橢圓最值問題的分類探析

吳默

[摘 ?要] 橢圓是高中數(shù)學研究的重要圖形，也是圓錐曲線重要的組成內(nèi)容. 以橢圓為背景命制的最值問題是?？己透呖嫉某Ｒ婎}型，該類試題往往融合了橢圓性質(zhì)、幾何最值、函數(shù)方程等知識，對學生內(nèi)化橢圓定義，轉(zhuǎn)化最值問題有著較高的要求.文章對橢圓最值問題歸類探析，總結解題策略.

[關鍵詞] 橢圓;最值;策略;定義;不等式;函數(shù)

橢圓是學生在高中階段所接觸的最為特殊的一類圖形，涉及較多的知識點，其中橢圓的最值問題十分常見，考慮到橢圓與幾何、方程、函數(shù)等聯(lián)系緊密，因此在求解該類問題時可以基于橢圓的聯(lián)系點采取相應的解法策略.

定義出發(fā)，探究線段最值

橢圓問題一般涉及眾多的幾何參數(shù)，如線段長，角度或面積大小等，其中求解線段的最值最為常見，包含單線段最值和多線段最值兩類型，前者可以直接設定未知數(shù)來求解，而后者需要適當?shù)丶右赞D(zhuǎn)化.

例1：已知橢圓C的解析式為 + =1，點A是橢圓內(nèi)的一個定點，其坐標為（2，1），設橢圓的左焦點為點F，右焦點為點F′，點P是橢圓上的一個動點，試求PA+PF的最值.

思路剖析：根據(jù)橢圓的方程可知a=5，b=4，c=3，則橢圓的左、右焦點坐標分別為F（-3，0），F(xiàn)′（3，0），如圖1所示，根據(jù)橢圓的第一定義可知：PF+PF′=10，所以PA+PF=10+PA-PF′. 分析可知，當點P為AF′的延長線與橢圓的交點時，PA-PF′會取最大值，此時PA-PF′=AF′= ，當點P為F′A的延長線與橢圓的交點時，PA-PF′會取最小值，此時PA-PF′=-AF′=- .

綜上可知，PA+PF的最大值為10+ ，最小值為10- .

評注：上述在求解線段和的最值過程中，最關鍵的一步是采用橢圓的第一定義對問題進行轉(zhuǎn)化. 此題雖然考查學生分析橢圓背景下線段和的最值，但由于其中的動點位于橢圓上，因此可以結合橢圓的定義將其轉(zhuǎn)化為常見的“三點共線，求最值”問題. 橢圓的定義是圓錐曲線學習過程中需要學生重點關注的內(nèi)容，充分理解概念，在解題時活用往往可以取得良好的解析效果.另外，本題的解法立意源于教材的基礎內(nèi)容，因此教師在教學中應多加重視，注意引導學生透析概念本質(zhì)，助力學生形成概念解題的策略.

引入不等式，探究面積最值

以橢圓為背景構建幾何三角形，進而分析三角形的面積最值是橢圓重要的最值問題，該類問題突破的第一步是利用幾何面積模型將問題轉(zhuǎn)化為對應的代數(shù)問題，第二步則是采用適當?shù)牟呗詠矸治鋈〉米钪档那樾危渲幸氩坏汝P系是最為簡捷的一種方法.

例2：已知橢圓C的解析式為 + =1（a>b>0），橢圓的離心率為 ，其中短軸的一個端點到橢圓右焦點的距離為 .

（1）試求橢圓的方程;

（2）若直線l與橢圓C相交于點A和點B，已知原點O到直線l的距離為 ，試求△AOB面積的最大值.

思路剖析：（1）根據(jù)題意可求得a= ，b=1，故橢圓的方程為 +y2=1.

（2）求解△AOB的面積需要構建相應的面積模型，將△AOB視為是以AB為底邊，點O為頂點的三角形，則底邊上的高可表示為點O到底邊的距離d= ，即S△AOB= ×AB·d= ×AB. 而直線l的斜率未知，因此存在兩種情形，需要分類討論.

①當l的斜率不存在時，此時AB⊥x軸，則AB= ，S△AOB= .

②當l的斜率存在時，設直線的方程為y=kx+m，l與橢圓C有兩個交點，則Δ=27k2+3>0，聯(lián)立橢圓與直線l的方程，采用設而不求的思路，可將AB2表示為3+ ，求解△AOB面積的最大值，實際上就是分析AB2的最大值. 對于代數(shù)式3+ ，可以適當變形，引入均值不等式加以分析，即AB2=3+ =3+ ≤3+ =4 （其中k≠0）. 當且僅當9k2= ，即k= ± 時等號成立，此時AB=2.

綜上可知，AB的最大值為2，對應的△AOB的最大面積為 ×2× = .

