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      “數(shù)數(shù)”求源,叩問本質(zhì)

      2019-09-25 04:24:30王嬋丹
      關(guān)鍵詞:交換律加數(shù)數(shù)數(shù)

      王嬋丹

      運算律是運算固有的性質(zhì),在數(shù)系的擴展中,自然數(shù)的“基本運算律”始終保持有效;它又是學(xué)生理解算理的重要依據(jù),也是滲透“猜想→驗證→結(jié)論”這一數(shù)學(xué)研究方法的載體??梢?,運算律在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有重要的地位和作用??v觀歷來的運算律教學(xué),可能會在運算律的“有用性”上花較多的時間,但對于“什么是交換律”“交換律為什么存在”“背后的道理是什么”,很少去揭示。

      因此,課前可以先思考兩個問題:是納入“簡算”體驗,還是深化運算律本質(zhì)的理解?是只學(xué)加法、乘法交換律,還是需要去求證減法、除法交換律?如果側(cè)重于“簡便計算”教學(xué),就會忽視對運算律教學(xué)的核心,即忽視對運算律本身的理解;如果只教學(xué)加法交換律,就無法順應(yīng)學(xué)生的思考過程。筆者對60位學(xué)生在只教學(xué)加法交換律后進行過測試,有93.3%的學(xué)生能聯(lián)想到在其他運算中會不會也有交換律。因此,教學(xué)時需要站在加法交換律的基礎(chǔ)上讓學(xué)生經(jīng)歷類推的過程,在舉例、證明、辯論等活動中真正理解乘法交換律,并否定除法交換律和減法交換律的存在。

      一、交換律背后的道理是什么?

      既然明確了交換律作為運算教學(xué)的第一課時,需要讓學(xué)生清晰概念的核心。那么,交換律的本質(zhì)到底是什么?

      1. 數(shù)學(xué)上的證明

      數(shù)學(xué)上,對于交換律通常是從“集合的概念”來解釋的。設(shè)A和B是兩個不具有公共元素的有限集合,他們的基數(shù)分別是a和b,把A和B的元素并在一起組成一個集合C,C叫作集合A和B的并集,記作A∪B=C,C的基數(shù)是c,叫作a、b的和,記作a+b=c [1]。顯而易見,此證明方法抽象難懂,它超出了學(xué)生的認知水平,不合適向?qū)W生講授。

      2. 學(xué)生能理解的證明

      自然數(shù)加法的意義的本源就是“集合的概念”,張奠宙教授曾在訪談中指出:“集合的概念”說白了,就是“數(shù)數(shù)”,可以用“數(shù)數(shù)”這樣一種行為性的操作活動來形成自然數(shù)的概念。簡單地說,有A、B兩堆石子,先數(shù)A堆再數(shù)B堆,還是先數(shù)B堆再數(shù)A堆,結(jié)果都是一樣的 [2]??梢?,簡單的“數(shù)數(shù)”活動,形象直觀地闡述了“兩個集合合并”的概念,是揭示交換律背后道理的有效數(shù)學(xué)活動。

      其實,對于“數(shù)數(shù)”與“合并求和”的經(jīng)驗,學(xué)生是非常豐富的。人教版一年級上冊教材就是用“接著數(shù)”理解加法含義的。二年級100以內(nèi)、三年級萬以內(nèi)的加法教學(xué)都滲透著“兩個自然數(shù)的加法與把兩個有限集合并成一個集合這兩種運算之間的聯(lián)系”。可見,從學(xué)生已有的“加法、乘法意義”出發(fā),借用“數(shù)數(shù)”,是一條小學(xué)生能理解的、合理的證明途徑。

      二、交換律學(xué)習(xí)素材該怎樣選擇?

      既然學(xué)生已有豐富的“數(shù)數(shù)”經(jīng)驗,那么選擇哪類素材展開“數(shù)數(shù)”活動,更利于學(xué)生感悟其背后的道理呢?

      1. “點子”數(shù)數(shù)→“數(shù)線”數(shù)數(shù),更顯直觀

      在人教版二年級上冊乘法口訣練習(xí)課中出現(xiàn)了兩種不同的“數(shù)數(shù)”表征方式。通過“橫著數(shù)、豎著數(shù)”與在“數(shù)線”上數(shù)數(shù)來熟練口訣。無論是“點子”數(shù)數(shù)還是“數(shù)線”數(shù)數(shù),其實都是想通過“直觀”方式,詮釋“合并”的意義。但相比較“點子”數(shù)數(shù),“數(shù)線”上的數(shù)數(shù)具有方向性,更能讓學(xué)生體會到“合并的結(jié)果與兩數(shù)的位置無關(guān)”這一本質(zhì)。

      2. “線段”模型→“數(shù)線”數(shù)數(shù),更顯本質(zhì)

      數(shù)學(xué)上,在定義有理數(shù)的加法時,用“拼接而成的線段的長度”進行解釋。也就是說,如果給定有限條線段,把它們拼接而成的線段的長度與它們拼接的順序無關(guān)。用學(xué)生熟知的“數(shù)線”模型對接“線段”模型,更能凸顯交換律的本質(zhì)。

      三、交換律課堂教學(xué)該如何實踐?

