梁賢華

在2015年出版的《純粹歸納邏輯》一書中，作者帕里斯（J.Paris）和溫科斯卡（A.Vencovska）對卡爾納普致以崇高的敬意，把他追認(rèn)為“純粹歸納邏輯”之父。（[17]，第x頁）

卡爾納普（R.Carnap）被認(rèn)為是20世紀(jì)最重要、最具有影響力的歸納邏輯思想家，他的關(guān)于歸納邏輯的文獻(xiàn)至今依然是歸納邏輯研究的活水源頭，恰如普特南（H.Putnam）所指出的：

為數(shù)理歸納邏輯建立一個基礎(chǔ)的最為重要并且最具雄心的嘗試歸之于卡爾納普……他激勵大批年經(jīng)的邏輯學(xué)家對歸納產(chǎn)生興趣。可以說，今天卡爾納普的工作對于整個歸納邏輯領(lǐng)域的重要性，好比弗雷格的工作在20世紀(jì)初時對演繹邏輯的重要性：顯然，按照現(xiàn)在的情況來說，它是不能令人滿意的，但是沒有其它真正的可替代的方法了。要么攻克卡爾納普進(jìn)路的難題，要么拋棄整個計(jì)劃。（[19]，第302頁）

帕里斯和溫科斯卡繼承了卡爾納普的基本思想，并且從邏輯技術(shù)方面大大地推進(jìn)了卡爾納普的構(gòu)想。

因?yàn)轭惐韧评聿粌H是卡爾納普歸納邏輯的一個重要研究對象，而且它還構(gòu)成了《純粹歸納邏輯》的一個關(guān)鍵的推理原則，所以，從類比推理入手，不僅可以揭示純粹歸納邏輯的思想淵源，而且可以進(jìn)一步分析歸納邏輯的最新研究成果，最終將有助于我們更深入地把握歸納邏輯的發(fā)展趨勢。

總的來說，在純粹歸納邏輯的框架下進(jìn)行類比推理，關(guān)鍵是用距離函數(shù)來刻畫相似性，并且以相關(guān)性函數(shù)作為推理基礎(chǔ)。由于卡爾納普的身影在其中隨處可見，所以我們可以把它看作是卡爾納普進(jìn)路歸納邏輯的一個重要的復(fù)興。

1 卡爾納普的類比推理研究進(jìn)路

不少學(xué)者認(rèn)為，以卡爾納普為代表的概率邏輯進(jìn)路是類比推理的一個理想出路。例如，赫茜（M.Hesse）斷言:“如果一個強(qiáng)有力的論斷聲稱，我們是通過一個更加熟悉的現(xiàn)象領(lǐng)域來為新現(xiàn)象提供理性的預(yù)測，那么這種論斷的邏輯涉及一種被稱為‘類比論證’的東西。似乎只有卡爾納普的確證理論能夠?yàn)轭惐日撟C的解釋難題提供一種充分地普遍并且詳盡的理論工具。”（[7]，第319頁）

可以把卡爾納普對類比推理的研究劃分為兩個階段。第一個階段以他早期的論文《論歸納邏輯》和著作《概率的邏輯基礎(chǔ)》為代表，其核心思想是明確地把類比推理劃入到歸納邏輯的范疇中，確立了類比推理的理論地位。

具體地，在《論歸納邏輯》中，卡爾納普說：“類比推理適用如下的情況。我們已經(jīng)知道的證據(jù)是這樣的事實(shí)，個體事物b和c在某種特征上是一致的，并且，b另外具有更多的特征；因此我們考慮假說：c也具有這樣的特征?！保╗1]，第87頁）這是一種常見的符合直覺的類比推理模式。

在《概率的邏輯基礎(chǔ)》中，卡爾納普列出了五種“最重要的”歸納邏輯：（[2]，第207頁）

1.直接推理:從全體到個體的推理。

2.預(yù)測推理（又稱外延推理）：從一個樣本到另一個樣本的推理。特別地，當(dāng)?shù)诙€樣本只含有一個個體時，預(yù)測推理又被稱為單一預(yù)測推理。

3.類比推理：從一個個體到另一個個體的推理（基于它們的相似性）。

4.逆向推理：從個體到全體的推理。

5.普遍性推理：從一個樣本到一個具有普遍形式的假說推理?？柤{普強(qiáng)調(diào)，這五種類型的歸納推理既不是互相排斥的，也沒有窮盡所有類型的歸納推理。

總的來說，在第一階段中，卡爾納普確立了類比推理在歸納邏輯中的地位，并且認(rèn)為類比推理的核心基礎(chǔ)是相似性。但在這個階段他主要的研究方法是把類比納入到他的確證邏輯當(dāng)中，現(xiàn)在學(xué)界一般認(rèn)為確證的方法是不成功的，所以這個研究類比的方法也被認(rèn)為是失敗的。特別是在古德曼發(fā)現(xiàn)綠藍(lán)悖論之后，人們意識到即便是根據(jù)同樣的證據(jù)，通過歸納推理可能會得到兩個互相矛盾的結(jié)論。這使得整個卡爾納普的歸納邏輯都受到了挑戰(zhàn)。為了應(yīng)對古德曼的挑戰(zhàn)，卡爾納普將歸納邏輯劃分應(yīng)用歸納邏輯和理論歸納邏輯兩個部分。于是，卡爾納普的歸納思想發(fā)展到第二個階段。

卡爾納普類比思想的第二個階段以他去世后發(fā)表的著作《歸納邏輯的基本系統(tǒng)》為代表，其核心策略是用量化的“距離”來測度“相似性”。這個方法鮮明、直觀，被認(rèn)為是一個很有理論價值的思想。特別是在人工智能的量化發(fā)展要求的背景下，該方法尤其具有現(xiàn)實(shí)的意義。而純粹歸納邏輯所要發(fā)展的類比推理正是后期卡爾納普的類比思想。

