王斌倉，石廣田，和振興，陳罄超，周華龍，趙 峰

（1.蘭州交通大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，甘肅蘭州 730070；2.中鐵二院工程集團(tuán)有限責(zé)任公司地鐵設(shè)計(jì)研究院，四川成都 610031）

軌下彈性墊板是軌道系統(tǒng)重要的組成部分，它是用于鋼軌和軌枕、軌道板或道床之間的彈性緩沖元件。其主要作用是給軌道交通系統(tǒng)提供彈性，降低軌道的剛度，緩沖車輛通過時(shí)產(chǎn)生的高速?zèng)_擊振動(dòng)，保護(hù)下部結(jié)構(gòu)［1］。特別是對(duì)于無砟軌道，彈性墊板是其主要的彈性元件，為軌道支承車輛運(yùn)行提供必要的彈性［2］。

目前彈性墊板的主要結(jié)構(gòu)形式有溝槽式和棱臺(tái)式。橡膠材料的彈性墊板一般為溝槽式結(jié)構(gòu)，熱塑性聚酯彈性體（Thermoplastic Polyeher Ester Elastomer，TPEE）材料的彈性墊板一般為棱臺(tái)式結(jié)構(gòu)。文獻(xiàn)［3］開展了橡膠彈性墊板力學(xué)性能的溫變?cè)囼?yàn)，認(rèn)為其靜剛度和動(dòng)剛度均具有低溫敏感性。文獻(xiàn)［4］研究了測試頻率和加載力值對(duì)橡膠墊板動(dòng)剛度和動(dòng)靜比的影響，認(rèn)為隨著測試頻率和加載力值的增加，動(dòng)剛度和動(dòng)靜比均增大。文獻(xiàn)［5］通過橡膠老化和疲勞試驗(yàn)，分析了材料老化對(duì)橡膠墊板剛度的影響。文獻(xiàn)［6］通過對(duì)簡化模型的理論分析，以及采用實(shí)驗(yàn)室測試和數(shù)值模擬相結(jié)合的方法，研究了雙彈性墊板剛度對(duì)扣件減振性能的影響。文獻(xiàn)［7］建立了車輛-軌道耦合動(dòng)力學(xué)模型，分析了軌下彈性墊板阻尼對(duì)車輛-軌道系統(tǒng)的影響，認(rèn)為高阻尼彈性墊板有利于減小輪軌相互作用和軌道結(jié)構(gòu)振動(dòng)。

對(duì)彈性墊板的既有研究主要集中在其剛度特性方面，而對(duì)于阻尼，多在大系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)中把彈性墊板的阻尼特性以阻尼系數(shù)的形式加以考慮，對(duì)彈性墊板自身阻尼特性的研究相對(duì)欠缺。目前在軌道系統(tǒng)設(shè)計(jì)文件中僅對(duì)彈性墊板的剛度參數(shù)提出了要求，對(duì)阻尼參數(shù)一般未作要求。事實(shí)上阻尼是橡膠彈性墊板的另一個(gè)重要參數(shù)，它對(duì)車輛和軌道之間的相互動(dòng)力作用有著重要的影響［7］，所以研究橡膠彈性墊板的阻尼特性十分必要。

文獻(xiàn)［8］提出了一種高阻尼位移量可調(diào)彈性墊板，它以六邊形網(wǎng)孔式彈性墊板結(jié)構(gòu)為本體，將高阻尼橡膠材料填充至墊板的六邊形網(wǎng)孔中。本文主要研究網(wǎng)孔式橡膠彈性墊板的剛度和阻尼特性以及高阻尼材料的填充對(duì)網(wǎng)孔式橡膠彈性墊板性能的影響，并與地鐵常用的彈性分開式扣件的溝槽式軌下橡膠彈性墊板進(jìn)行對(duì)比。

