例如，此題也可以采用先計(jì)算后作圖的思維策略，但解答的過程卻是一路艱辛.

設(shè)BE=DF=x,則如圖7，過點(diǎn)F作FG⊥AD于點(diǎn)G，易知.進(jìn)而得到.所以.

圖7

圖8

至此，用代數(shù)方法解答陷入困境，后續(xù)解答需要圖形來幫忙，即先將變形為再構(gòu)造如圖8所示的圖形，方能找到正解.

四、作反例，憑“圖”的真相去偽存真

我們知道，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明既可以肯定一個(gè)命題的真，也可以判定一個(gè)命題的假.只是有些時(shí)候用邏輯推理的方法去證明一個(gè)假命題，不僅耗時(shí)費(fèi)力，而且也不一定能想到證法.此時(shí)，若能用作圖的方式舉一個(gè)巧妙的反例，就能憑“圖”的真相去“偽”存“真”.正如美國數(shù)學(xué)家B.R.蓋爾鮑姆所說：數(shù)學(xué)由兩大類——證明和反例組成，而數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)也是朝著兩個(gè)主要目標(biāo)——提出證明和構(gòu)造反例進(jìn)行.例如，對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)命題的判斷，正確需要證明，謬誤反例足矣.

例4判斷命題“一組對(duì)角相等且一組對(duì)邊也相等的四邊形是平行四邊形”的真假，并說明理由.

解析：假命題.理由如下.

列舉反例如下：如圖9，先作銳角△ABC，并在BC邊上取一點(diǎn)D，使AD=AC,再過點(diǎn)C作∠1=∠2,并截取CE=AB,連接AE.在四邊形ABCE中，容易發(fā)現(xiàn)∠B=∠E,CE=AB. 但根據(jù)“圖”的直觀事實(shí)，顯然四邊形ABCE不是平行四邊形.

圖9

此題用純粹的邏輯推理來證明命題的真假，顯然存在較大困難.因此，數(shù)學(xué)解題時(shí)要選擇簡明合理的方法去解決問題，就像此題的解答，用列舉一個(gè)反例圖的方法，憑著“圖”的真相極具說服力地指出了命題的真假，也讓知識(shí)在直觀中去偽存真.

綜上所述，準(zhǔn)確而巧妙的作圖能夠幫助學(xué)生快速、準(zhǔn)確地找到解決問題的方法.作圖不僅能為解題提供直觀的圖形條件，還能提供形象的操作思路，是數(shù)學(xué)解題的好幫手.通過作圖可以幫助學(xué)生更清楚地認(rèn)清圖形結(jié)構(gòu)，更快捷地找到已知條件與待求結(jié)論之間的紐帶，從而使復(fù)雜的問題變得簡明、形象，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)解決問題的思路.因此，在教學(xué)中，教師應(yīng)幫助學(xué)生養(yǎng)成幾何作圖的習(xí)慣，以形助數(shù)，變抽象為直觀，使學(xué)生做到思之有形，真正了解圖形的形成過程，發(fā)現(xiàn)圖形中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)方法，以及其為獲取正確解題思路等方面帶來的益處.