基于一道題參考答案的教學(xué)設(shè)計(jì)

張昆

[摘 ?要] 數(shù)學(xué)解題教學(xué)設(shè)計(jì)及其課堂實(shí)施是數(shù)學(xué)教師的教學(xué)技藝的體現(xiàn). 數(shù)學(xué)教師需要分析數(shù)學(xué)問(wèn)題及其解答環(huán)節(jié)的特點(diǎn)，據(jù)此揣摩學(xué)生出現(xiàn)這些環(huán)節(jié)認(rèn)識(shí)時(shí)的心理活動(dòng)特點(diǎn)，選擇合適的教學(xué)方法.這里以一道數(shù)學(xué)高考?jí)狠S題說(shuō)明之.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)解題;教學(xué)設(shè)計(jì);數(shù)學(xué)觀念

在安徽省淮北中學(xué)（省級(jí)示范中學(xué)）聽一位有經(jīng)驗(yàn)、也較有名氣的高三數(shù)學(xué)教師的為迎接高考復(fù)習(xí)而準(zhǔn)備的數(shù)學(xué)解題教學(xué)活動(dòng)課，這位教師選擇了1998年高考全國(guó)卷理科的第25題（壓軸題）作為課堂探究活動(dòng)材料的一個(gè)部分（在這節(jié)課上，這位教師基本上是以相同的教學(xué)方式共講授了三道歷年的高考?jí)狠S題.這道題是其中的第三個(gè)例子，據(jù)筆者的比較判斷，這道題的解答難度相對(duì)于其他兩道題來(lái)說(shuō)要稍微大一些），展開了（主要是教師提供解答的）課堂解題教學(xué)活動(dòng). 筆者認(rèn)為，這種課堂教學(xué)活動(dòng)“損傷”這道題的教學(xué)價(jià)值，沒(méi)有有效地實(shí)現(xiàn)這道題的教學(xué)目標(biāo). 同時(shí)，筆者發(fā)現(xiàn)，許多數(shù)學(xué)教師在帶領(lǐng)高三學(xué)生進(jìn)行復(fù)習(xí)解題教學(xué)時(shí)，幾乎都不約而同地出現(xiàn)了這種傾向，這就需要撥亂反正，值得我們?nèi)?duì)這種現(xiàn)象進(jìn)一步深入研究. 這里，為了行文方便，首先將這道題高考?jí)狠S題抄錄如下：

例題（1998年數(shù)學(xué)高考全國(guó)卷·理25·壓軸題，這位教師在這道題進(jìn)入課堂教學(xué)活動(dòng)時(shí)稍做改編）？搖已知數(shù)列{bn}的通項(xiàng)為bn=3n-2，設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=loga1+ （其中a>0，且a≠1），記Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，試比較Sn與 logabn+1的大小，并證明你的結(jié)論.

在關(guān)于這道題的課堂教學(xué)活動(dòng)中，這位教師基本上沒(méi)有變更高考題的命題者所提供的關(guān)于解答這道題的參考答案，只不過(guò)在課堂教學(xué)活動(dòng)時(shí)，這位教師對(duì)某些關(guān)鍵性步驟進(jìn)行現(xiàn)象性解釋，基本上沒(méi)有涉及在學(xué)生產(chǎn)生操作相關(guān)題設(shè)條件的指令時(shí)所需要從心理上萌生的數(shù)學(xué)觀念（在數(shù)學(xué)觀念與具體操作行為兩者的關(guān)系中，數(shù)學(xué)觀念是操作行為的指令，數(shù)學(xué)觀念與操作行為的關(guān)系是，數(shù)學(xué)觀念猶如“運(yùn)籌帷幄之中”的統(tǒng)帥部的指揮行為，而操作行為是前方將士作戰(zhàn)時(shí)的具體動(dòng)作行為，除了條件反射之外，其他行為都是在具體的數(shù)學(xué)觀念指導(dǎo)下發(fā)出的，也就是說(shuō)，先要萌生數(shù)學(xué)觀念，然后，在這種數(shù)學(xué)觀念指令下采取操作行為 ），導(dǎo)致了教學(xué)活動(dòng)時(shí)，只見數(shù)學(xué)知識(shí)在解題中的應(yīng)用，而沒(méi)有啟發(fā)學(xué)生如何運(yùn)用具體數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的心理活動(dòng)過(guò)程.

關(guān)于這道題命題者的參考答案：因?yàn)閎n=3n-2，所以an=loga1+ =loga ，

Sn=a1+a2+…+an=loga · ·…· ，而 logabn+1=loga .

要比較Sn與 logabn+1的大小，只要比較 · ·…· 與 的大小就行了.

記An= · ·…· ，Bn= .

因?yàn)?>1，

所以對(duì)任意的n∈N+，都有 > > >0，

所以 3> · · = ①，

從而可知，A = 3· 3·…· 3· 3> · ·…· · ?=3n+1=B ，

所以An>Bn（n∈N+）.