      那么,如何借“數(shù)數(shù)”活動,架起“自然數(shù)的加法”與“集合的概念”聯(lián)系,從而觸及交換律背后的道理?筆者結(jié)合課堂實踐從三條策略上進行闡述。

      1. 多層“數(shù)數(shù)”,直觀感知

      【片段描述】

      第一層:形成“數(shù)數(shù)”過程。

      師:小袋鼠跳格子比賽,結(jié)果會怎樣?你是怎樣想的?

      生1:聰聰先跳了2格,又跳了5格,是2+5=7格;明明先跳了5格,又跳了2格,是5+2=7格。它們都跳到了7的位置,所以它們的結(jié)果是一樣的。

      生2:2和5位置反了一下,答案是一樣的。

      第二層:豐富“數(shù)數(shù)”素材。

      師:如果想知道一共有多少元錢,一共有多少根小棒,你能不能通過數(shù)一數(shù)與算一算,發(fā)現(xiàn)與剛才差不多的現(xiàn)象?

      第三層:“列舉”形成猜想。

      師:通過“算”與“數(shù)”我們發(fā)現(xiàn)了“交換兩個加數(shù)的位置,和不變”這一規(guī)律。那我們能不能說,交換所有加數(shù)的位置,和一定不變?為什么?

      生1:萬一數(shù)字很大呢,可能就不能確定了。

      生2:我們不知道下一個加數(shù)會是什么樣子的,所以不能下這個結(jié)論。

      從三層“數(shù)數(shù)”中,學(xué)生的思維經(jīng)歷了“初步感悟、模仿應(yīng)用、列舉猜想”的過程。尤其到了第三層“數(shù)數(shù)”,學(xué)生的表征形式豐富多樣,有圖、有式,還涉及小數(shù)、分數(shù)加法領(lǐng)域的驗證??梢姡瑢W(xué)生在經(jīng)歷多次“數(shù)數(shù)”的過程中,已經(jīng)初步體會到了運算律的廣泛適用性,這也是學(xué)生對運算本質(zhì)理解的一個直觀表現(xiàn)。

      2. 對比“數(shù)數(shù)”,凸顯本質(zhì)

      【片段描述】

      師:通過舉例驗證我們知道了加法與乘法中有交換律。那為什么會有這樣的現(xiàn)象呢?讓我們再回到數(shù)軸上去“數(shù)一數(shù)”。

      生1:加法與乘法的箭頭都是朝一個方向的,最后都到了同一個地方。

      生2:其實乘法是加法的一種。所以,乘法里也有交換律。

      生3:在加法中,無論是2在前,還是4在前,反正都是把兩個數(shù)合起來,跟2和4的位置沒有關(guān)系。所以,位置交換了一下,結(jié)果是不會變的。

      生4:我同意他的想法,加法與乘法都是把幾個數(shù)合并起來,跟位置沒有關(guān)系,所以加法與乘法中有交換律。

      當學(xué)生發(fā)現(xiàn)只有在加法與乘法中有交換律后,需要再一次回到“數(shù)線”上去表征“運算中的交換關(guān)系”,再經(jīng)歷數(shù)數(shù)、觀察、對比、發(fā)現(xiàn)、歸納等學(xué)習(xí)活動,去領(lǐng)悟“自然數(shù)加法概念”的含義,并嘗試著去說明白其中的道理。經(jīng)歷這樣的“對比”數(shù)數(shù),學(xué)生已經(jīng)架構(gòu)起了“兩個自然數(shù)的加法與把兩個有限集合并成一個集合”這兩種運算之間的聯(lián)系。

      3. 回顧“遇見”,深化理解

      【片段描述】

      第一層:回顧解釋。

      生:加法與乘法的驗算,用到了交換律的知識。一年級學(xué)過根據(jù)“點子圖”寫加法算式,也有加法交換律。

      第二層:拓展說理。

      師:老師找到了幾個新問題,你能在這兒發(fā)現(xiàn)交換律嗎?

      生1:可以先收38元,再收53元;也可以先收53元,再收28元。反正把這兩部分的錢合起來,先收哪個部分都沒有關(guān)系。

      師:如果還想再買個排球呢?可以怎樣收費呢?不是說交換兩個加數(shù)的位置,和不變,現(xiàn)在交換三個加數(shù)的位置,和也不變嗎?你是怎樣想的?

      生3:我認為,這和收“足球與籃球的錢”是一樣的。只要是把這三個價錢合并起來,前后的位置、先后的順序,都不會影響結(jié)果。

      在課的最后環(huán)節(jié)安排回憶舊知,談?wù)勛畛醯挠鲆姡@激活了這些數(shù)學(xué)化的“交換”體驗,能讓學(xué)生進一步了解交換律。當學(xué)生有了這層“親切”的感知后,再呈現(xiàn)上學(xué)路線、黑白點子、超市購物的情境,讓他們再“想想”交換律、再“用用”交換律、再“說說”交換律,在引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)、觀察、提煉蘊藏的交換律后,進一步深化學(xué)生對交換律的認知,進一步理解了交換律存在的價值。

      參考文獻:

      [1]? 余元希. 數(shù)的概念淺說[M]. 上海:上海教育出版社,1980.

      [2]? 張奠宙,戎松魁.正本清源,通過“數(shù)數(shù)”活動理解運算律——關(guān)于加法和乘法交換律的討論[J]. 教學(xué)月刊小學(xué)版(數(shù)學(xué)),2015(6).

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