1 阻尼比的計(jì)算方法

阻尼比是阻尼系數(shù)與臨界阻尼的比值，它是結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中表征結(jié)構(gòu)阻尼大小的指標(biāo)，其物理意義是衰減自由振動(dòng)的能力［9］。計(jì)算阻尼比的理論方法主要有對(duì)數(shù)衰減法、共振放大法和半功率點(diǎn)法。本文采用對(duì)數(shù)衰減法計(jì)算彈性墊板的阻尼比。

在研究阻尼時(shí)，可以將機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)簡單描述為質(zhì)量塊、彈簧和阻尼3個(gè)元件組成的系統(tǒng)［10］，如圖1所示。其中質(zhì)量塊可看作質(zhì)點(diǎn)，其質(zhì)量為m；彈簧的質(zhì)量可忽略不計(jì)，其彈性系數(shù)為k；c為阻尼系數(shù)；O為平衡位置。質(zhì)點(diǎn)因?yàn)槭艹跏技?lì)偏離平衡位置時(shí)，產(chǎn)生彈簧恢復(fù)力F=-kx和黏性阻尼力Fc=-˙，由此可得質(zhì)點(diǎn)的阻尼振動(dòng)方程為

式中，x為質(zhì)點(diǎn)受初始激勵(lì)偏離平衡位置的位移。

對(duì)式（1）兩邊同時(shí)除以質(zhì)量m，得

其中

式中：ω0為無阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率；ε為比例系數(shù)；ζ為阻尼比，也稱阻尼常數(shù)，是評(píng)價(jià)結(jié)構(gòu)阻尼特性的重要參數(shù)。

現(xiàn)實(shí)生活中絕大部分機(jī)械振動(dòng)的阻尼比小于1，稱為欠阻尼振動(dòng)，其振動(dòng)方程的解為

式中：φ為初始相位；A為初始振幅；X（t）為任意時(shí)刻t的振幅。

式（6）所代表的機(jī)械振動(dòng)波形如圖2所示。

圖2 欠阻尼自由衰減振動(dòng)波形

阻尼振動(dòng)的本質(zhì)是物體在振動(dòng)中將自身所具有的機(jī)械能通過阻尼轉(zhuǎn)換為其他能量，機(jī)械能逐漸被耗散。對(duì)數(shù)衰減法計(jì)算阻尼比的基本原理是根據(jù)自由振動(dòng)衰減速度來判斷阻尼比的大小。根據(jù)這一原理，參考圖2，定義2個(gè)周期間隔為n的波峰幅值A(chǔ)k與Ak+n之比的自然對(duì)數(shù)值的1/2為對(duì)數(shù)衰減率δ，其表達(dá)式為

用對(duì)數(shù)衰減法進(jìn)行阻尼比計(jì)算時(shí)，不同的n取值會(huì)對(duì)計(jì)算結(jié)果造成一定的影響，當(dāng)n的取值使得波峰幅值A(chǔ)k+n小于Ak的50%時(shí)［9］，阻尼比的計(jì)算結(jié)果較為準(zhǔn)確。經(jīng)過試算發(fā)現(xiàn)當(dāng)n=3時(shí)所研究軌下彈性墊板均滿足Ak+3與Ak之比小于50%的條件，故本文n取值為3。

由式（6）、式（7）可推導(dǎo)出阻尼比的計(jì)算公式為

2 力學(xué)模型的建立

2.1 材料屬性

本文所研究的彈性墊板和填充物均采用橡膠材料。橡膠為超彈性材料，材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系呈強(qiáng)非線性。Mooney-Rivlin模型是在有限元分析中最常用的超彈性材料模型，而且在中小應(yīng)變情況下，Mooney-Rivlin模型能夠較好地反映不可壓縮天然橡膠材料的應(yīng)力-應(yīng)變特性，故本次計(jì)算中橡膠的本構(gòu)模型采用Mooney-Rivlin模型。

為確定橡膠材料的物理特性，通過單軸拉伸、雙軸拉伸和平面剪切3組試驗(yàn)測試出3種不同彈性墊板的試驗(yàn)數(shù)據(jù)［11］，然后通過有限元仿真軟件ABAQUS對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，得到Mooney-Rivlin模型的彈性系數(shù)。橡膠材料是幾乎不可壓縮的，本次計(jì)算中將橡膠看作各向同性近似不可壓縮材料，故泊松比取0.499。

