高等數(shù)學(xué)解題中微分中值定理的應(yīng)用分析

姜銳武 唐靜

【摘要】微分中值定理具體包含三個(gè)定理，分別是羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理.三個(gè)定理其地位不同，其中拉格朗日中值定理是核心，羅爾中值定理是其特殊情況，柯西中值定理是其推廣，這三個(gè)定理共同組成了微分學(xué)的理論基礎(chǔ).微分中值定理在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)研究中具有重要作用，是最常用的數(shù)學(xué)工具之一，很多微分學(xué)應(yīng)用都建立在微分中值定理上，隨著研究深入，其應(yīng)用更加廣泛.本文主要介紹了微分中值定理在解題過(guò)程中的應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué);解題;中值定理

微分中值定理具有重要地位，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中是最常用的工具之一，其具體內(nèi)容包括羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理等一系列基本定理，在微分學(xué)中占有很重要的地位.很多微分學(xué)重要應(yīng)用都建立在微分中值定理上，隨著研究深入，微分中值定理的應(yīng)用也越來(lái)越廣泛.中值定理揭示了函數(shù)在某區(qū)間的整體性質(zhì)和區(qū)間內(nèi)某一點(diǎn)導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，是聯(lián)系局部和整體的紐帶，是微分學(xué)應(yīng)用以及自身發(fā)展的理論基礎(chǔ)，因此，中值定理是微分學(xué)的基本定理，它在數(shù)學(xué)中占有很重要的位置，本文主要介紹微分中值定理在解題中的一些應(yīng)用.

微分中值定理是微分學(xué)的理論基礎(chǔ)，微分學(xué)的很多重要應(yīng)用都建立在這個(gè)基礎(chǔ)上.微分中值定理常用來(lái)解決下列問(wèn)題：判斷可導(dǎo)函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)根的存在以及根的個(gè)數(shù)，求出與給定函數(shù)相應(yīng)的中值公式，并證明可導(dǎo)函數(shù)的某些等式與不等式，證明可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上（內(nèi)）的某些整體性質(zhì)，如單調(diào)性、有界性、一致連續(xù)性、零點(diǎn)以及其他一些性質(zhì).

一、微分中值定理在求極限中的應(yīng)用

在求極限的題目里，有些題目如果運(yùn)用一些通常的方法來(lái)求解，則會(huì)使我們?cè)诮忸}過(guò)程中出現(xiàn)很大的計(jì)算量，或者比較煩瑣的解題過(guò)程[1][2]，但是應(yīng)用中值定理的話，會(huì)為這一類題目提供一種簡(jiǎn)單有效的方法.而用中值定理來(lái)解題，最關(guān)鍵在于輔助函數(shù)的構(gòu)造，然后再運(yùn)用中值定理解題，即可求出極限.

如，求 limn→∞n2（a1n-a1n+1），其中a>0.

分析由于題目中有a1n和a1n+1，則可以試著構(gòu)造輔助函數(shù)f（x）=ax，那么就可以得到f（x）在1n+1，1n上連續(xù)，在1n+1，1n可導(dǎo)，即可以利用Lagrange定理解題了.

解根據(jù)題意，由Lagrange定理，有

limn→∞n2（a1n-a1n+1）

=limn→∞n2（an′）|x=ξ×1n-1n+1

=limn→∞n2aξlnan（n+1）

=lna，

其中，ξ∈1n+1，1n.

二、微分中值定理在證明函數(shù)的連續(xù)性中的應(yīng)用

若函數(shù)f在區(qū)間I上可導(dǎo)，且f′有界，則f在I上一致連續(xù).

證明對(duì)任意x1，x2∈I，則由拉格朗日中值定理可知：

f（x1）-f（x2）=f′（ξ）·（x1-x2），x1<ξ

又f′在I上有界，所以存在L>0，對(duì)任意x∈I，有|f′（x）|≤L.

由此可得|f（x1）-f（x2）|<ε.

因此，對(duì)任意ε>0，取δ=εL>0，對(duì)任意x1，x2∈I，且|x1-x2|<δ，都有

|f（x1）-f（x2）|≤L|x1-x2|

這就證明了f在I是上一致連續(xù).

三、利用微分中值定理解決含高階導(dǎo)數(shù)的中值問(wèn)題

一般原理是：若有x0

如設(shè)f（1）=0，則存在ξ∈（0，π），使得

f″（ξ）+2f′（ξ）cotξ=f（ξ）.

證首先變換待證中值公式為

F″（ξ）=d2dξ2[f（ξ）sinξ]

=f″（ξ）sinξ+2f′（ξ）-f（ξ）sinξ=0，

其中F（x）=f（x）sinx.

顯然F（0）=F（1）=F（π），故用兩次羅爾中值定理得所要證.

三、小結(jié)

本文分析了在具體解題過(guò)程中應(yīng)用微分中值定理的方法和具體步驟，為相關(guān)人員提供一定借鑒意義.微分中值定理在后續(xù)研究應(yīng)用中其作用將進(jìn)一步得到發(fā)揮，這是需要研究人員積極探索的方面.

【參考文獻(xiàn)】

[1]陳平，萬(wàn)祥蘭.微分中值定理及其應(yīng)用舉例[J].考試周刊，2016（A5）：66.

[2]魏建剛.微分中值定理及其應(yīng)用[J].考試周刊，2017（56）：2.

[3]賀艷靜.微分中值定理中輔助函數(shù)的構(gòu)造法與應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究：教研版，2018（3）：5-6.