評注：上述第二問求解時除了構建了幾何模型，在分析面積最值時還引入了均值不等式，這是基于不等關系對代數(shù)最值的特殊反映. 需要注意的是在引入均值不等式時需要充分考慮對應參數(shù)的定義域，確保分析結果準確. 另外，最值問題的不等關系轉(zhuǎn)化也是求解該類問題的常用方法，可以推廣到其他同類型問題中，可拓展學生的解題思路，促進學生的思維提升.

構建函數(shù)，探究距離最值

橢圓中存在一些以橢圓為背景，研究動點到定點或定直線的距離問題，該類問題是對初中距離問題的發(fā)展，其研究的方法和思路大致相同，復雜之處在于對橢圓方程的處理. 對于橢圓中的動點距離問題可以考慮構建函數(shù)方程，結合函數(shù)性質(zhì)來破解.

例3：已知橢圓C的中心位于坐標的原點，其長軸在x軸上，離心率為 .點P0， 到橢圓的最遠距離為 ，試求橢圓的方程以及橢圓上到點P距離最遠的點.

思路剖析：粗略來看本題目要求點的坐標，但考慮到該點為到定點P的最遠距離點，因此實際上還是屬于橢圓距離最值問題.

根據(jù)條件將橢圓C設為 + =1 （a>b>0），由橢圓離心率可得a=2b，則可將橢圓方程細化為 + =1 （b>0）. 設橢圓上一動點M的坐標為（x，y），則有x2=4b2-4y2，則點M到定點P的距離平方PM2=x2+y- ?=-3y+ ?+3+4b2.其中自變量y的取值范圍為[-b，b]，因此，只需要討論y在定義域上對應的PM2的最大值即可.

分析可知存在如下兩種情形：若b> ，則當y=- 時，PMmax= = ，解得b=1;若0

綜上可知，當PM取得最大值 時，y=- ，則x=± ，即到點P的最遠距離為 的點有兩個 ，- 和- ，- .

評注：雖然是求點的坐標，但從解題過程可以看出依然需要在橢圓中構建求解最值的思路，而上述采用了圓錐曲線最常用的策略——構建函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)來分析距離的最值. 對于該問題需要充分考慮橢圓中x和y的取值范圍，適當?shù)卦趨^(qū)間上分析二次函數(shù)的最值. 函數(shù)作為高中數(shù)學最為重要的知識內(nèi)容，常作為研究工具應用于解題題中，如利用函數(shù)性質(zhì)分析數(shù)列問題，利用函數(shù)的值域分析臨界問題等，因此開展知識遷移、拓展學生的知識視野是中學教學的重要任務.

結合定理，探究離心率最值

離心率是研究橢圓軌跡的重要參數(shù)，其數(shù)值的大小影響著橢圓的曲線，探究橢圓離心率的最值是其中較為特殊的一類問題. 在解題時學生很容易將其轉(zhuǎn)化為橢圓參數(shù)問題，構建函數(shù)方程來分析，但考慮到橢圓的方程較為復雜，很容易造成求解困難. 實際上可以引入幾何定理，采用整體思維來分析.

例4：假設橢圓C： + =1（a>b>0）的兩個焦點分別為F1和F2，如橢圓的曲線上存在一點P使得F1P⊥F2P，試求橢圓離心率的最小值.

思路剖析：連接PF 和PF ，設∠PF F =α，∠PF F =β，在△PF F 中使用正弦定理及其合分定理，可得：

= = = = ，所以e= = ，分析可知 ≥ ，所以橢圓離心率的最小值為 .

評注：上述分析橢圓離心率的最小值，沒有采用構建常規(guī)函數(shù)的策略，而是巧妙地利用橢圓的焦點構建三角形，引入三角形的正弦定理，從而建立了三角形的邊角關系，結合橢圓的定義獲得了對應的變量關系. 雖然同樣屬于構造函數(shù)的思路，但考慮到三角函數(shù)的性質(zhì)較為特殊，利用其有界性能更為簡捷地分析最值問題. 三角函數(shù)在高中數(shù)學解題中有著廣泛的應用，掌握三角函數(shù)的特殊性質(zhì)和轉(zhuǎn)化定理對于解題有著重要的幫助.

橢圓的最值問題類型很多，以上只是其中的幾例，以橢圓方程和對應曲線為背景命制的最值問題能夠較好地體現(xiàn)當下新課標的教學理念，即重視學生的知識拓展，關注學生的能力和素養(yǎng)提升.橢圓最值問題雖然題型多樣、變化不一，但并不神秘，只需要充分理解橢圓的定理定義，掌握橢圓的銜接知識，緊扣知識聯(lián)系點，采用合理的解題策略將其轉(zhuǎn)化為我們所熟識的問題即可，這也是該類問題的命制價值所在. 這就要求教師在平時的教學中，不僅需要使學生掌握對應模塊的知識內(nèi)容，還要更好地開展知識的拓展教學，引導學生靈活運用所學知識來分析問題，注重學科思想，培養(yǎng)應用意識.