含Smarandache LCM函數(shù)的一類復(fù)合數(shù)論函數(shù)方程的可解性

張明麗，高 麗

(延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000)

上世紀(jì)末，Smarandache[1]定義并研究了若干新的數(shù)論函數(shù)問題。近年來，關(guān)于Smarandache以及系列Smarandache衍生函數(shù)與其他數(shù)論函數(shù)方程相互結(jié)合求解及相關(guān)性質(zhì)的研究備受關(guān)注。張?zhí)炱絒2]對復(fù)合函數(shù)方程φ(φ(n))=2Ω(n)的奇數(shù)解進(jìn)行了研究；田呈亮[3]對復(fù)合函數(shù)方程φ(φ(n))=2Ω(n)的正整數(shù)解進(jìn)行了研究；多布杰[4]對復(fù)合函數(shù)方程φ(φ(n))=2t的可解性問題進(jìn)行了研究。近期，王洋、張四保、袁合才、王波等[5-6]先后對復(fù)合函數(shù)方程φ(φ(n-φ(φ(n))))=2，4，6的可解性問題進(jìn)行了討論。張利霞、趙西卿、郭夢媛、高麗等在文獻(xiàn)[7-9]中分別研究了數(shù)論方程S(SL(n))=φ(n)，

S(SL(n))=φ2(n)，S(SL(n2))=φ2(n)的可解性。本文進(jìn)而對含Smarandache LCM函數(shù)的復(fù)合數(shù)論函數(shù)方程φ(φ(n-S(SL(n))))=2,4的可解性問題進(jìn)行了探究。

1 相關(guān)定義及引理

定義1[7]對于任意的正整數(shù)n，Euler函數(shù)φ(n)定義為在序列1，2，…，n-1中與n互素的整數(shù)的個數(shù)。

定義2[7]Smarandache函數(shù)S(n)表示為，對于任意的正整數(shù)n，有

S(n)=min(m∈Z:n|m!}。

定義3[7]Smarandache LCM函數(shù)SL(n)表示為，對于任意的正整數(shù)n，若n=p1r1p2r2…pkrk，其中所列的p1,p2,…,pk均為素數(shù)且順序排列，則有

SL(n)=max{p1r1，p2r2，…，pkrk}。

引理1[8]若正整數(shù)n=p1r1p2r2…pkrk，其中p1,p2,…,pk為素數(shù)，則歐拉函數(shù)

Smarandache函數(shù)S(n)=min{m∈Z:n|m!}，

Smarandache LCM函數(shù)SL(n)=max{p1r1p2r2，…，pkrk}。

引理2[9]：當(dāng)n≥2時，有φ(n)

引理3[9]：對于整數(shù)k和素數(shù)p，有S(pk)≤kp；當(dāng)且僅當(dāng)k

證明：由引理1—引理3易知，當(dāng)滿足條件時，

2 主要結(jié)論及其證明

定理1 含Smarandache LCM函數(shù)的復(fù)合數(shù)論函數(shù)方程

φ(φ(n-S(SL(n))))=2

(1)

