☉江蘇省無錫市梁溪中學(xué) 趙春蕾

數(shù)學(xué)學(xué)科與我們的日常生活聯(lián)系密切，更是物理、化學(xué)等學(xué)科的學(xué)習(xí)基礎(chǔ).初中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)起到了重要的過渡作用，對于學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)與發(fā)展意義顯著.在初中數(shù)學(xué)的內(nèi)容體系中，“數(shù)”與“形”是基本的概念，數(shù)形結(jié)合的思想方法是培養(yǎng)、提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的途徑.本文以蘇科版初中數(shù)學(xué)為例，探討數(shù)形結(jié)合思想在實(shí)際教學(xué)中的應(yīng)用.

一、數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)意義

1.簡化解題思路

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，除了基本數(shù)學(xué)概念與原理，教師更需要強(qiáng)化對解題思路的講解，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用好數(shù)學(xué)思想方法，這是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心，對于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力及綜合素養(yǎng)具有重要的意義.在解決一些數(shù)學(xué)問題時(shí)，單純地從代數(shù)或者幾何層面進(jìn)行思考難度較大，學(xué)生很難找到解決問題的突破口.這時(shí)可以嘗試使用數(shù)形結(jié)合的方法，對解答過程適當(dāng)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，靈活變通，使得原本抽象的代數(shù)問題更加形象、具體，使得幾何關(guān)系不明顯的幾何問題更容易量化.通過轉(zhuǎn)換與簡化，能夠?qū)⒃緩?fù)雜的方法、難以確定的數(shù)學(xué)問題變成學(xué)生所熟悉的題目，便于學(xué)生更好地理解題目、解答題目.

例如，有這樣一個(gè)問題：商場舉辦抽獎(jiǎng)大酬賓活動，凡是購物滿200元的顧客都可以參與兩次抽獎(jiǎng)活動.轉(zhuǎn)盤劃分為4個(gè)均等的區(qū)域，分別標(biāo)上數(shù)字1～4，符合購物額度的顧客可以轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤2次，如果2次的數(shù)字之和為8或6，游客就能獲得獎(jiǎng)品.那么顧客能夠獲獎(jiǎng)的概率是多少呢？在解決這個(gè)問題時(shí)，由于還沒有接觸概率相關(guān)內(nèi)容，因此教師無法嚴(yán)格地采用概率論的知識進(jìn)行講解，單純地從代數(shù)運(yùn)算角度展開思考，學(xué)生理解的難度較大，因此可以結(jié)合圖形，通過繪制樹狀圖，學(xué)生能夠?qū)⒚恳环N可能的情況都考慮到，一共存在16種不同的抽獎(jiǎng)情況，最后得到符合條件的情況共有4種，因此顧客獲獎(jiǎng)的概率為25%.通過數(shù)形結(jié)合的方法，學(xué)生思考的過程得到了簡化，解題過程也更加直觀，學(xué)生能夠高效、準(zhǔn)確地解決問題.

2.豐富解題方法

借助圖形輔助教學(xué)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的常用方法，在一些抽象、復(fù)雜的問題中應(yīng)用廣泛，教師可以借助圖形將題目中的重要條件和信息展示出來.通過數(shù)形結(jié)合的方法，學(xué)生能夠直觀分析問題條件，選擇最適合的解題方法.在函數(shù)、方程等內(nèi)容的教學(xué)中，采用數(shù)形結(jié)合的方法，能夠提高教學(xué)效率.

在“一次函數(shù)”教學(xué)過程中，部分學(xué)生對函數(shù)概念內(nèi)涵的理解存在問題，無法靈活應(yīng)用函數(shù)思維方法.比如，假設(shè)直線y=-2x+k和橫、縱坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為9，那么參數(shù)k的值為多少？在分析這個(gè)問題時(shí)，學(xué)生能夠知道要求解什么，但是無法靈活應(yīng)用已知信息進(jìn)行求解.教師可以借助函數(shù)圖像法，將已知條件體現(xiàn)在圖像上，讓學(xué)生能夠直觀地分析已知條件，通過直線和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)構(gòu)建方程，進(jìn)而解決問題.

3.引導(dǎo)學(xué)生主動學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)學(xué)科本身具有抽象性與復(fù)雜性，學(xué)生學(xué)習(xí)起來困難較大.通過數(shù)形結(jié)合的方法，學(xué)生能夠?qū)⒋鷶?shù)與幾何圖形結(jié)合起來，使得原本復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識變得更加直觀，便于學(xué)生理解知識內(nèi)容，學(xué)生的學(xué)習(xí)難度降低，學(xué)習(xí)積極性與主動性得到提升.當(dāng)然，圖形方法雖然有直觀性等優(yōu)勢，但也有其問題，即在計(jì)算方面沒有代數(shù)方便.因此，在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，除了要借助圖形來表征問題，同時(shí)要強(qiáng)化定量計(jì)算圖形信息的能力，綜合應(yīng)用代數(shù)與幾何的解題優(yōu)勢，發(fā)揮數(shù)形結(jié)合方法的效用，提升解題與學(xué)習(xí)效果.