具體地，卡爾納普所提出的研究類比推理的新方法如下：（[3]，第8-11頁）

首先，確定一個謂詞簇S={紅,橙,黃,綠,藍(lán),紫}，然后將謂詞簇S表征為六個相等區(qū)域的顏色空間，如圖：

其中圓心C代表自然灰色，圓周上依次被劃分為紅、橙、黃、綠、藍(lán)、紫六個扇形區(qū)域，每個圓孤上的中點(diǎn)代表該種顏色的飽和點(diǎn)，或純粹的色調(diào)，例如，R1表示飽和的紅色，并且自R1向圓心C逐漸靠近，意味著飽和的紅色將逐漸變淡，最后將變成中性的灰色。

于是，當(dāng)問及R2（淡紅色）和V1（淡紫色）哪一個與R1（飽和的紅色）更相似時，人們可以毫不猶豫地說出答案：R2與R1更相似。并且我們可以通過幾何的距離來刻畫這樣的相似性比較：d(R1,R2)

定義1(距離函數(shù)).對于任意的集合X和x,y,z∈X，映射d:X×X→是一個距離函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)以下4個條件成立：

1.d(x,x)=0；

2.d(x,y)>0，對于任意的x=y；

3.d(x,y)=d(y,x)（對稱性條件）；

4.d(x,y)+d(x,z)≥d(y,z)（三角形法則）。

卡爾納普的類比推理新構(gòu)想和二十世紀(jì)末發(fā)展起來的結(jié)構(gòu)主義理論不謀而合。根據(jù)結(jié)構(gòu)主義的觀點(diǎn)，類比是一個從源域到目標(biāo)域的映射。也就是說，類比是根據(jù)已知的信息（A）來推斷未知的可能情況（B），而在這個推理的過程中，最重要的根據(jù)是A和B具有相似的邏輯結(jié)構(gòu)f。其基本的推理圖式如下：

從結(jié)構(gòu)主義的視角來看，卡爾納普的幾何距離測度方法有兩個優(yōu)點(diǎn)。第一個優(yōu)點(diǎn)是它對源域的規(guī)定非常明確，即規(guī)定了它們是有限的謂詞語言集合（紅、橙、黃、綠、藍(lán)、紫），這個方法被帕里斯納入了PIL的體系中。事實(shí)上，馬里奧（M.C.Di Maio）也采用了同樣的方法來研究類比推理：“我將會聚焦于這樣的情形：所有的屬性都屬于同一個種類（例如，顏色類），并且只涉及不同的屬性之間的相似性（例如，紅與橙之間的相似性，要比紅與綠之間的相似性要大）?！保╗5]，第375頁）第二個優(yōu)點(diǎn)是，可用距離函數(shù)來量化地刻畫相似性。從實(shí)用價值的角度來看，這是一個不可忽略的優(yōu)點(diǎn)。

希爾（A.Hill）把卡爾納普的方法看作是使用純粹歸納邏輯的技術(shù)來刻畫謂詞之間的相似性的一個范例。他把相似性劃分為三個類型（[8]，第21頁）：

(1)謂詞之間的相似性。

(2)原子之間的相似性。

(3)句子之間的相似性。

例如，“灰色”和“黑色”是謂詞之間的相似性的一個例子，而“行星繞太陽轉(zhuǎn)動”和“電子繞原子轉(zhuǎn)動”則是句子之間的相似性的一個例子。

希爾認(rèn)為純粹歸納邏輯研究的是(1)和(2)這兩種類型的相似性。

我們認(rèn)為，更準(zhǔn)確地說，純粹歸納邏輯實(shí)際上研究的是原子之間的相似性，因?yàn)橹^詞本身即是由原子構(gòu)成的。

事實(shí)上，卡爾納普自己也是通過原子來定義Q-謂詞的。他在《概率的邏輯基礎(chǔ)》中給出了一個例子（[2]，第125頁）。即對于給定的語言L={P1,P2,P3}，由于每一個Pi都有兩種不同的取值情況（Pi和?Pi），這樣便有23=8個Q-謂詞，例如Q1=P1∧P2∧P3，Q2=P1∧P2∧?P3。在“狀態(tài)描述”一節(jié)中，我們將看到，Q1和Q2實(shí)際上是PIL體系中的兩個不同的原子。

卡爾納普的類比研究新思路啟發(fā)了帕里斯等學(xué)者，并且人們發(fā)現(xiàn)了更多的測度相似性的方法，而最重要的一種測度方法是下面將要討論的“漢明距離”，它被直接地用來刻畫原子之間的相似性。

2 一元純粹歸納邏輯框架下的類比推理

“純粹歸納邏輯”的理念來源于卡爾納普，其目的是把歸納當(dāng)作數(shù)理邏輯的一個分支來研究，正如杰弗里（R.C.Jeffrey）所指出的：“卡爾納普認(rèn)為純粹歸納邏輯的任務(wù)是為c函數(shù)提供一個數(shù)學(xué)的定義?！保╗10]，第300頁）在《純粹歸納邏輯》中，帕里斯和溫科斯卡更進(jìn)一步說：“純粹歸納邏輯是把理性的概率當(dāng)作數(shù)理邏輯的一個分支來處理的研究。”（[17]，第i頁）這是因?yàn)樗麄兿嘈?，正如可以把?shù)學(xué)劃分為應(yīng)用數(shù)學(xué)和理論數(shù)學(xué)一樣，同樣可以把歸納劃分應(yīng)用歸納和理論歸納兩個部分。直覺上，這種研究策略是可取的。

具體地，在純粹歸納邏輯的背景下，帕里斯和溫科斯卡把類比推理建立在一階邏輯的基礎(chǔ)之上，其理論基礎(chǔ)是概率函數(shù)，并且相關(guān)性函數(shù)尤其重要，他們的基本目標(biāo)是把類比當(dāng)作是數(shù)理邏輯的一個特殊領(lǐng)域來研究。

