宋春梅

摘?要：挖掘?qū)W生的有效經(jīng)驗，落實知識的探究過程，是有效教學(xué)的關(guān)鍵。抓住誘導(dǎo)公式與兩角差的余弦公式的特殊與一般的關(guān)系，并精心設(shè)計思考問題，鼓勵學(xué)生積極探索，提煉規(guī)律、探究公式來源及推導(dǎo)方法，體驗公式的推導(dǎo)證明過程。

關(guān)鍵詞：兩角差的余弦公式;數(shù)學(xué)有效經(jīng)驗;高中數(shù)學(xué)

一、 學(xué)習(xí)內(nèi)容分析

《兩角差的余弦公式》是普通高中數(shù)學(xué)課程標準實驗教科書（人教A版）必修④第三章第一節(jié)的內(nèi)容。兩角差的余弦公式是三角恒等變換的開篇公式，具有承上啟下的作用。既是任意角三角函數(shù)的概念、誘導(dǎo)公式和向量等知識的延伸，又是后繼推導(dǎo)兩角和的余弦公式、兩角差、和的正弦、正切公式、二倍角等公式的知識基礎(chǔ)。對于三角變換、三角恒等式的證明和三角函數(shù)式的化簡、求值等問題的解決有重要的支撐作用。

兩角差的余弦公式的推導(dǎo)是本節(jié)課的重點，也是難點，教材是這樣設(shè)計的：首先明確提出了探索課題：如何用任意角α、β的正弦來表示cos（α-β）呢？憑直覺得出cos（α-β）=cosα-cosβ是學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)的錯誤，通過討論可以知道它不是對任意角α、β都成立的，從而進一步明確“恒等”的意義，統(tǒng)一對探索目標的認識。聯(lián)系已經(jīng)學(xué)過的三角函數(shù)知識探索有關(guān)三角函數(shù)的問題是很自然的，但是學(xué)生對于獨立地運用單位圓上的三角函數(shù)線進行探索存在一定困難，教科書采用“夾敘夾議”的方式，把探索的過程寫進教材，意圖是先引導(dǎo)學(xué)生在感受教科書探索的過程中，對公式結(jié)構(gòu)特征進行直觀感知，進而引起學(xué)生尋求適當方法推出公式的欲望，但是這個過程比較困難、復(fù)雜。從課堂教學(xué)過程和反饋來看，大部分學(xué)生在“直觀感知”這一塊就已經(jīng)失去了興趣，后來運用公式只是死記硬背，對公式的理解不到位，以至于對于差角公式、倍角公式等公式也不能靈活應(yīng)用。雖然上面的做法是從學(xué)生已有的經(jīng)驗出發(fā)，但是學(xué)生對于“運用單位圓上的三角函數(shù)線”這個經(jīng)驗不能靈活應(yīng)用，因此教師在上課前要挖掘?qū)W生的已有經(jīng)驗和基礎(chǔ)，更要剖析出對本節(jié)課學(xué)習(xí)有用的有效經(jīng)驗和基礎(chǔ)，根據(jù)學(xué)生的思維特征和認知規(guī)律出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生親歷數(shù)學(xué)活動，探究數(shù)學(xué)知識。

本文對于“兩角差的余弦公式”這節(jié)課，從學(xué)生原有的認知水平和所需的知識特點入手，由誘導(dǎo)公式cos（π-β）與cos（π2-β）出發(fā)，從中找出共同點及其蘊含的規(guī)律，再采用兩組向量的數(shù)量積相等的方法證明兩角差的余弦公式，讓學(xué)生經(jīng)歷猜想、證明兩角差的余弦公式的過程，體會特殊與一般的數(shù)學(xué)思想方法及向量的工具性作用。

二、 教學(xué)設(shè)計

（一） 創(chuàng)設(shè)問題情境，引出探究內(nèi)容

某城市的電視發(fā)射塔建在市郊的一座小山上，如圖所示，在地面上有一點A，測得A、C兩點間的距離約為40米，從A測得塔頂D的仰角為45°，從A處測得電視發(fā)射塔的視角∠CAD為30°，求AB的長。

【設(shè)計意圖】：將求AB的長的問題轉(zhuǎn)化為求????，根據(jù)剛才的分析????????，這樣做的好處是將非特殊角的余弦值轉(zhuǎn)化為兩個特殊角的差的余弦，更一般地，對于任意角α、β，它們的余弦值cos（α-β）如何表示？與α、β的三角函數(shù)值是否有關(guān)？引出本節(jié)課要探究的內(nèi)容——兩角差的余弦公式。

（二） 挖掘已有經(jīng)驗，找到公式的切入點

問題1：請同學(xué)們回顧一下前面所學(xué)知識，什么知識從形式上與cos（α-β）相像？

【設(shè)計意圖】：誘導(dǎo)公式cos（π-β）和cos（π2-β）是兩角差的余弦公式的特例，也是學(xué)生已有的知識經(jīng)驗，從形式上找到了切入點，給學(xué)生提出了一條探究的路線，使學(xué)生從中體會特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，積累數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)用的經(jīng)驗。

