☉浙江省杭州市文海實驗學校 徐宏暉

☉浙江省杭州市文海實驗學校 李衛(wèi)明

一、研究問題的背景分析

數學學科核心素養(yǎng)與思維力緊密相關，數學從“雙基”到“四基”，都與思維力相輔相成，相得益彰.而現狀是學生迷失在題海中，失去了思考的動力，為了完成作業(yè)而做題.既為了培養(yǎng)學生的數學學科核心素養(yǎng)和“四基”，也為了學生能脫離題海，我們需要合理設計作業(yè).

雖然目前我們有很多可以借鑒的好資源，例如，教材配套作業(yè)、各種教輔資料等，但各校的生源不同，決定了一套面向全體的作業(yè)不一定適合本校的實際，而且在學生思維力的培養(yǎng)上不能有所側重.拿來主義的作業(yè)不整合、不分層，往往造成有的學生吃不飽、有的學生吃不下，若增加量只會增加學生的負擔，但在思維力的培養(yǎng)上不見得有收益.編寫適合自己學生特點的作業(yè)迫在眉睫，編寫真正培養(yǎng)學生思維力的作業(yè)更迫不及待.在這樣的背景下，我們編寫了基于思維力培養(yǎng)的數學校本作業(yè)，本文側重對每日一題進行研究與實踐.

二、研究指向

思維力是人腦對客觀事物間接的、概括的反映能力.當人們在學會觀察事物之后，他逐漸會把各種不同的物品、事件、經驗分類歸納，不同的類型他都能通過思維進行概括.思維力是整個智慧的核心，參與、支配著一切智力活動.每個人的學習、工作和生活都離不開思維力.筆者借助物理學力的分析，力具有三個基本要素：大小、方向、作用點，定義思維力同樣具有三個最基本的要素：大小、方向、作用點.

關于校本作業(yè)，在知網上可以查到60篇文章，有的從校本作業(yè)設計的原則與策略入手，有的從學情出發(fā)探索如何進行校本作業(yè)的設計，有的從提高數學作業(yè)效率的角度編寫校本作業(yè)，有的根據《義務教育數學課程標準（2011年版）》，結合本校的傳統(tǒng)和優(yōu)勢、學生的興趣和需要，設計校本作業(yè)，有的激發(fā)學生學習興趣，以提高學生在課堂上的求知欲為目標設計校本作業(yè)，有的以當前作業(yè)中存在的問題為背景設計校本作業(yè).知網上關于數學校本作業(yè)的研究不多，注重思維力培養(yǎng)的校本作業(yè)的研究更是沒有，因此筆者所在團隊想借校本作業(yè)編制的東風，促進思維力的發(fā)展，嘗試專門設置一個板塊，以提高思維力培養(yǎng)的效果，而且可以讓學生主動參與到課堂教學中，能夠大膽創(chuàng)新.校本作業(yè)是根據各自學校的實際情況，由學校自發(fā)組織，教師自主編制的學生書面作業(yè).不同于以往的練習冊等配套教輔資料的形式，校本作業(yè)由教師自行編制，更能切合本校學生實際情況，是“因地制宜”教育思想的具體體現.根據筆者團隊的實際情況及學生的學情，只對九年級校本作業(yè)中的“每日一題”進行研究與實踐.到時根據九年級的研究情況再推廣到七、八年級“每日一題”的研究與實踐.

三、研究過程

1.九年級校本作業(yè)每日一題的設計編制研究

本研究將對九年級校本作業(yè)中每日一題的編制進行深入探索，以吃準教材的編寫意圖為前提，準確把握教材考查要求，在鞏固學生所學知識的基礎上側重學生思維力的培養(yǎng).同時“每日一題”的編制會關注數學學科的特點和學生認知的發(fā)展規(guī)律，滿足學生的需求，切實減輕學生的負擔.例如，在“1.3二次函數圖像性質”的“每日一題”中，我們編寫了這樣一題：

已知關于x的函數y=kx2+（2k-1）x-2（k為常數）.

（1）試說明：不論k取何值，此函數圖像一定經過點（-2，0）.

（2）當x＞0時，y隨x的增大而減小，求k的取值范圍.

（3）該函數是否存在最小值-3？若存在，請求出此時k的值；若不存在，請說明理由.