系統(tǒng)地表述PIL體系下的類比推理的著作是《純粹歸納邏輯》（[17]）。此外，帕里斯指導(dǎo)的博士論文《在歸納邏輯中通過類比進(jìn)行推理》（[8]），和碩士論文《一元?dú)w納邏輯中的類比推理》（[4]），都是在PIL體系下展開的類比推理研究，因此也是重要的參考文獻(xiàn)。

由于純粹歸納邏輯包括了一元?dú)w納和多元純歸納兩大部分，并且后者比前者要復(fù)雜得多，為了簡化起見，我們將把精力集中在一元?dú)w納的部分。下面我們首先論述純粹歸納邏輯的理論基礎(chǔ)。

2.1 純粹歸納邏輯常用符號的說明

純粹歸納邏輯建立在一階邏輯語言的基礎(chǔ)之上，但是在一階邏輯語言中不含有函數(shù)和等式，而且關(guān)系符號是有限的，常項(xiàng)是可數(shù)無窮的，也就是說，預(yù)設(shè)常項(xiàng)窮盡了論域中的所有個體（元素）。

下面是純粹歸納邏輯中常用符號的說明：

?L：一階語言；

?常項(xiàng)：a1,a2,...,an（或ai1,ai2,...,aim）；

?變元：x1,x2,...

?SL：一階語言L的句子的集合；

?QFSL：沒有量詞的一階語言的句子的集合；

?關(guān)系符號：R1,R2,...,Rq，并且這些關(guān)系符號的參數(shù)數(shù)量分別用r1,r2,...,rq來表示。當(dāng)關(guān)系符號的參數(shù)數(shù)量只有一個的時候，也用P1,P2,...,Pq來表示一元關(guān)系謂詞。

特別地，還常用縮略式“PIL”來表示“純粹歸納邏輯”。

2.2 純粹歸納邏輯的總問題

在某種意義上，我們可以把純粹歸納邏輯看作是理性決策的問題。也就是說，純粹歸納邏輯所要研究的總問題是：對于一個理性的主體來說，如何對進(jìn)行概率賦值才是合乎理性的？

具體地，即在“零知識”的情況下，邏輯地，或理性地，主體X應(yīng)該對一個句子θ∈SL在某個結(jié)構(gòu)M中為真的可能性賦予怎樣的信念？（[17]，第10頁）

帕里斯已經(jīng)意識到至少需要對三個地方作出進(jìn)一步的解釋。首先，“零知識”是指除了一階邏輯的基本原理之外，主體X沒有任何其它的背景知識。這類似于一種“無知的狀態(tài)”。在現(xiàn)實(shí)的世界中，可能根本就不存在這樣的一個主體。不過，如果我們把具有“零知識”的主體X看作是一個理想的“機(jī)器人”主體，則這樣的一種認(rèn)識狀態(tài)還是可以設(shè)想的。正如帕里斯所指出的：“這樣的一種初期的無知狀態(tài)的更為具體的例子，我們僅只需要向人工智能中的主體尋求?！保╗15]，第315頁）

其次，在帕里斯看來，“邏輯”和“理性”是一對同義詞，但是他沒有定義什么是“理性”，倒是把這個問題交給我們的常識和直覺去處理。根據(jù)帕里斯的學(xué)生阿薩羅（F.A.D’Asaro）的理解：“在這種語境下，我們應(yīng)當(dāng)把‘理性’僅只看作是非形式的、直覺的概念。用卡爾納普的話來說，可以把理性這個術(shù)語看作我們正在尋求說明的一個說明物，因此我們不應(yīng)給出它的定義?！保╗4]，第11頁）對于帕里斯來說，在最低限度的意義上，如果我們把純粹歸納邏輯當(dāng)作是行動的指南，則不會被認(rèn)為是非理性的。

再次，“信念”一詞表明了PIL體系所采用的概率解釋是主觀解釋。強(qiáng)調(diào)主觀解釋在現(xiàn)代人工智能的背景下具有重要的意義，因?yàn)樵摻忉屇軌蚝芎玫乜坍嬓畔鬟f的作用，并且具有很強(qiáng)的操作價值。

2.3 概率函數(shù)

定義2.令w為從SL到[0,1]之間的一個映射，即，w:SL→[0,1]，那么w是一個概率函數(shù)，僅當(dāng)對任意的θ,?,ψ∈SL，以下的三個條件得到滿足：

(P1)如果|=θ，那么w(θ)=1；

(P2)如果|=?(θ∧?)，那么w(θ∧?)=w(θ)+w(?)；

(P3)w(?xψ(x))=limn→∞w(ψ(a1)∨ψ(a2)∨...∨ψ(an))。

P3又被稱為蓋弗曼（Gaifman）公理（條件），在PIL中具有重要的特殊意義，因?yàn)椤八庠诓蹲竭@樣的直覺——ai窮盡論域，并且因此?xψ(x)應(yīng)當(dāng)?shù)扔跓o窮析取∨。”（[12]，第800頁）也就是說，最終我們可以得到一個收斂的極限值。對于歸納推理來說，這當(dāng)然是一個理想的性質(zhì)。

另一方面，條件概率是貝葉斯主義的核心支柱，常常被譽(yù)為一種反映了“向經(jīng)驗(yàn)學(xué)習(xí)”的精髓的邏輯工具。用主觀貝葉斯主義的話語來說，它刻畫了新信息對主體X的信念更新所產(chǎn)生的作用。

定義3.假設(shè)w是滿足定義2的概率函數(shù)，并且θ,?∈SL，w(?)>0。那么，在已知?的條件下發(fā)生θ的概率，定義為映射函數(shù)w(·|?):SL→[0,1]，即