合作探究1：在單位圓中探究cos（π-β）。

問題2：下圖是我們當時研究誘導(dǎo)公式所用的圖形，請同學(xué)們回顧我們證明誘導(dǎo)公式的關(guān)鍵是什么？

【設(shè)計意圖】：引導(dǎo)學(xué)生回顧證明誘導(dǎo)公式的關(guān)鍵是利用單位圓的對稱性得到π-β終邊與β的終邊關(guān)于y軸對稱。

接下來圍繞以下幾點展開討論：

問題3：請同學(xué)們觀察上圖中有哪些相等關(guān)系？

問題4：由上述相等關(guān)系，你還能得到哪些相等關(guān)系？

問題5：我們用模與夾角推導(dǎo)出OP1·OP1=OP4·OP3，向量的數(shù)量積還有其他形式嗎？

問題6：求出P1點坐標，你能用任意角三角函數(shù)值表示P2，P3，P4三點的坐標？

【設(shè)計意圖】：切實引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷觀察、歸納的過程，引導(dǎo)學(xué)生用坐標表示OP1·OP1=OP4·OP3，從而推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式，并獲得cos（π-β）=cosπcosβ+sinπsinβ這樣的結(jié)論。學(xué)生會覺得老師用向量的方法推導(dǎo)出了誘導(dǎo)公式是“多此一舉”，教師要說明就是這“多此一舉”，讓我們有了新的發(fā)現(xiàn)：

cos（π-β）=cosπcosβ+sinπsinβ

即：π與β的差的余弦值與π、β的正弦值、余弦值有關(guān)。

我們回過頭來梳理剛才的思路，看看有沒有新的發(fā)現(xiàn)？（幻燈片展示）

【設(shè)計意圖】：引導(dǎo)學(xué)生初步感知推導(dǎo)方法，歸納推導(dǎo)思路方法，為推導(dǎo)cos（π2-β）=cosπ2cosβ+sinπ2sinβ提供了類比的對象。

自主探究：

請同學(xué)們仿照剛才的方法來探究cos（π2-β）

【設(shè)計意圖】：學(xué)生在充分調(diào)動已有有效知識與經(jīng)驗的狀態(tài)下，類比cos（π-β）=cosπcosβ+sinπsinβ的推導(dǎo)過程，推導(dǎo)出cos（π2-β）=cosπ2cosβ+sinπ2sinβ，在自主探究狀態(tài)下經(jīng)歷、體驗公式的推導(dǎo)過程，提高主動獲取數(shù)學(xué)經(jīng)驗的能力。

（三） 觀察獲得結(jié)論，提出正確猜想

問題7：請同學(xué)們觀察剛才獲得的兩個等式，有什么共同點？

cos（π-β）=cosπcosβ+sinπsinβ

cos（π2-β）=cosπ2cosβ+sinπ2sinβ

問題8：據(jù)此，請你猜想對于任意α、β，cos（α-β）如何表示？

【設(shè)計意圖】：引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、歸納、猜想的過程，得到下面的猜想：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ。這個過程是特殊化與一般化思維經(jīng)驗積累的重要機會。

（四） 證明猜想結(jié)論，發(fā)展數(shù)學(xué)思維

合作探究2：證明猜想cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ

【設(shè)計意圖】：通過前面兩個例子，學(xué)生可以歸納出利用兩組向量的數(shù)量積相等推導(dǎo)出：cos（π-β）=cosπcosβ+sinπsinβ

cos（π2-β）=cosπ2cosβ+sinπ2sinβ

進而引導(dǎo)按照以下步驟分析：

設(shè)角α-β的終邊與單位圓的交點為B

要證明cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ

只要證明OA·OB=OC·OD

要證OA·OB=OC·OD，只要證：∠AOB=∠COD

要證∠AOB=∠COD，先要找到B，即先要確定角α-β的終邊。引導(dǎo)學(xué)生找到問題的關(guān)鍵是確定角α-β的終邊，同時總結(jié)理順了證明思路。

問題9：如何找到角α-β的終邊？

在這個過程中，通過下面兩個思考引導(dǎo)學(xué)生有序思考：

問題10：我們是通過什么方法將角的概念推廣到任意角的？

問題11：角α-β能否通過旋轉(zhuǎn)得到？

【設(shè)計意圖】：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)α-β可以通過旋轉(zhuǎn)得到，只要將角α旋轉(zhuǎn)-β得到。

幾何畫板演示：α-β的形成過程。

【設(shè)計意圖】：借助于幾何畫板直觀引領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)將α、β的終邊都旋轉(zhuǎn)-β，即將∠COD旋轉(zhuǎn)使得角β的終邊與x軸正半軸重合即可得到角α-β的終邊，并且無論怎么旋轉(zhuǎn)，∠AOB=∠COD，從而證明了猜想，推導(dǎo)出兩角差的余弦公式。

