（天津市耀華中學(xué)）

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意義是讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光去觀察，從數(shù)學(xué)的角度去思考，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言去表達(dá)，用數(shù)學(xué)的方法去解決問(wèn)題.如何能實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo)呢？就是要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是個(gè)人的數(shù)學(xué)思維能力，它需要在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，逐步思考、反思、領(lǐng)悟而形成，而這些都離不開(kāi)教師的引導(dǎo).教師給學(xué)生“教什么？怎么教？”在很大程度上影響著學(xué)生將來(lái)具備怎樣的數(shù)學(xué)素養(yǎng).只有在課堂中多引導(dǎo)學(xué)生去思考數(shù)學(xué)、體驗(yàn)數(shù)學(xué)，才能使數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)得以有效體現(xiàn)與落實(shí).本文主要圍繞中考復(fù)習(xí)階段如何打破就題講題，找到培養(yǎng)核心素養(yǎng)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”來(lái)設(shè)計(jì)解題教學(xué)問(wèn)題串.

一、挖掘題目條件中的“生長(zhǎng)點(diǎn)”

1.從問(wèn)題背景成立的條件中挖掘，設(shè)計(jì)問(wèn)題串

例1將三角形紙片（△ABC）按如圖1所示的方式折疊，使點(diǎn)B落在邊AC上，記為點(diǎn)B′，折痕為EF．知AB=AC=6，BC=8，若以點(diǎn)B′，F(xiàn)，C為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，那么BF的長(zhǎng)度是__________.

圖1

教師問(wèn)題設(shè)計(jì)和課堂教學(xué)片斷如下：

問(wèn)題1：當(dāng)∠C=∠FB′C，即B′F=FC時(shí)，這樣的△B′FC能折出來(lái)嗎？點(diǎn)B′能落在線段AC上嗎？

生1：因?yàn)椤鰾EF沿EF折疊，得△B′EF.所以BF=B′F.又因?yàn)锽′F=FC，得BF=FC.所以點(diǎn)F應(yīng)為BC中點(diǎn)，即B′F=FC=BF=4.

生2：此時(shí)點(diǎn)B落在點(diǎn)A處.

生3：不對(duì).此時(shí)，BF=4，AF＞BF.所以點(diǎn)B不會(huì)落在點(diǎn)A處.

師（追問(wèn)）：既然AF＞BF，那么點(diǎn)B一定落在哪里？

生4：落在點(diǎn)A和點(diǎn)C之間.

問(wèn)題2：誰(shuí)能解釋點(diǎn)B′存在的必然性？

生5：因?yàn)?，所以一定能在邊AC上找到一點(diǎn)B′，使B′F=FC=2.

問(wèn)題3：我們可以用什么工具來(lái)確定點(diǎn)B′的位置呢？

生：用圓規(guī)，以BC中點(diǎn)F為圓心，F(xiàn)C為半徑作弧，與邊AC交于點(diǎn)B′.

師：讓我們一起用圓規(guī)在圖2上確定點(diǎn)B′的位置吧！

圖2

問(wèn)題4：是否存在點(diǎn)B′不在△ABC上的情況，這樣的等腰三角形ABC形狀有什么特點(diǎn)？

同學(xué)們?cè)俅斡懻?，并很快得出結(jié)論：若∠BAC=90°，此時(shí)點(diǎn)B′與點(diǎn)A重合（如圖3）；若∠BAC＞90°，此時(shí)點(diǎn)B′將落在線段CA的延長(zhǎng)線上，這時(shí)點(diǎn)B′不在△ABC上（如圖4）.

圖3

圖4

問(wèn)題5：你能編制一道其他情況的題目并給出解答嗎？

學(xué)生編制的問(wèn)題：改為“AB=AC=5，BC=8”，其他條件不變.答案：.

教師在解題教學(xué)中要注意抓住出題者問(wèn)題設(shè)計(jì)的背景，引導(dǎo)學(xué)生思考每種情況成立的條件，幫助學(xué)生建立分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2.從問(wèn)題的限制條件中挖掘，設(shè)計(jì)問(wèn)題串

例2長(zhǎng)為1，寬為的矩形紙片，如圖5（1）所示折一下，剪下一個(gè)邊長(zhǎng)等于矩形寬度的正方形（稱為第一次操作）；再把剩下的矩形如圖5（2）所示折一下，剪下一個(gè)邊長(zhǎng)等于此時(shí)矩形寬度的正方形（稱為第二次操作）；……如此反復(fù)操作下去．若在第n次操作后，剩下的矩形為正方形，則操作終止.當(dāng)n=3時(shí)，a的值為_(kāi)______．

圖5

教師問(wèn)題設(shè)計(jì)和課堂教學(xué)片斷如下：

問(wèn)題1：當(dāng)n=1時(shí)，原矩形是什么樣的？a的值是多少？當(dāng)n=2時(shí)呢？

學(xué)生得出：當(dāng)n=1時(shí)，原矩形由兩個(gè)正方形組成（如圖6），此時(shí).當(dāng)n=2時(shí)，原矩形由三個(gè)正方形組成（如圖7（1）或圖7（2）），此時(shí).