例如，在“弧長與扇形面積”的教學(xué)中，需要通過代數(shù)運(yùn)算的方法來計(jì)算扇形的特點(diǎn)，借助圖形的幾何意義能夠幫助學(xué)生更好地理解、掌握弧長公式，進(jìn)而得到面積計(jì)算公式.通過這樣的數(shù)形結(jié)合方法，可以將數(shù)學(xué)問題變得更加簡單，學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性得以加強(qiáng).

二、數(shù)形結(jié)合案例解析

1.整式中的數(shù)形結(jié)合應(yīng)用

整式運(yùn)算是初中數(shù)學(xué)代數(shù)部分的基礎(chǔ)內(nèi)容，通過數(shù)形結(jié)合的方法，可以實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的對比，學(xué)生對整式的認(rèn)知也更加直觀.

案例1：如圖1所示，正方形ABCD的邊長為3，以點(diǎn)A為圓心、2為半徑畫圓弧，以點(diǎn)D為圓心、3為半徑畫圓弧，試求解S1-S2的值.

解析：先求解出正方形的面積，然后利用扇形面積計(jì)算公式求出兩個(gè)扇形的面積，最后通過圖形關(guān)系，計(jì)算求出相應(yīng)的值.

正方形ABCD的面積SABCD=3×3=9.

評析：本題考查的是整式的運(yùn)算，通過與幾何圖形的結(jié)合，分析圖形關(guān)系所代表的整式運(yùn)算過程.通過分析圖形的面積差，熟練使用整式的運(yùn)算法則，進(jìn)而解決這一問題.

2.平面坐標(biāo)中的數(shù)形結(jié)合應(yīng)用

平面直角坐標(biāo)系是解析幾何的基礎(chǔ)，其內(nèi)涵就是代數(shù)與幾何的聯(lián)系.在初中數(shù)學(xué)中，可以借助平面直角坐標(biāo)系來解決圖形對稱等問題.

案例2：如圖2所示，△ABC經(jīng)過一定的變換規(guī)則變?yōu)椤鰽1B1C1.如果△ABC上有一點(diǎn)P，坐標(biāo)為（x，y），試求△A1B1C1上對應(yīng)的點(diǎn)P1的坐標(biāo).

解析：點(diǎn)P1是點(diǎn)P根據(jù)一定的變化規(guī)則移動過來的，因此要想確定點(diǎn)P1的坐標(biāo)，就需要分析得到變換規(guī)則，這是解決這個(gè)問題的關(guān)鍵.觀察圖像可知，△A1B1C1是由△ABC向上平移2個(gè)單位，即橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)加2；然后以y軸為對稱軸進(jìn)行軸對稱變化，即橫坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù)，縱坐標(biāo)不變.因此，點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（-x，y+2）.

評析：本題考查的是圖形變換，借助平面直角坐標(biāo)系，可以直觀地反映坐標(biāo)的變化，并且將坐標(biāo)的變化用代數(shù)形式表達(dá)出來.

3.函數(shù)中的數(shù)形結(jié)合應(yīng)用

案例3：如圖3所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形ODCB為矩形，已知點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，4），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0）.假設(shè)反比例函數(shù)y=，x＞0，函數(shù)圖像經(jīng)過線段OC的中點(diǎn)A，與DC交于點(diǎn)E，與BC交于點(diǎn)F.已知直線EF的解析式為y=k2x+b.

（1）求直線EF與反比例函數(shù)的解析式；

（2）求△OEF的面積.

解析：要想求解直線EF與反比例函數(shù)的解析式，關(guān)鍵是求解出點(diǎn)A的坐標(biāo).觀察函數(shù)圖像可知，△OEF的面積可以由矩形ODCB的面積減去△ODE、△OBF及△CEF的面積求得.

（1）易知點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6，4）.

由點(diǎn)A是線段OC的中點(diǎn)，得點(diǎn)A（3，2）.

則k1=6，得到反比例函數(shù)的解析式為

將x=6代入反比例函數(shù)的解析式，可得y=1，

則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（6，1）.

將E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線方程，計(jì)算可得k2=-，b=5.

評析：本題的關(guān)鍵是聯(lián)立一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式求解出交點(diǎn)的坐標(biāo)，求解函數(shù)解析式的方法為待定系數(shù)法.

三、結(jié)語

綜上所述，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合的思想方法具有重要的現(xiàn)實(shí)意義，有助于學(xué)生建立起幾何與代數(shù)之間的聯(lián)系，快速、準(zhǔn)確地解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題.在教學(xué)過程中，教師要科學(xué)評估學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，引導(dǎo)學(xué)生使用好數(shù)形結(jié)合的思想方法，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)知識應(yīng)用能力與學(xué)科核心素養(yǎng).