2.2 有限元建模

綜合考慮有限元計(jì)算效率、模型結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性以及分析結(jié)果的準(zhǔn)確度，建立網(wǎng)孔式彈性墊板、溝槽式彈性墊板以及單網(wǎng)孔有限元模型，網(wǎng)格劃分類型選擇C3D8RH。為了確保分析的準(zhǔn)確性，網(wǎng)孔式彈性墊板的整體尺寸設(shè)計(jì)與溝槽式彈性墊板保持一致，2組彈性墊板的尺寸如圖3所示。

圖3 2組彈性墊板的尺寸（單位：mm）

2.3 邊界條件

在實(shí)際軌道系統(tǒng)中，軌下彈性墊板是支承在軌枕、軌道板或道床之上的。為了簡化計(jì)算，假設(shè)軌枕、軌道板或道床是剛體，不會(huì)發(fā)生變形，同時(shí)也不考慮墊板與軌枕、軌道板或道床之間的接觸摩擦，并且固定模型底面各節(jié)點(diǎn)的所有自由度以及模型側(cè)面各節(jié)點(diǎn)的橫向和縱向自由度。

3 網(wǎng)孔式彈性墊板剛度和阻尼特性

選取傳統(tǒng)的溝槽式橡膠彈性墊板作為參照對(duì)象，對(duì)網(wǎng)孔式橡膠彈性墊板的剛度和阻尼特性進(jìn)行分析。

3.1 加載方式

有限元計(jì)算中以均布荷載形式進(jìn)行加載。首先依據(jù)GB/T 21527—2008《軌道交通扣件系統(tǒng)彈性墊板》［12］中彈性墊板靜剛度的計(jì)算方法（施加100 kN 垂向荷載，上限力與下限力分別取80，20 kN），采用ABAQUS 軟件模擬垂向受壓試驗(yàn)，計(jì)算過程中對(duì)模型上表面垂向勻速施加100 kN 荷載，加載時(shí)長為10 s。其次為計(jì)算彈性墊板的阻尼比，采用ABAQUS 軟件模擬落錘試驗(yàn)，計(jì)算過程中對(duì)模型的上表面垂向施加100 kN瞬時(shí)荷載。

3.2 剛度特性

橡膠彈性墊板靜剛度K的計(jì)算式為

式中：F1為加載下限力；F2為加載上限力；S1為加載至下限力時(shí)的位移；S2為加載至上限力時(shí)的位移。

通過有限元軟件模擬垂向受壓試驗(yàn)，得到網(wǎng)孔式和溝槽式彈性墊板的荷載-位移響應(yīng)曲線，見圖4。

圖4 2組彈性墊板的荷載-位移響應(yīng)曲線

由圖4可知，荷載加載至20 kN 時(shí)，網(wǎng)孔式彈性墊板上表面垂向位移為0.669 mm，溝槽式彈性墊板上表面垂向位移為0.475 mm；荷載加載至80 kN 時(shí)，網(wǎng)孔式彈性墊板上表面垂向位移為2.048 mm，溝槽式彈性墊板上表面垂向位移為1.451 mm。根據(jù)式（9）計(jì)算得到網(wǎng)孔式彈性墊板的靜剛度為43.510 kN/mm，溝槽式彈性墊板的靜剛度為61.475 kN/mm。

2組墊板的內(nèi)部應(yīng)力分布情況見圖5。可知，溝槽式彈性墊板的內(nèi)部應(yīng)力較大，其最大Mises 應(yīng)力值為1.725 MPa，且應(yīng)力主要集中在溝槽之中，不受力區(qū)域較多，墊板的受力不均問題突出；網(wǎng)孔式彈性墊板的內(nèi)部應(yīng)力較小，其最大Mises 應(yīng)力值為1.291 MPa，應(yīng)力分布在每一個(gè)網(wǎng)孔中，使得墊板的應(yīng)力分布較均勻，有利于延長橡膠彈性墊板的使用壽命。