圖6

圖7

問(wèn)題2：當(dāng)n=2和當(dāng)n=1時(shí)的圖形有什么聯(lián)系？

學(xué)生經(jīng)過(guò)思考可以得出結(jié)論：當(dāng)n=1時(shí)的圖形是當(dāng)n=2時(shí)第一步折出一個(gè)正方形（圖中空白正方形）后的圖形的形狀（陰影部分），將其平放或豎放，得到兩種可能.

問(wèn)題3：類(lèi)比當(dāng)n=2和當(dāng)n=1時(shí)的聯(lián)系，能得到當(dāng)n=3和當(dāng)n=2的聯(lián)系嗎？畫(huà)出當(dāng)n=3時(shí)的圖形，并計(jì)算a的值.

學(xué)生經(jīng)過(guò)進(jìn)一步思考，得出：當(dāng)n=3時(shí)，原矩形由4個(gè)正方形組成，形狀如圖8所示，即當(dāng)n=2時(shí)的圖形是當(dāng)n=3時(shí)第一步折出一個(gè)正方形（圖中空白正方形）后的圖形的形狀（陰影部分），將其平放或豎放，得到4種可能.a的值分別為.

圖8

問(wèn)題4：你能畫(huà)出當(dāng)n=4時(shí)的原矩形嗎？同學(xué)之間可以相互討論.

學(xué)生經(jīng)過(guò)前面的規(guī)律探索，可以發(fā)現(xiàn)：

當(dāng)n=4時(shí)，原矩形由5個(gè)正方形組成，形狀有8種，如圖9所示.

圖9

問(wèn)題5：你能找到n與圖形個(gè)數(shù)y之間的關(guān)系式嗎？

學(xué)生在前面的鋪墊下可以很容易得出y=2n-1.

挖掘題目的限制條件，滲透類(lèi)比、化歸的數(shù)學(xué)思想方法，將設(shè)計(jì)重點(diǎn)放在從特殊到一般的規(guī)律的探索上，符合學(xué)生思維由淺入深的習(xí)慣，也鍛煉了學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和嚴(yán)密性，達(dá)到了培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯推理素養(yǎng)的目的.

二、挖掘題目問(wèn)題中的“生長(zhǎng)點(diǎn)”

例3如圖10，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A(-2,0 )，點(diǎn)B(0,2)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為OA，OB的中點(diǎn).若正方形OEDF繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得正方形OE′D′F′.若直線AE′與直線BF′相交于點(diǎn)P，求點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的最大值.

圖10

教師問(wèn)題設(shè)計(jì)和課堂教學(xué)片斷如下：

問(wèn)題1：動(dòng)點(diǎn)E′，F(xiàn)′的運(yùn)動(dòng)軌跡是什么？

生：以點(diǎn)O為圓心，OE′長(zhǎng)為半徑的圓.

問(wèn)題2：動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是什么？

生：AE′⊥BF′一直保持，即∠APB=90°，所以點(diǎn)P應(yīng)在以AB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)（如圖11）.

圖11

問(wèn)題3：點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓，還是圓的一部分（圓?。?？考慮點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡時(shí)，不僅要考慮⊙D，還要考慮點(diǎn)P在直線AE′上，而點(diǎn)E′在⊙O上.點(diǎn)E′是主動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是從動(dòng)點(diǎn).

學(xué)生經(jīng)過(guò)思考能夠得出結(jié)論，當(dāng)AE′與⊙O相切時(shí)，點(diǎn)P的位置最高（如圖12）.

圖12

問(wèn)題4：點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的最小值是什么？

學(xué)生受剛才問(wèn)題的啟發(fā)，很快說(shuō)出也是正方形OEDF與⊙O相切時(shí)點(diǎn)P最低，此時(shí)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)最?。ㄈ鐖D13）.

圖13

師：是嗎？注意點(diǎn)P在⊙D上運(yùn)動(dòng).

生：不對(duì)，點(diǎn)P的最低點(diǎn)應(yīng)是⊙D上的最低點(diǎn)，相切時(shí)的點(diǎn)P不是最低的.