注意，在上述定義中，已經(jīng)規(guī)定w(?)>0?？紤]到可能存在w(?)=0的情況，有時候條件概率公式也被寫成w(θ∧?)=w(θ|?)w(?)，或?qū)(?)=0的情況重新下一個定義。

2.4 理性原理

理解PIL的一個比較好的方法是把它看作一種決策論。根據(jù)帕里斯和溫科斯卡，這是因?yàn)樵谠S多情況下，例如對一個空缺的崗位，主管單位在決定應(yīng)當(dāng)雇傭誰的時候，所尋求的并不是客觀的真理，而是力圖使管理層內(nèi)部達(dá)成一致的意見。所以，如果我們希望將來的某一天能夠把雇傭工人的工作交給人工智能主體X去做的話，就要對施加于我們的偏好之上的理性觀察的約束條件進(jìn)行研究。（[16]，第358頁）

而“約束條件”可被理解為需要遵循的“理性原理”。

為了便于讀者理解，我們首先介紹“置換”這個概念。

定義4.令S={x1,x2,...,xn}，那么S的置換σ是一個從S到S的一一映射，即σ(xi)=xj，其中i,j∈{1,2,...,n}。

特別地，當(dāng)S={1,2,3,...}，即S是一個自然數(shù)集合時，可以把S的置換記作σ(1),σ(2),σ(3),...，或σ∈SN+。

例1.假設(shè)S={1,2,3,4}，則S的一個的置換是：

即σ(1)=3，σ(2)=1，σ(3)=2，σ(4)=4。

有了置換的概念，我們便可以進(jìn)一步得到PIL中的三個重要的理性原理（[17]，第33-35頁）：

常項(xiàng)可交換性原理（Ex）令σ為一個從自然數(shù)到自然數(shù)的置換，即σ:N→N，則對θ(a1,a2,...,an)∈SL，

對Ex的一個合理性證明是，如果主體X對a1,a2,...,an一無所知，那么在進(jìn)行概率賦值的時候，他/她就不應(yīng)該有區(qū)別地對待它們，否則將會被認(rèn)為是非理性的。（[14]，第6頁）或者，從另一個角度來看，Ex是建立在這樣的一種思想基礎(chǔ)之上的：理性主體的信念應(yīng)當(dāng)反映這樣的一個事實(shí)——在他的主觀世界中，常項(xiàng)ai完全是對稱的（[13]，第5頁）。在這里，“對稱性”意味著它們具有同等的可能性。

例如，假設(shè)從一個盒子中有放回地取球，結(jié)果取得2個黑球，1個白球。那么Ex刻畫的是這樣的一種情況：所得的結(jié)果與順序無關(guān)。換句話說，順序“白、黑、黑”和順序“黑、白、黑”的概率是一樣的。

Ex是PIL的一個標(biāo)準(zhǔn)預(yù)設(shè)，即如果沒有特別的說明的話，就默認(rèn)該條件得到滿足。Ex考察的是常項(xiàng)的性質(zhì)，自然地，我們可以設(shè)想，對于謂詞，是否也有相似的性質(zhì)呢？這便是下面的原理所要回答的問題。

謂詞可交換性原理（Px）假設(shè)關(guān)系謂詞R1,R2,...,Rq的參數(shù)數(shù)量都是r，則對于θ,θ′∈QFSL，如果θ′中的謂詞是θ中的謂詞的一個任意的置換，那么w(θ)=w(θ′)，即

例如，w(R1(a1)∧?R2(a2))=w(R2(a1)∧?R1(a2))。

另一個重要的原理是，否定詞?也應(yīng)具有對稱性的性質(zhì)。例如，一枚均勻的硬幣出現(xiàn)正面向上的概率和出現(xiàn)反面向上的概率應(yīng)該是一樣的。下面的原理所刻畫的便是這樣的一種理念。

強(qiáng)否定原理（SN）對于θ,θ?∈QFSL,如果θ?是將θ中的每一個±R都用?R來替換而得到的結(jié)果，那么

例如，w(R1(a1)∧?R2(a2))=w(R1(a1)∧R2(a2))。

SN要求的是將θ中出現(xiàn)的每一個R都換成?R，但它并不要求同時地將有所的Ri都置換成?Ri（i=1,2,...,q）。因此，作為SN的一種特殊情況，我們還可以得到一個“弱否定原理”。

弱否定原理（WN）對θ∈SL，假設(shè)θ?是同時地將θ中的每一個Ri都置換為它的否定?Ri所得的結(jié)果，則w(θ)=w(θ?)。

可見，在某種意義上說，我們可以把WN看作是SN條件的弱化，因此，在PIL的體系中，有時候，當(dāng)我們需要削弱前提條件的強(qiáng)度時，一個重要的策略便是用WN來替換SN。PIL體系下的類比推理便使用了這個方法。

至此我們已經(jīng)知道，在缺乏關(guān)于現(xiàn)實(shí)世界的其它的參考信息的“零知識狀態(tài)”預(yù)設(shè)下，基于對“對稱性”的考察，得到了三個重要的理性原理Ex、Px和SN。相似地，我們還可得到另外一個重要的原理：

原子可交換性原理（Ax）對{1,2,...,2q}的任意置換σ，和常項(xiàng)ai1,ai2,...,aim，

我們已經(jīng)知道，Ex刻畫的是，從一個盒子中有放回地取球，所得結(jié)果的概率與取球的順序無關(guān)。例如，假設(shè)取得2個紅球、1個黃球和2個白球，則順序“紅、白、紅、白、黃”和順序“黃、紅、紅、白、白”的概率是一樣的。相似地，Ax所刻畫的直覺信念是：在Ex被滿足的前提下，Ax等于說，我們賦予這些顏色的名稱是無關(guān)的。例如，取得2個紅球、1個黃球和2個白球，和取得2個綠球、1個黃球和2個黑球的概率是一樣的（[15]，第321頁）。