第（1）問建立在學生能熟練畫圖的基礎上，任取一個k都可以畫出一個函數圖像，不管取幾會發(fā)現都經過點（-2，0），學生容易上手操作，當然有學生可能也會這樣理解，不論k取何值都經過點（-2，0），說明與k無關，合并k使其的系數為0.第（2）問與圖像性質有關，因為已知只是說函數，所以首先要分類，k＝0（一次函數）或k≠0（二次函數），再利用一次函數或二次函數的圖像性質解決，特別是二次函數的圖像性質只跟開口方向與對稱軸有關，因此k≠0還要細分成k＞0和k＜0，再結合對稱軸判斷增減性，確定k的取值范圍.第（3）問的分類與第（2）問相同，當k＝0或k＜0時，顯然不存在最小值，只有當k＞0時可以利用頂點的縱坐標公式代入解得.

這題的編制緊緊圍繞圖像展開，真正做到有圖有思路，利用圖像這個工具，把抽象的性質直觀呈現出來，問題設計由易到難，層層深入，步步面向函數圖像性質的本質，既滿足知識點鞏固與練習的需求，也符合學生的認知特點，從隨便畫找出規(guī)律到有針對性地畫，畫出滿足條件的圖像再進行研究，對學生思維力的培養(yǎng)有重要意義.

2.每日一題的素材研究

（1）有效整合拓展數學課本資源.

將九年級教材中的例題、課后習題、探究活動、閱讀材料等內容進行科學整合重組，形成每日一題，使之更適合學生思維力培養(yǎng)的需要.例如：

（九上教材P90例題）如圖1，等腰△ABC的頂角為50°，AB=AC，以AB為直徑作半圓交BC于點D，交AC于點E，求和所對圓心角的度數.

每日一題改編：

如圖2，以△ABC的邊AB為直徑作半圓，分別交BC、AC于點D、E，且BD=DC.

（1）求證：△ABC是等腰三角形；

（2）當AB=AC=13、BC=10時，求BE的長；

（3）連接DE，求證：2CD2=EC·AC.

幾何證明一直是學生感覺比較困難且掌握得不是很理想的內容，圓周角相關的內容是圓中考查的重點內容.直徑所對圓周角等于90°能與等腰三角形的三線合一相結合，從計算看也可以用勾股定理，在圓的背景下也容易得到相似三角形，便于產生邊的比例關系和角的等量關系等.但學生往往不能綜合運用，融會貫通.本題想從教材出發(fā)，在不改變主要考查知識點的基礎上做出一些改變.例如，第（1）問剛好與教材中的問題反了一下.第（2）問想充分運用這個直角，考查三角函數的知識，或者說考查已知三邊求腰上的高，有多種方法可以解決.第（3）問想通過證明線段的比例關系，特別是含具體數的線段比例關系，在利用三線合一的基礎上利用相似三角形就可解決.題目來源于教材，改編于教材，促使學生重視教材，同時幫助學生對所學東西建立固著點，有本有源.學生在解決改編題的過程中思維力得到不斷挑戰(zhàn)與培養(yǎng)，也便于學生反思，促使學生思考，思維得到不斷提升與優(yōu)化.

（2）對現有資料的整合改編.

目前數學作業(yè)可供我們選擇的有《全效學習》《全優(yōu)新同步》《尖子生》《走進重高》《培優(yōu)班》，以及各類試卷，還有近幾年各地的中考題等，也有各種網站上可供選擇的資料.可供選擇的資料很多，但適合學生的不多，特別是培養(yǎng)學生思維力的不多.在適合教材要求的條件下，對現有資料進行整合、適當改編，減少每天的作業(yè)量，同時提高解題的思維含量，培養(yǎng)學生的思維力.既要有基礎鞏固，又要有思維提升，改編重組十分必要.

整合改編的一般步驟：確定目標→收集資料→交流討論→整合改編→實踐反思→二次討論→二次整合優(yōu)化→定稿.

例如，在編圓的綜合題時，目標是重點考查與圓的切線相關的知識，通過各種資料與網絡收集各種與切線有關的綜合題，然后選擇合適的問題或改編成合適的問題得到下題：

如圖3，AB為⊙O的直徑，C是⊙O上一點，CO⊥AB于點O，弦CD與AB交于點F，過點D作∠CDE，使∠CDE=∠DFE，DE交AB的延長線交于點E.過點A作⊙O的切線交ED的延長線于點G.