師：大家能分別算一下這兩個(gè)時(shí)刻點(diǎn)P的縱坐標(biāo)嗎？

大家很快求出相切時(shí)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為而點(diǎn)P為⊙D上的最低點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為，所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的最小值應(yīng)為

最后，大家得出結(jié)論，圖14應(yīng)該是點(diǎn)P在⊙D上運(yùn)動(dòng)的最低位置，而圖13應(yīng)該是點(diǎn)P在⊙D上運(yùn)動(dòng)的最終位置，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是兩個(gè)相切位置之間的圓弧.

圖14

在復(fù)雜的幾何圖形中抽象出基本圖形，把握點(diǎn)、直線等之間的關(guān)系，直觀想象圖形的運(yùn)動(dòng)變化，是數(shù)學(xué)課要培養(yǎng)的核心素養(yǎng).通過(guò)對(duì)例3的延伸思考，進(jìn)一步鍛煉了學(xué)生的直觀想象能力.

三、挖掘題目解法中的“生長(zhǎng)點(diǎn)”

例4如圖15，Rt△AOB的兩直角邊OB，OA分別位于x軸、y軸上，OA=6，OB=8.將△AOB折疊，點(diǎn)O落在△AOB內(nèi)的點(diǎn)C處，OD=2，折痕為AD，AD與OC交于點(diǎn)E，求點(diǎn)C的橫坐標(biāo).

圖15

教師問(wèn)題設(shè)計(jì)和課堂教學(xué)片斷如下：

問(wèn)題1：已知點(diǎn)O折疊后落在點(diǎn)C，折痕為AD，即點(diǎn)O和點(diǎn)C關(guān)于AD對(duì)稱，這時(shí)有哪些基本性質(zhì)？

生：AD垂直平分線段OC，即AD⊥OC，OE=CE.

問(wèn)題2：求點(diǎn)C的橫坐標(biāo)，通常可以作哪些輔助線？

生：過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線（如圖16）.

圖16

問(wèn)題3：將△AOD折疊得到△ACD，由這兩個(gè)三角形全等，可以得到哪些基本性質(zhì)？

生：對(duì)應(yīng)邊相等，即AC=AO=6，OD=CD=2；對(duì)應(yīng)角相等，即∠ACD=∠AOD=90°.

問(wèn)題4：你能在圖中找到哪些基本圖形，從而幫助你解決問(wèn)題？

學(xué)生經(jīng)過(guò)討論和思考，呈現(xiàn)出如下多種解法.

解法1：因?yàn)锳D⊥OC，AO⊥OD，

學(xué)生辨認(rèn)基本圖形（如圖17（1）），

從而得到相似的基本圖形（如圖17（2）），

即△AOD∽△OFC.

先求出OE的長(zhǎng)為，

圖17

解法2：連接CD，可得OD=CD=2.

得到基本圖形（如圖18），且△AOD∽△OFC.

圖18

設(shè)FC=x，

則OF=3x，DF=3x-2.

在Rt△CDF中，DF2+CF2=CD2，

得(3x-2)2+x2=2.2

解法3：連接CD，AC，

過(guò)點(diǎn)A作CF的垂線，交FC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.

得到基本圖形（如圖19），

圖19

則△AGC∽△CFD，且相似比為.

設(shè)DF=x，

則GC=3x，F(xiàn)C=6-3x，AG=2+x.

解法4：由AD垂直平分線段OC，

圖20

即基本圖形（如圖20），且A(0,6 ) ，D(2,0 ) ，

得直線AD的解析式為y=-3x+6.

則直線OC的解析式為.

得點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為.

因?yàn)辄c(diǎn)E為OC中點(diǎn)，

則點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為.

此題中幾何基本圖形較多，在解題教學(xué)設(shè)計(jì)過(guò)程中將重點(diǎn)放在多種解法上，能夠鍛煉學(xué)生在復(fù)雜的圖形背景和條件中篩選出有用的基本圖形的能力，教會(huì)學(xué)生把握事物的本質(zhì)，以簡(jiǎn)馭繁.

中考復(fù)習(xí)階段除了面對(duì)中考以外，更是學(xué)生為高中學(xué)習(xí)儲(chǔ)備數(shù)學(xué)能力的關(guān)鍵時(shí)期.教師深挖習(xí)題，從題目的條件、問(wèn)題和解題方法等方面設(shè)計(jì)能夠引發(fā)學(xué)生深入思考的問(wèn)題，抓住發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”，才能回歸數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本真.