因?yàn)樯婕暗綄Α霸印钡亩x，本應(yīng)在“狀態(tài)描述”一節(jié)內(nèi)容之后給出理性原理Ax的，但是，為了突出PIL體系中的“原理”的重要意義，我們決定將它放在這里。

2.5 狀態(tài)描述

“狀態(tài)描述”是純粹歸納邏輯的一個核心概念，該概念是卡爾納普歸納邏輯的一個重要成果，它的重要性見之于凱梅尼（J.G.Kemeny）的評論：“可以說，卡爾納普的整個歸納邏輯的方法建立在一個概念——‘狀態(tài)描述’的基礎(chǔ)之上。所有的其它概念都可以根據(jù)這個概念進(jìn)行定義?！保╗11]，第39頁）

定義5.令R1,R2,...,Rq為一階語言L的關(guān)系謂詞，并且它們的參數(shù)數(shù)量分別是r1,r2,...,rq。那么，對于來自a1,a2,...,am的不同的常項(xiàng)ai1,ai2,...,aim，狀態(tài)描述Θ(ai1,ai2,...,aim)是一個具有如下形式的一階語言L的句子：

其中+Rj表示Rj，?Rj代表?Rj，c1,c2,...,crj來自于ai1,ai2,...,aim（不必是不同的）。（[17]，第41-42頁）

例2.令L={R1,R2}，其中R1是一元關(guān)系符號，R2是二元關(guān)系符號。那么對于常項(xiàng)a1,a2，一個可能的狀態(tài)描述是

在PIL的體系中，除了用Θ符號來表示狀態(tài)描述之外，有時候還用Ψ和Φ來表示，以作出不同的區(qū)分。

特別地，當(dāng)關(guān)系謂詞R1,R2,...,Rq的參數(shù)數(shù)量都只有一個的時候，我們便得到一元純粹歸納邏輯下的狀態(tài)描述。這時候，我們便可以把a(bǔ)i1,ai2,...,aim的狀態(tài)描述

簡化為

其中α1(x),α2(x),...,α2q(x)都是L的原子，它們的一般形式是：

有時候，也把原子αi(x)記作，

也就是說，對于L={R1,R2,...,Rq}，每個Rj都有兩種可能的取值情況，即±Rj（Rj和?Rj），因此，對語言L中的關(guān)系謂詞按照字典式序列取合取公式，便可以得到2q個原子公式。（[17]，第50頁）

例3.令L2={R1,R2}，其中R1,R2是一元關(guān)系謂詞。則L2的原子是：

如果R1表示“紅色”的性質(zhì)，R2表示“黃色”的性質(zhì)，那么原子α1(x)表示x混合了紅、黃兩種顏色。原子α4(x)則表示x既沒有紅色也沒有黃色。顯然，α1(x)和α4(x)完全是互相排斥的。事實(shí)上，原子α1(x),α2(x),α3(x),α4(x)都是互相排斥的。

在例3中，我們利用顏色來說明原子的性質(zhì)，我們在往后的論述中，還會用相似的例子作理論的說明。事實(shí)上，這是PIL的一種常用的方法。正如帕里斯所指出的：思考原子的一個有用的方法是把它看作是顏色——假設(shè)ai是球體，并且這些球體的唯一區(qū)別就是顏色。因此，認(rèn)識一個球體的顏色就認(rèn)識了ai的一切。（[14]，第7頁）正如例3所揭示的，對于給定的語言L2，原子α1(x),...,α4(x)刻畫了x可能具有的所有屬性。

在定義了一元謂詞狀態(tài)描述后，便可以進(jìn)一步探討狀態(tài)描述的數(shù)學(xué)表征問題。

首先，定義一個論域D2q，使得D2q?R2q，即

其中xi=w(αi(x))。

其次，定義狀態(tài)描述上的函數(shù)。

令=1,x2,...,x2q∈D2q，則是定義在狀態(tài)描述Θ(ai1,ai2,...,aim)上的一個概率函數(shù)，僅當(dāng)

其中m1,m2,...,m2q分別是原子α1,α2,...,α2q的數(shù)量。

在前述兩個定義的基礎(chǔ)上，可以進(jìn)一步地表述著名的德菲涅表征定理（de Finetti’s Representation Theorem）（[17]，第55頁）：

定理1.令L={R1,R2,...,Rq}，其中R1,R2,...,Rq是一元謂詞。如果L上的概率函數(shù)w滿足Ex，那么存在一個測度μ，使得μ在D2q的布爾子集上，并且

相反地，給定在D2q的布爾子集上的測度μ，通過上述定義得到的概率函數(shù)w唯一地?cái)U(kuò)展到SL上的一個滿足Ex的概率函數(shù)。

其中，μ又被稱為w的“德菲涅先驗(yàn)”（de Finetti prior）。

德菲涅表征定理是純粹歸納邏輯的一個關(guān)鍵的數(shù)理邏輯工具，許多定理需要通過它才能得到證明。但是該定理很復(fù)雜，因此很容易成為人們詬病PIL體系的根據(jù)。

2.6 相關(guān)性

對于一個理性的主體X來說，如果他/她觀察到某個事件在過去發(fā)生的次數(shù)越多，那么他/她就越有理由相信該事件在將來發(fā)生的可能性越大。這又被比喻為“向經(jīng)驗(yàn)學(xué)習(xí)”。例如，假設(shè)我們來到了一個新的地方，不妨稱之為A地。如果在第一天我們連續(xù)地看到了9只黑色的烏鴉，那么我們就會有較大的信心預(yù)期：我們在A地看到的第10只烏鴉將也是黑色的。而刻畫這種向“經(jīng)驗(yàn)學(xué)習(xí)”直覺信念的一個方法是：