圖5 2組彈性墊板的Mises應(yīng)力云圖（單位：Pa）

3.3 阻尼特性

通過有限元軟件模擬落錘試驗(yàn)，得到2 組彈性墊板的自由衰減振動(dòng)時(shí)間-幅值響應(yīng)數(shù)據(jù)。本次計(jì)算提取2組模型前0.05 s的時(shí)間-幅值響應(yīng)數(shù)據(jù)，繪制自由衰減振動(dòng)波形，見圖6。

圖6 2組彈性墊板的自由衰減振動(dòng)波形

為了保證計(jì)算的準(zhǔn)確性，待彈性墊板的自由衰減振動(dòng)波形趨于穩(wěn)定后再選擇其波峰幅值作為計(jì)算數(shù)據(jù)。本次計(jì)算選擇第2個(gè)波峰作為起始波峰。

分別測量網(wǎng)孔式彈性墊板和溝槽式彈性墊板自由衰減振動(dòng)波形的第2 個(gè)波峰幅值和第5 個(gè)波峰幅值，再根據(jù)式（7）與式（8）計(jì)算其阻尼比，具體計(jì)算結(jié)果見表1。

由3.2 節(jié)計(jì)算結(jié)果可知，網(wǎng)孔式彈性墊板的剛度較小，故在表1中其自由衰減振動(dòng)時(shí)振幅較大；又由表1可知，網(wǎng)孔式彈性墊板的阻尼比較溝槽式彈性墊板高出5.1%，即相較于溝槽式彈性墊板，網(wǎng)孔式彈性墊板的阻尼比略大，衰減自由振動(dòng)的能力略強(qiáng)。

表1 2組彈性墊板阻尼特性參數(shù)對(duì)比

4 高阻尼材料填充對(duì)彈性墊板性能的影響

4.1 提高墊板阻尼的措施

為了提高墊板阻尼并實(shí)現(xiàn)受壓時(shí)墊板位移量可調(diào)，以網(wǎng)孔式彈性墊板結(jié)構(gòu)為本體，設(shè)計(jì)高阻尼橡膠材料填充物并分別填充至墊板的每一個(gè)六邊形網(wǎng)孔之中，得到高阻尼位移量可調(diào)彈性墊板，如圖7所示。

圖7 高阻尼材料填充示意

填充在網(wǎng)孔之中的高阻尼材料填充物上下表面與墊板上下表面的間距為d，如圖8所示。通過改變d值可調(diào)整填充飽和度。當(dāng)彈性墊板被壓縮到d值為0時(shí)，墊板的受力面積增大，此時(shí)靜剛度會(huì)急劇增大，出現(xiàn)二級(jí)靜剛度。

圖8 填充了高阻尼材料的網(wǎng)孔結(jié)構(gòu)剖面示意

4.2 剛度等效

根據(jù)網(wǎng)孔式彈性墊板的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)可知，墊板上網(wǎng)孔間中線處的垂向剖面為受力對(duì)稱面。受力對(duì)稱面在加載垂向荷載后沒有橫向和縱向形變量，只有垂向形變量，故沿著受力對(duì)稱面切割的單網(wǎng)孔模型的力學(xué)性能可等效于彈性墊板整板。由于所建立的單網(wǎng)孔有限元模型上表面面積為彈性墊板整板面積的0.77%，故根據(jù)受力面積比例換算可得對(duì)模型施加0.77 kN 的垂向荷載可等效于對(duì)對(duì)應(yīng)彈性墊板施加100 kN 的垂向荷載。通過換算可知單網(wǎng)孔模型的靜剛度與彈性墊板整板的靜剛度的轉(zhuǎn)換系數(shù)為129.87，故可按照下式將所得到的單網(wǎng)孔模型靜剛度Kd轉(zhuǎn)換為對(duì)應(yīng)彈性墊板整板靜剛度Kz。

