均值不等式的推廣及應(yīng)用

陳軍

【摘 要】均值不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要的不等式，是高考的一個(gè)必考的知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)也是學(xué)生感到比較難的知識(shí)點(diǎn)，所以研究均值不等式是很有意義的.近年來(lái)，對(duì)均值不等式的研究越來(lái)越多，涉及的領(lǐng)域也越來(lái)越廣.本文借鑒前人研究成果，在均值定理的基礎(chǔ)上進(jìn)行探究，把算術(shù)平均與幾何平均的關(guān)系進(jìn)行了個(gè)數(shù)、指數(shù)、系數(shù)及形式的推廣，本文還舉例說明各個(gè)不等式的應(yīng)用，通過建立圖表指出各個(gè)不等式之間的關(guān)系，從而使讀者可以對(duì)均值不等式的各個(gè)形式及其關(guān)系有一個(gè)整體、清晰的認(rèn)識(shí)，有利于開拓解題思路、訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維能力、探究問題的實(shí)質(zhì)，并期望能為解決數(shù)學(xué)不等式問題提供一種參考.

【關(guān)鍵詞】均值不等式;推廣;應(yīng)用

解題活動(dòng)中一種司空見慣的情況是題目解完了，方法的功能也隨之而結(jié)束，而實(shí)際情況卻常常是：一個(gè)問題的解決導(dǎo)致了更多問題的來(lái)臨，于是客觀情況需要我們?nèi)ニ伎?解決前一個(gè)問題的方法是否可以用來(lái)解決后繼問題呢？可能性是存在的，但解決問題的方法不拘一格，有的完全依賴于問題的特殊條件，有的則觸及到該問題的實(shí)質(zhì)，因而有的解法很難作推廣，充其量只是平凡的推廣，只有那些抓住問題實(shí)質(zhì)的方法，才可以提供深刻推廣的途徑.

例1：已知a、b，求證：? ?.（1）

證法一：由，開方即得

.

證法二：將（1）變形，兩邊同乘，得

左邊==1（基本不等式反用）.

兩種證法都可以進(jìn)行“個(gè)數(shù)”的推廣，但證法一不便進(jìn)行“指數(shù)”上的推廣，更難于進(jìn)行“系數(shù)”上的推廣，我們利用證法二進(jìn)行“個(gè)數(shù)”、“指數(shù)”、“系數(shù)”的推廣，這對(duì)于不等式的性質(zhì)認(rèn)識(shí)有進(jìn)一步的提高作用.

一、均值不等式的推廣

『推廣一』個(gè)數(shù)推廣

若（2）

證明：將（2）變?yōu)?/p>

.

對(duì)照證法二可見，這個(gè)推廣是十分容易，非常平凡的.

本題也可以用柯西（Cauchy）不等式來(lái)證明：若是兩組實(shí)

數(shù)，則有當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.

證明：由柯西不等式得

所以

即 .

例2? 設(shè)，求max e與min e.

解：由題設(shè)有由（2）有

所以 ，故 .

因?yàn)榉謩e令與時(shí)，有，

所以maxe=，mine=0.

『推廣二』? 指數(shù)推廣

對(duì)

（3）

證明：將（3）兩邊同乘化為

參考文獻(xiàn)

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