實(shí)例相關(guān)原則（PIR）對于L的原子α(x)和θ(a1,a2,...,an)，

也是就說，在已有證據(jù)θ(a1,a2,...,an)的基礎(chǔ)上獲悉an+1具有性質(zhì)α，將會增強(qiáng)我們斷言下一個常項(xiàng)an+2也具有同樣的性質(zhì)的信心。（[17]，第70頁）

定理2.Ex蘊(yùn)涵PIR。

也就是說，如果我們相信Ex是合理的，那么根據(jù)邏輯的結(jié)果，我們便應(yīng)該同意PIR也是合理的。這個定理意味著卡爾納普歸納邏輯藍(lán)圖的一個重大的勝利。不過，該定理的證明過程十分復(fù)雜，并且嚴(yán)重地依賴德菲涅表征定理，即使是對有一定數(shù)學(xué)背景知識的人來說，該定理也是不容易把握的。帕里斯對此深有憂慮，他認(rèn)為，可能存在這樣的一種情況：即人們可能接受Ex，但是并不接受PIR。因此，他寄希望于將來，但愿將來的某一天有人能夠提出更加容易理解的證明方法。（[14]，第9頁）

2.7 卡爾納普的連續(xù)統(tǒng)方法

我們在前面已經(jīng)知道，可以把PIL看作是卡爾納普歸納邏輯的最新研究成果。在這里我們便可以看到一個重要的根據(jù)：卡爾納普的連續(xù)統(tǒng)概率函數(shù)，其獨(dú)特的記號被保留下來了——需知道，帕里斯特別地定義了概率函數(shù)，在PIL的體系中，除了卡爾納普的連續(xù)統(tǒng)函數(shù)之外，都是用w來表示概率函數(shù)的。

定義6.令L={R1,R2,...,Rq}，其中R1,R2,...,Rq均為一元謂詞。定義概率函數(shù)如下（[15]，第316頁）：

其中，mj是原子αj出現(xiàn)的次數(shù)，

特別地，如果n是一個固定的自然數(shù)，那么，

?當(dāng)λ→∞時，

?當(dāng)λ=0時，

?當(dāng)λ=∞時，

下面是一個源自于卡爾納普的例子，阿薩羅進(jìn)一步把它整合到PIL體系中來。（[4]，第35-36頁）這個例子不僅能夠幫助我們更好地把握卡爾納普連續(xù)統(tǒng)函數(shù)，而且它還有助于我們理解PIL體系中的類比推理的重要意義。

例4.令L={P1,P2,P3}。假設(shè)某地的昆蟲的種類是有限的，即可用語言L的原子來充分地刻畫，不妨設(shè)昆蟲的顏色類型正好等于語言L所構(gòu)成的原子的個數(shù)，即23=8（種）。假設(shè)已經(jīng)觀察到了20只昆蟲，分布如下：

根據(jù)卡爾納普的函數(shù)，“第21只昆蟲的顏色是α1”的概率為

由于顏色為α8的昆蟲數(shù)量也是2，所以“第21只昆蟲的顏色是α8”的概率為

顯然，根據(jù)卡爾納普連續(xù)統(tǒng)函數(shù)的計(jì)算結(jié)果，“第21只昆蟲的顏色是α1”的概率，與“第21只昆蟲的顏色是α8”的概率，是相等的。

但是，兩者的預(yù)測概率真的是完全一樣嗎？答案是：不一樣。

因?yàn)楫?dāng)我們觀察這8個原子的謂詞（P1,P2,P3）前面的符號（±）時，便會發(fā)現(xiàn)α2,α3,α4和α1更相相似，其數(shù)量是m1+m2+m3+m4=2+6+4+2=14。而α5,α6,α7則和α8更加相似，但其數(shù)量只有m5+m6+m7+m8=3+0+1+2=6。顯然，14>6，因此，基于現(xiàn)有的觀察數(shù)據(jù)，第21只昆蟲的顏色是α1的概率要大于其顏色為α8的概率。這正是PIL體系下的類比推理研究所要解釋的問題。而類比推理第一個需要解決的問題就是如何刻畫相似性的問題。

2.8 漢明距離和相似性的刻畫

相似性是類比推理的核心概念，如果我們能夠把握它，也就是掌握了類比推理的制高點(diǎn)。

而我們已經(jīng)知道，卡爾納普提出了用幾何距離函數(shù)來測度相似性的構(gòu)想，并且他的Q-謂詞實(shí)質(zhì)上是由原子所構(gòu)成的。因此，一個很自然的推斷就是，我們能否直接地考察原子之間的相似性呢？答案是肯定的。事實(shí)上，直接對原子進(jìn)行考察還有一個優(yōu)點(diǎn)：可以對給定的語言進(jìn)行邏輯分析而不至于避免陷入本體論預(yù)設(shè)的泥潭——卡爾納普的顏色空間是有爭議的。

下面我們通過一個例子來說明原子之間的相似性。我們知道，在例3中，對給定的語言L={R1,R2}，L有22=4個原子，它們分別是：

那么，首先，我們可以把同一性看作是相似性的一種特殊情況，例如，原子α1與其自身是相似的，當(dāng)獲知an滿足α1時，自然增加了an+1也滿足α1的預(yù)測概率，即有

而這實(shí)際上就是實(shí)例相關(guān)原則。帕里斯說：“實(shí)例相關(guān)原則，可以被解釋成‘由類比所支持’的一個例子?！保╗17]，第165頁）因此，在某種意義上，我們可以把PIL體系中的類比看作相關(guān)性函數(shù)的一種擴(kuò)展。其次，當(dāng)我們比較原子α1,α2,α4時，便于會發(fā)現(xiàn)，α1和α2只有關(guān)系符號R1前面的標(biāo)志是不同的，而α1和α4的兩個關(guān)系符號R1和R2的標(biāo)志都是不同的。因此，α1和α2更加相似。所以，獲知an滿足α2，要比獲知它滿足α4更有利于預(yù)測an+1滿足α1。而刻畫這種原子之間的相似性的一個重要工具是“漢明距離”（Hamming distance）（[8]，第36頁）：