（五） 運用公式解決問題，拓展學(xué)習(xí)經(jīng)驗

例1：解決引入問題，用兩角差的余弦公式求cos15°。

變式訓(xùn)練：用兩角差的余弦公式求cos75°。

【設(shè)計意圖】：既是對公式的直接應(yīng)用，也是對引入問題的解決。

例2：已知sinα=45，α∈（π2，π），cosβ=-513，β是第三象限角，求cos（α-β）。

【設(shè)計意圖】：兩角差的余弦公式的應(yīng)用，要考慮到三角函數(shù)的象限符號，使學(xué)生知識的綜合能力應(yīng)用經(jīng)驗得意積累。

（六） 總結(jié)探究經(jīng)歷，培養(yǎng)認知經(jīng)驗

通過下列問題展開小結(jié)：

1. 本節(jié)課探究了什么內(nèi)容？我們是如何探究的？

2. 兩角差的余弦公式可以解決什么問題？

三、 教學(xué)思考

（一） 根據(jù)有效數(shù)學(xué)經(jīng)驗設(shè)計數(shù)學(xué)活動

“課程論”之父認為，經(jīng)驗是課程編制的基本素材，教育的基本手段是提供學(xué)習(xí)經(jīng)驗。而教師的職責(zé)是為每個學(xué)生提供對現(xiàn)學(xué)知識有效的經(jīng)驗。有效的數(shù)學(xué)教學(xué)需要了解學(xué)生已掌握了什么和需要學(xué)習(xí)什么，并從中篩選出對所學(xué)知識有效的經(jīng)驗，為他們提供必要的幫助和挑戰(zhàn)，引導(dǎo)學(xué)生親自或間接獎勵探究過程而獲得基本數(shù)學(xué)經(jīng)驗，學(xué)生數(shù)學(xué)經(jīng)驗的積累過程是學(xué)生主動探索的過程。教學(xué)設(shè)計從學(xué)生熟悉的誘導(dǎo)公式出發(fā)，重新觀察誘導(dǎo)公式，由特殊到一般，圍繞學(xué)生已有的認知水平與經(jīng)驗展開探究活動，積累豐富的觀察、操作、思考、應(yīng)用、探究、猜想等經(jīng)驗，為學(xué)生深入地學(xué)習(xí)提供新的經(jīng)驗基礎(chǔ)。本節(jié)課的整個教學(xué)過程不是將兩角差的余弦公式強塞給學(xué)生，而是讓學(xué)生在自己的基礎(chǔ)上探究出兩角差的余弦公式。

（二） 以生為本，開展數(shù)學(xué)探究，豐富數(shù)學(xué)經(jīng)驗

數(shù)學(xué)課的課程基本理念和學(xué)科特點決定了我們在教學(xué)活動中要善于挖掘?qū)W生的已有有效經(jīng)驗，設(shè)計自主探究和合作探究，給學(xué)生提供更多充分表達自己思想的空間，激發(fā)學(xué)生的探究意識，有利于學(xué)生養(yǎng)成善于思考的習(xí)慣，也有利于引發(fā)學(xué)生思維的碰撞?！秲山遣畹挠嘞夜健愤@節(jié)課，首先通過合作探究引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷觀察、歸納的過程，引導(dǎo)學(xué)生用坐標表示OP1·OP1=OP4·OP3，獲得cos（π-β）=cosπcosβ+sinπsinβ這樣的結(jié)論，為后面的兩個探究提供了思路，接下來通過自主探究和合作探究，盡可能地發(fā)揮學(xué)生的主動性，以實現(xiàn)探究的價值。

（三） 以課堂為主，注重教學(xué)過程，獲得數(shù)學(xué)經(jīng)驗

教師作為數(shù)學(xué)課堂的實施者、組織者、引導(dǎo)者以及學(xué)生數(shù)學(xué)探究活動材料的提供者、活動情境的設(shè)計者，數(shù)學(xué)課程活動實施的調(diào)控者及評價者，直接影響和決定了學(xué)生基本數(shù)學(xué)經(jīng)驗的獲得、積累和提升。因此教學(xué)設(shè)計要考慮‘引導(dǎo)學(xué)生提煉學(xué)習(xí)成果、總結(jié)規(guī)律，靈活運用定理、激發(fā)學(xué)生參與數(shù)學(xué)活動的興趣，親歷探究活動全過程等方面，并讓學(xué)生在層次不同、形式多樣的活動中，積極參與、主動探究，才能有效獲得豐富的數(shù)學(xué)經(jīng)驗。另外數(shù)學(xué)經(jīng)驗的獲得是一個堅持不懈的積累過程，不能指望一兩節(jié)課就能獲得，我們要堅持結(jié)合學(xué)生的有效學(xué)習(xí)經(jīng)歷及數(shù)學(xué)經(jīng)驗，聯(lián)系日常生活，合理創(chuàng)設(shè)情境，尋求思維的契合點，組織學(xué)生參與數(shù)學(xué)探究過程，注重思維建構(gòu)，進行數(shù)學(xué)經(jīng)驗積累，達到理想的數(shù)學(xué)教育效果。

參考文獻：

[1]劉曉蘇.突出內(nèi)涵揭示?關(guān)注知識建構(gòu)[J].中國數(shù)學(xué)教育.

[2]李杰平.讓課堂變得更高效[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考.