為了研究高阻尼材料填充對(duì)網(wǎng)孔式橡膠彈性墊板性能的影響，建立無填充物單網(wǎng)孔模型與3種不同d值的有填充物單網(wǎng)孔模型進(jìn)行對(duì)比分析。

4.3 對(duì)剛度的影響

根據(jù)比例換算，單網(wǎng)孔模型的上限力取為0.616 kN，下限力取為0.154 kN，無填充物單網(wǎng)孔模型的靜剛度按照式（9）計(jì)算。

在計(jì)算3 組有填充物單網(wǎng)孔模型的靜剛度時(shí)，由于在網(wǎng)孔中填入了高阻尼材料，當(dāng)荷載施加到一定程度時(shí)會(huì)出現(xiàn)二級(jí)靜剛度。將模型被壓縮到d值為0 時(shí)的荷載值設(shè)為臨界荷載，然后按照下列公式分別計(jì)算模型的一級(jí)靜剛度K1和二級(jí)靜剛度K2。

式中：F0為臨界荷載；S0為加載至臨界荷載時(shí)的位移。

通過有限元計(jì)算得到無填充物單網(wǎng)孔模型與3種不同d值的有填充物單網(wǎng)孔模型的荷載-位移響應(yīng)曲線，見圖9，其中P1，P2，P3分別對(duì)應(yīng)d值為 0.7，1.0，1.3 mm的有填充物單網(wǎng)孔模型的臨界荷載點(diǎn)。

圖9 不同填充飽和度對(duì)應(yīng)的荷載-位移響應(yīng)曲線

按照式（9）計(jì)算得到無填充物單網(wǎng)孔模型靜剛度為0.346 kN/mm，按照式（10）計(jì)算得到無填充物單網(wǎng)孔模型對(duì)應(yīng)的彈性墊板整板靜剛度為44.935 kN/mm。而無填充物單網(wǎng)孔模型所對(duì)應(yīng)的彈性墊板整板為網(wǎng)孔式彈性墊板，根據(jù)3.2 節(jié)計(jì)算已知其靜剛度為43.510 kN/mm，與本節(jié)依照轉(zhuǎn)換系數(shù)等效得到的彈性墊板整板靜剛度的誤差為3.2%，誤差很小，故證明此等效方式可行。

對(duì)于3 組有填充物單網(wǎng)孔模型，通過圖9荷載-位移響應(yīng)曲線可得模型的臨界荷載F0、加載至臨界荷載時(shí)的垂向位移S0、加載至上限力時(shí)的垂向位移S2、加載至下限力時(shí)的垂向位移S1及加載至0.77 kN 時(shí)的位移S3，按照式（11）、式（12）分別計(jì)算模型一級(jí)靜剛度K1和二級(jí)靜剛度K2，再按式（10）等效計(jì)算對(duì)應(yīng)彈性墊板整板一級(jí)靜剛度Kz1和二級(jí)靜剛度Kz2，計(jì)算結(jié)果見表2。

表2 不同填充飽和度d對(duì)應(yīng)的剛度特性對(duì)比

由表2可知：3組有填充物單網(wǎng)孔模型的一級(jí)靜剛度略大于無填充物單網(wǎng)孔模型的靜剛度，即在d值未被壓縮至0 時(shí)，在彈性墊板網(wǎng)孔中填入填充物對(duì)其剛度特性影響不大，保留了網(wǎng)孔式彈性墊板的彈性優(yōu)勢；3 組有填充物單網(wǎng)孔模型的二級(jí)靜剛度較一級(jí)靜剛度均有大幅度提升，即當(dāng)d值被壓縮至0 以后，彈性墊板的靜剛度會(huì)迅速提高，墊板位移量控制在許可范圍內(nèi)；模型的臨界荷載隨著d值的增大而增大，二級(jí)靜剛度隨著d值的增大而減小，故可通過調(diào)整d值控制墊板位移量。