（1）求證：GE是⊙O的切線.

（3）若OF∶OB=1∶3，BE=3，求OB的長.

第（1）問是切線的判定（證明），第（2）問是切線性質及弧長公式的應用（計算），第（3）問是利用切線性質得到垂直，利用勾股定理建立方程解決.從切線的判定到切線的應用，再到切線的創(chuàng)造性應用，學生在解決問題鏈的過程中思維得到不斷鍛煉，思維力得到提升.實踐以后，根據學生反饋情況，確定是否要對條件或問題進行優(yōu)化，確定后再提交給下一屆使用，他們也可以根據自己學生的情況提出修改或優(yōu)化，最后確定使用.

（3）課堂生成問題的利用.

《義務教育數學課程標準（2011年版）》提出：教學中應當注意“預設”與“生成”的關系.教案是教師對教學過程的“預設”，教案的形成依賴于教師對教材的理解、鉆研和再創(chuàng)造.實施教案，則是把“預設”轉化為實際的教學活動.在這個過程中，師生雙方的互動往往會“生成”一些新的教學資源.作為數學教師，我們要根據學科知識特點及學生認知特點關注課堂上即時生成的問題，捕捉教學資源，指導教學活動，進而促進學生主動參與學習，提高教學效率，培養(yǎng)學生的思維力.例如：

（九上教材P149作業(yè)題）有一塊三角形余料ABC，它的邊BC=120，BC邊上的高AD=80.如果把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB、AC上，加工成的正方形零件的邊長是多少？

課上學生提出問題：如果把它加工成長方形零件，使長方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB、AC上，加工成的長方形零件的最大面積是多少？（課堂上生成的問題：正方形改為長方形可以嗎？）

每日一題：在教材作業(yè)題相同條件下，在△APM中再作一個類似正方形.

（1）求邊長.

（2）若按之前的規(guī)律再在小三角形中作一個正方形，一直作n個，求第n個正方形的邊長.

教材例題利用相似求正方形的邊長，由相似得到對應邊之比等于對應高線之比，得到方程之解即可.學生生成的問題是把正方形的背景替換成長方形，看似相同卻又不同，相同的是對應邊之比還等于對應高線之比，但有兩個未知數，要求長方形的邊長，一個方程不能解決，需要改變問題：例如，問長方形長與寬的關系式；也可以給出長方形長與寬的比（如3∶2），求長方形的長或寬等.

因為有了課堂上學生提出的問題，就順著學生的思考把“每日一題”進行了改編，再作一個小正方形，求小正方形的邊長.從思維上講就是教材例題問題解決的模型用兩次，只是計算復雜一點，學生的思維夠得著，可以試試.第（2）問求第n個正方形的邊長，不僅僅是應用例題問題解決的方案及計算問題了，重復做可以，重復幾次呢？所以第（2）問的設計涉及探究規(guī)律，在前面計算的基礎上利用歸納法探究邊與已知條件中高的關系.

在學生做好“每日一題”的講評中，又有學生提出這個小正方形是否可以在△BPQ（△CNM）中或在兩個三角形中都作，作一個從本質上看沒有變化，但作兩個的話求兩個小正方形的邊長有什么關系還是值得思考的.問題的關鍵是學生有不同的思考，有更深層次的思維值得欣喜.

3.每日一題編制的案例分析

從思維力培養(yǎng)的角度對每日一題編寫進行分析，從已知（多少）、求證求解（目標）、過程方法思維展現（著力點）三個維度研究.本研究還將結合學生在做每日一題中的具體情況進行實證研究，并總結和梳理研究結果，形成案例，便于分析與分享.

學生思維展現（暴露）步驟：

仔細審題（找出已知條件、隱含條件及問題）—理解題意（利用定理、定義、概念等從已知條件、隱含條件中推出相應的結論，作為備用條件，審題及理解題意即已知多少）—確定思路（結合問題組織已知條件、隱含條件及備用條件，選擇跟問題有關的有用信息，過程方法思維展現即著力點）—實踐反思（根據解題思路寫出證明過程，反思整個推理過程，若不嚴密或不準確再重新審題，重復前面的步驟，即目標），再借鑒SOLO分類評價法對學生展現的思維程度進行評價，反思“每日一題”的編制，再讓學生變式，完善思維過程.