定義7.兩個原子之間的漢明距離，例如，αj和αk之間的漢明距離，是滿足αj(x)?R(x)?αk(x)??R(x)的謂詞R的數(shù)量，記為∥αj?αk∥。

即是說，原子αj和αk的漢明距離，體現(xiàn)在±Ri上的差別的具體數(shù)量。

具體地，在例3中，α1?R1(x)，α2??R1(x)，即原子α1和α2的區(qū)別只是關(guān)系符號R1的標(biāo)志不同，所以∥α1?α2∥=1。另一方面，由于α1?R1(x),α4??R1(x)，并且α1?R2(x)，α4??R2(x)，因此∥α1?α4∥=2。

我們還可以用圖示來刻畫漢明距離。例如，令正方形的邊長是單位1，則我們可以分別地用正方形的四個頂點(diǎn)來表示例3中的四個原子。這樣，兩個不同的原子之間的漢明距離，便是沿著正方形的周長運(yùn)動的兩個頂點(diǎn)之間的最短距離。例如，從原子R1(x)∧R2(x)到原子?R1(x)∧R2(x)和?R1(x)∧?R2(x)的漢明距離分別是1和2。

可見，漢明距離越小，則原子之間的相似性越大。于是，有

類比原則（APS）對L的任意原子αh,αi,αj，如果

那么，

其中ψ∈QFSL，并且ψ不包含an和an+1。

當(dāng)上述類比原則中的“≥”為更強(qiáng)的“>”關(guān)系時，稱之為“嚴(yán)格類比原則”，即有

嚴(yán)格類比原則（SAPS）對L的任意原子αh,αi,αj，如果

那么，

綜上所述，在類比原則APS和SAPS中，關(guān)鍵的條件是漢明距離——它構(gòu)成了判斷相似性的基礎(chǔ)。

2.9 類比原理(S)APS的基本性質(zhì)及其局限性

為了更加深入地研究PIL中的類比推理的性質(zhì)，一個有用的方法便是考察它與PIL的體系中其它重要性質(zhì)的邏輯關(guān)系。而這對于我們更好地把握PIL也是很有必要的。

我們先給出一個源自于卡爾納普的理性原則的定義（[17]，第61頁）:

規(guī)則性原則（REG）對任意的θ∈QFSL，w(θ)>0。

可以從兩個方面來理解為什么要規(guī)定REG：一方面，由于PIL的總問題預(yù)設(shè)了理性主體X沒有任何關(guān)于θ的背景知識，所以沒有充足理由把θ看作是不可能事件；另一方面，更為現(xiàn)實(shí)的意義是，規(guī)定w(θ)>0可以避免條件概率出現(xiàn)分母為零的情況。

定義了REG之后，便可以給出嚴(yán)格類比原則SAPS的兩個重要性質(zhì)：一、SAPS與Ax不可并存；二、SAPS蘊(yùn)涵REG?？煞謩e地用命題的方式來刻畫（[17]，第166頁）:

命題1.SAPS與Ax不一致。

證明.不妨設(shè)存在不同的原子αh(x),αi(x),αj(x)，使得∥αh?αi∥<∥αh?αj∥，并且令為重言式。那么，根據(jù)SAPS，有

可見，兩者的結(jié)論是矛盾的。

那么，人們自然會問，命題1是否意味著Ax和SAPS之間至少有一個是錯誤的？我們認(rèn)為更恰當(dāng)?shù)睦斫夥绞绞前裇APS看作是Ax的一個矯正原則，也就是說，SAPS涉及到對所收集到的證據(jù)的綜合考慮，而Ax主要刻畫的是主體X在證據(jù)不足的時候?qū)Ω鞣N不同的情況賦予同等的概率。其實(shí)，在例4中我們便已經(jīng)看到了類比原則對卡爾納普連續(xù)統(tǒng)函數(shù)的一個修正。

命題2.SAPS蘊(yùn)涵REG。

證明.根據(jù)REG，對于任意的ψ∈QFSL，w(ψ)>0。

假設(shè)SAPS不蘊(yùn)涵REG，不妨令w(ψ)=0。因此，將有

而根據(jù)SAPS，上式中的“=”應(yīng)為“>”，矛盾。

此外，還可以用其它的命題和定理來進(jìn)一步刻畫SAPS的性質(zhì)。

命題3.當(dāng)q=1，即只有一個謂詞的時候，L={P}。則如果w在語言L中滿足Ex，Px，和SN，那么w也滿足APS。

對于這個命題，關(guān)鍵的目標(biāo)是證明（[9]，第1301-1302頁）：

PIL的另一個重要的關(guān)注點(diǎn)是，在謂詞語言的收縮或擴(kuò)張的情況下，已有的定理或命題是否還成立。命題4表明APS不受語言的收縮（或擴(kuò)張）的影響（[9]，第1300-1301頁）：

命題4.令L={P1,P2,...,Pq}。假設(shè)L上的概率函數(shù)w滿足APS，并且L??L，那么w被限制于L?時仍然滿足APS。

根據(jù)前述的分析可知，PIL的體系中的類比推理通常是建立在Ex，Px和SN這幾個預(yù)設(shè)之上的，但是，由于這些前提條件太強(qiáng)了，因此使得SAPS只能適用于非常有限的情況。這可從下面的定理得到說明（[17]，第166-167頁）：