上述4組模型的內(nèi)部應(yīng)力分布情況見圖10?？芍猟值為0.7，1.0，1.3 mm的3組有填充物單網(wǎng)孔模型的最大Mises 應(yīng)力與無填充物單網(wǎng)孔模型相比分別降低了15.7%，25.7%，17.4%。經(jīng)檢驗(yàn)單網(wǎng)孔模型的最大Mises 應(yīng)力減小幅度與d值大小之間并無明顯規(guī)律。在網(wǎng)孔中填充高阻尼材料可使墊板的應(yīng)力強(qiáng)度得到不同程度的減小，有助于提高墊板的使用壽命。

圖10 不同填充飽和度對(duì)應(yīng)的Mises應(yīng)力云圖（單位：Pa）

4.4 對(duì)阻尼的影響

無填充物單網(wǎng)孔模型與3 組不同d值有填充物單網(wǎng)孔模型前0.015 s的自由衰減振動(dòng)波形見圖11。

圖11 不同填充飽和度對(duì)應(yīng)的自由衰減振動(dòng)波形

分別測量4 組模型自由衰減振動(dòng)波形的第2 個(gè)波峰幅值與第5 個(gè)波峰幅值，再利用式（7）與式（8）計(jì)算其阻尼比，計(jì)算結(jié)果見表3。

表3 不同填充飽和度對(duì)應(yīng)的阻尼特性對(duì)比

表3表明：無填充物單網(wǎng)孔模型的阻尼比為0.063，而根據(jù)3.3節(jié)計(jì)算得到的網(wǎng)孔式彈性墊板的阻尼比為0.062，誤差很小，僅為1.6%，故證明在分析網(wǎng)孔式墊板阻尼比時(shí)將墊板整板簡化為單網(wǎng)孔模型的方法可行；d值為0.7，1.0，1.3 mm 的有填充物單網(wǎng)孔模型的阻尼比較無填充物單網(wǎng)孔模型分別提升80.9%，74.6%，68.3%，即在網(wǎng)孔結(jié)構(gòu)中填充高阻尼材料可大幅增大彈性墊板的阻尼比；有填充物單網(wǎng)孔模型的阻尼比隨著d值的增大而減小，但減小幅度小，說明填充物的飽和度對(duì)墊板的阻尼特性影響不大。

5 結(jié)論

1）網(wǎng)孔式彈性墊板的靜剛度僅為溝槽式彈性墊板的70.8%，更適用于剛度要求低、彈性要求高的軌道系統(tǒng)，且內(nèi)部應(yīng)力較小，應(yīng)力分布更均勻，有利于延長彈性墊板的壽命。

2）網(wǎng)孔式彈性墊板的阻尼比較溝槽式彈性墊板高出5.1%，衰減自由振動(dòng)的能力有所增強(qiáng)。

3）填充了高阻尼材料的網(wǎng)孔式彈性墊板會(huì)產(chǎn)生二級(jí)靜剛度，墊板垂向位移量得到有效控制，且填充物與墊板本體的間距大小和墊板二級(jí)靜剛度呈反比。高阻尼材料的填充不僅可保留網(wǎng)孔式彈性墊板的彈性性能，而且還可通過調(diào)整填充于網(wǎng)孔之中填充物的飽和度控制墊板垂向位移量，以適應(yīng)多種剛度要求的軌道系統(tǒng)，拓展了網(wǎng)孔式彈性墊板的適用范圍。

4）填充高阻尼材料有效降低了網(wǎng)孔式彈性墊板的應(yīng)力強(qiáng)度，改善了墊板內(nèi)部的應(yīng)力分布，有利于延長彈性墊板的壽命。

5）填充高阻尼材料顯著提升了網(wǎng)孔式彈性墊板的阻尼比，改變填充物的飽和度對(duì)彈性墊板的阻尼特性影響不大，均具有高阻尼特性。

在網(wǎng)孔式彈性墊板中填充高阻尼材料可以衍生出一種高阻尼位移量可調(diào)彈性墊板，在軌道交通扣件系統(tǒng)中具有廣闊的應(yīng)用前景。