的正整數(shù)解為n=10，15，16，18，14，12，21，27。

證明：因為φ(φ(n-S(SL(n))))=2，所以

φ(n-S(SL(n)))=3，4，6。下面分3種情況加以討論：

情形一：若φ(n-S(SL(n)))=3，由引理2可知式(1)無解。

情形二：若φ(n-S(SL(n)))=4，則

n-S(SL(n))=5，8，10，12。

當(dāng)n-S(SL(n))=5時，由引理4，此時6≤n≤10，將其逐一代入驗證，只有n=10滿足

n-S(SL(n))=5，即n=10為式(1)的解。

當(dāng)n-S(SL(n))=8時，由引理4，此時9≤n≤16，將其逐一代入驗證，此時式(1)無解。

當(dāng)n-S(SL(n))=10時，由引理4，此時11≤n≤20，將其逐一代入驗證，只有n=15,16滿足

n-S(SL(n))=10，即n=15,16為式(1)的解。

當(dāng)n-S(SL(n))=12時，由引理4，此時13≤n≤24，將其逐一代入驗證，只有n=18滿足

n-S(SL(n))=12，即n=18為式(1)的解。

情形三：若φ(n-S(SL(n)))=6，則

n-S(SL(n))=7，9，14，18。

當(dāng)n-S(SL(n))=7時，由引理4，此時8≤n≤14，將其逐一代入驗證，只有n=14滿足

n-S(SL(n))=7，即n=14為式(1)的解。

當(dāng)n-S(SL(n))=9時，由引理4，此時10≤n≤18，將其逐一代入驗證，只有n=12滿足

n-S(SL(n))=9，即n=12為式(1)的解。

當(dāng)n-S(SL(n))=14時，由引理4，此時15≤n≤28，將其逐一代入驗證，只有n=21滿足

n-S(SL(n))=14，即n=21為式(1)的解。

當(dāng)n-S(SL(n))=18時，由引理4，此時19≤n≤36，將其逐一代入驗證，只有n=27滿足

n-S(SL(n))=18，即n=27為式(1)的解。

定理2 含Smarandache LCM函數(shù)的復(fù)合數(shù)論函數(shù)方程

φ(φ(n-S(SL(n))))=4

(2)

的正整數(shù)解為n=20，25，24，32，36，22，33，26，28，39，35，40，48。

證明：因為φ(φ(n-S(SL(n))))=4，所以

φ(n-S(SL(n)))=5，8，10，12。下面分4種情況加以討論：

情形一：若φ(n-S(SL(n)))=5，由引理2可知式(2)無解。

情形二：若φ(n-S(SL(n)))=8，則

n-S(SL(n))=15，16，20，24，30。

當(dāng)n-S(SL(n))=15時，由引理4，此時16≤n≤30，將其逐一代入驗證，只有n=20,25滿足

n-S(SL(n))=15，即n=20,25為式(2)的解。

當(dāng)n-S(SL(n))=16時，由引理4，此時17≤n≤32，將其逐一代入驗證，此時式(2)無解。

當(dāng)n-S(SL(n))=20時，由引理4，此時21≤n≤40，將其逐一代入驗證，只有n=24滿足

n-S(SL(n))=20，即n=24為式(2)的解。

當(dāng)n-S(SL(n))=24時，由引理4，此時25≤n≤48，將其逐一代入驗證，只有n=32滿足

n-S(SL(n))=24，即n=32為式(2)的解。

當(dāng)n-S(SL(n))=30時，由引理4，此時31≤n≤60，將其逐一代入驗證，只有n=36滿足

n-S(SL(n))=30，即n=36為式(2)的解。

情形三：若φ(n-S(SL(n)))=10，則

n-S(SL(n))=11，22。

當(dāng)n-S(SL(n))=11時，由引理4，此時12≤n≤22，將其逐一代入驗證，只有n=22滿足

n-S(SL(n))=11，即n=22為式(2)的解。

當(dāng)n-S(SL(n))=22時，由引理4，此時23≤n≤44，將其逐一代入驗證，只有n=33滿足

n-S(SL(n))=22，即n=33為式(2)的解。

情形四：若φ(n-S(SL(n)))=12，則

n-S(SL(n))=13，21，26，28，36，42。

當(dāng)n-S(SL(n))=13時，由引理4，此時14≤n≤26，將其逐一代入驗證，只有n=26滿足

n-S(SL(n))=13，即n=26為式(2)的解。

當(dāng)n-S(SL(n))=21時，由引理4，此時22≤n≤42，將其逐一代入驗證，只有n=28滿足

n-S(SL(n))=21，即n=28為式(2)的解。

當(dāng)n-S(SL(n))=26時，由引理4，此時27≤n≤52，將其逐一代入驗證，只有n=39滿足

n-S(SL(n))=26，即n=39為式(2)的解。

當(dāng)n-S(SL(n))=28時，由引理4，此時29≤n≤56，將其逐一代入驗證，只有n=35滿足

n-S(SL(n))=28，即n=35為式(2)的解。

當(dāng)n-S(SL(n))=36時，由引理4，此時37≤n≤72，將其逐一代入驗證，只有n=40滿足

n-S(SL(n))=36，即n=40為式(2)的解。

當(dāng)n-S(SL(n))=42時，由引理4，此時43≤n≤84，將其逐一代入驗證，只有n=48滿足

n-S(SL(n))=42，即n=48為式(2)的解。