定理3.當(dāng)q>2時，SL上沒有函數(shù)同時滿足Ex，Px，SN和SAPS。

可見，對于語言L，當(dāng)它的關(guān)系謂詞多于兩個的時候，SAPS的局限性便突顯出來了，即它只能適用于非常有限的范圍。其中一個重要原因是因?yàn)樗那疤釛l件要求太苛刻了，因此，為了擴(kuò)大SAPS的應(yīng)用范圍，一個基本的思路便是弱化前提條件，例如，用更弱的預(yù)設(shè)WN來取代SN。這是將來進(jìn)一步研究的思路。

2.10 對等類比原則

一個可能大家都比較熟悉的科學(xué)類比是：由于火星和地球的結(jié)構(gòu)頗為相似，而地球上有生命存在，所以火星上可能也有生命存在。更為具體地，由于已經(jīng)證實(shí)水、氧氣、適宜的溫度是生命存在的基本條件，如今發(fā)現(xiàn)火星上也有水和空氣，并且其氣候也在一定的范圍內(nèi)變化，基于結(jié)構(gòu)上的相似性，人們很自然會推測火星上可能也有生命存在。也就是說，當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)了某個結(jié)構(gòu)P1(a1)∧P1(a2)∧P1(a3)，很自然會聯(lián)想到結(jié)構(gòu)P2(a4)∧P2(a5)∧P2(a6)可能也是存在的。這樣的推理是合乎理性的，因?yàn)閮烧咴诮Y(jié)構(gòu)上是相似的。而捕捉這種由“結(jié)構(gòu)相似性所支持”的直覺信念的一種形式化方法是“對等類比原則”。（[17]，第168頁）

對等類比原則（CP）令θ,θ′∈SL，并且使得θ′是通過某些在θ中并沒有出現(xiàn)過的新常項(xiàng)或關(guān)系符號，來取代θ中的某些常項(xiàng)或關(guān)系符號而到的結(jié)果。則有

根據(jù)CP，對于前述的火星上可能存在生命的類比，有

又例如，假設(shè)R1是一元關(guān)系，而R2和R3是二元關(guān)系，令

根據(jù)CP，則有

第二個例子反應(yīng)了帕里斯和溫科斯卡在2017年所提出的多元謂詞類比新構(gòu)想。他們指出，CP中的陳述θ和θ′所要捕捉的是結(jié)構(gòu)相似性所蘊(yùn)涵的一個重要意義：它們具有同樣的句法形式，只是某些名稱發(fā)生了改變（[18]，第404頁）。

可見，多元?dú)w納類比也是PIL體系下的類比推理的一個重要的發(fā)展方向。這種研究動態(tài)值得我們深入關(guān)注。因?yàn)榍笆龅念惐仍瓌tSAPS刻畫的是同一種類的事物之間（例如棕色和黃色）的相似性，而對等類比原則CP所刻畫的是不同的事物之間的相似結(jié)構(gòu)。相比而言，后者更接近日常生活意義上的“類比”。希爾更是把對等類比原則劃入“句子之間的相似性”范疇。

3 形式化是歸納類比的發(fā)展趨勢嗎？

這首先要搞清楚什么是“形式化”，如果它是指全面符號化、邏輯化的話，那么，正如我們在前述的分析中所看作到的，類比原則SAPS的適用范圍是非常有限的——當(dāng)語言L的關(guān)系謂詞多于3個的時候，便沒有任何函數(shù)能夠同時滿足Ex，Px，SN和SAPS了。這對于類比的形式化計(jì)劃來說無疑是一個重大的打擊。

但是，如果我們把“形式化”的概念弱化，把它看作是一種以邏輯工具作為輔助手段的理性決策方法，那么，它的發(fā)展前景還是很廣闊的。

第二種理解“形式化”的方式更符合帕里斯和溫科斯卡的思想。正如我們在“純粹歸納邏輯的總問題”一節(jié)內(nèi)容中所揭示的，他們明確地把“邏輯地”弱化為“理性地”，即把邏輯問題還原為決策問題，大大削弱了對“真”的承諾。這是因?yàn)?，決策問題往往并不涉及到“真”的問題，例如，某個公司招聘員工的時候所考慮就不是形式邏輯的“真”問題，而是新員工能否勝任工作的問題，或者說，能否為公司創(chuàng)造利潤的問題。

類比推理的形式化發(fā)展和以簡特納（D.Gentner）為代表的結(jié)構(gòu)主義類比理論所取得的成功密切不可分——后者在認(rèn)知心理學(xué)、科學(xué)解釋模型、人工智能類比推理等方面都取得了重要的進(jìn)展，大大鼓舞了學(xué)界對類比推理研究的信心，并且推進(jìn)了類比推理形式化的發(fā)展。

事實(shí)上，純粹歸納邏輯框架下的類比推理和結(jié)構(gòu)主義類比推理的理念基本上是一致的。帕里斯和溫科斯卡在2017年發(fā)表的最新論文《整合類比支持到純粹歸納邏輯中》的一個腳注中指出：“這個類比概念潛藏的基礎(chǔ)類似于在人工智能（AI）中所利用的結(jié)構(gòu)影射理論，參見[6]?！保╗18]，第403頁）

可見，在一定的意義上，我們可以說PIL體系下的類比體現(xiàn)了由結(jié)構(gòu)主義類比所推動的人工智能類比的基本發(fā)展趨勢。在《純粹歸納邏輯》一書的前言中，帕里斯和溫科斯卡更是明確地說:“我們希望這部著作能夠吸引哲學(xué)家和人工智能共同體的興趣。”（[17]，第6頁）從現(xiàn)實(shí)的觀點(diǎn)來看，這是因?yàn)椋诂F(xiàn)代科技發(fā)展的背景下，人們的理性決策越來越多地涉及到人工智能的參與，而這對類比推理的理論發(fā)展提出了新的要求。正是在這個意義上，我們說，形式化是歸納類比的一種基本發(fā)展趨勢。