由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得，當(dāng)a>1時(shí)，Sn> logabn+1（n∈N+）;當(dāng)0

這節(jié)課講下來(lái)，筆者能夠感受到這位教師具有極好的教學(xué)基本功：就課堂傳授來(lái)說(shuō)，具有很高的效率;而且板書結(jié)構(gòu)合理，書寫優(yōu)美，都可以給學(xué)生以非常好的示范作用;語(yǔ)言干凈利索，抑揚(yáng)頓挫，較好地突出了重點(diǎn)，筆者從中獲得了很多有益的啟示. 但是，學(xué)生未必能夠合理地感受到，給我們聽課的感覺是教師有平均用力的嫌疑;更為關(guān)鍵的是，這位教師只是考慮了解決這道題的邏輯途徑，而沒(méi)有從這種邏輯途徑中揣測(cè)學(xué)生生發(fā)解法思路的心理途徑，從而將數(shù)學(xué)邏輯表達(dá)形態(tài)的知識(shí)發(fā)生轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)教學(xué)探究形態(tài)的知識(shí)發(fā)生. ?總之，這種教學(xué)設(shè)計(jì)是這位教師基于自己熟練的數(shù)學(xué)知識(shí)，向?qū)W生傳授解題的方法，學(xué)生則是通過(guò)記憶與強(qiáng)化訓(xùn)練的方式學(xué)習(xí)解題活動(dòng)，這就是機(jī)械性學(xué)習(xí)，而不是創(chuàng)造性學(xué)習(xí)，從而損傷了數(shù)學(xué)教學(xué)價(jià)值，特別是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的教學(xué)價(jià)值，難于實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)解題活動(dòng)的教學(xué)目標(biāo). 筆者通過(guò)深入思考發(fā)現(xiàn)，其主要原因就是沒(méi)有從啟發(fā)學(xué)生自己萌生數(shù)學(xué)觀念出發(fā)，然后在這種觀念的指令下進(jìn)行相應(yīng)解題操作行為活動(dòng)，從而損傷了這道題的教學(xué)價(jià)值，難以實(shí)現(xiàn)這道題的深層次的教學(xué)目標(biāo).

筆者通過(guò)仔細(xì)思考這道題的參考答案，對(duì)照這位教師在課堂教學(xué)活動(dòng)中的解釋，發(fā)現(xiàn)了這位教師在課堂教學(xué)活動(dòng)中的缺點(diǎn). 于是，對(duì)于參考答案的關(guān)鍵性一個(gè)環(huán)節(jié)做出了新的構(gòu)想，就是在教學(xué)設(shè)計(jì)中，對(duì)于不等式①的出現(xiàn)，學(xué)生是如何從心底里想到的？將其作為整個(gè)教學(xué)活動(dòng)重點(diǎn)，它的實(shí)質(zhì)就是要啟發(fā)學(xué)生從自己的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)與觀念現(xiàn)實(shí)中建構(gòu)出不等式①. 筆者通過(guò)長(zhǎng)時(shí)間的思考，對(duì)這種解法的這個(gè)基本點(diǎn)找到了較好的課堂教學(xué)途徑（下面行文中的省略號(hào)表示學(xué)生思維的暫時(shí)中斷）.

師：記bn=3n-2②，an=loga1+ ③.由②③的具體結(jié)構(gòu)，知要比較Sn與 logabn+1的大小，就是比較3Sn與logabn+1的大小，具體而言，就是希望比較兩個(gè)數(shù)3 loga1+ ④與loga（3n+1）⑤的大小. 那么，如何比較這兩個(gè)數(shù)的大小呢？

師：由問(wèn)題的結(jié)論認(rèn)識(shí)或猜想到，④式與⑤式肯定是存在一種不等的關(guān)系.那么，與其對(duì)立的命題是，④式與⑤式可以變得相等嗎？

生1：不可能.不等的數(shù)量，怎么可能變成相等呢？

生2：可以.我們將④式的數(shù)量值放大或縮小就有可能會(huì)得到⑤式，從理論上說(shuō)是可以達(dá)到這種目的的.

師：我同意生2的想法，“不等”與“相等”這兩者之間是相對(duì)的，為了獲得不等關(guān)系的結(jié)論，我們可以通過(guò)相等的途徑來(lái)達(dá)到.

師：那么，如何放縮才能將④式轉(zhuǎn)化為⑤式呢？

生3：我們?cè)S多同學(xué)都想方設(shè)法對(duì)④式中的 log 1+ 進(jìn)行放縮，但都不能轉(zhuǎn)化成⑤式，……因?yàn)?，④式太?fù)雜而⑤式太簡(jiǎn)單，……

師：如果將④式寫成 loga1+ + loga1+ + loga1+ ⑥的形式（通過(guò)板書書寫），將⑥式放縮，產(chǎn)生⑤式的結(jié)果是否會(huì)更容易些？

生4：從⑥式中可以獲得啟示：如果對(duì)④式中的 loga1+ 進(jìn)行一次性地直接放縮，那么，這三個(gè)同樣的 loga1+ 的放縮結(jié)果相互之間就不可能產(chǎn)生互補(bǔ)作用，發(fā)揮不了將問(wèn)題條件搭配從而形成結(jié)構(gòu)性的整體功能，這就是一次性放縮的弊端. 要突破這種放縮形式的弊端，我考慮將三個(gè) loga1+ 進(jìn)行各自不同的放縮，以期能利用問(wèn)題結(jié)構(gòu)的整體性，形成一種相互協(xié)調(diào)與相互補(bǔ)充的結(jié)果，這樣可能有利于問(wèn)題的解決，但是，……

師：生4提出了一種非常好的解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)觀念性設(shè)想.那么，如何實(shí)現(xiàn)生4所估計(jì)的如此放縮的目的呢？

生5：我想這樣來(lái)進(jìn)行試探，將⑥式中第一個(gè) loga1+ 不放縮，第二個(gè) loga1+ 縮小到 loga1+ 的形式，第三個(gè) loga1+ 再次縮小到 loga1+ 形式. 下面，對(duì)a分兩種情形加以分類討論：

當(dāng)a>1時(shí)，由函數(shù)y=logax在所在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，知3 loga1+ > loga1+ + loga1+ + loga1+ ⑦，⑦式右端利用對(duì)數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，進(jìn)行化簡(jiǎn)后的結(jié)果就是⑤式.此時(shí)，3Sn>logabn+1;當(dāng)0

關(guān)于這道題筆者首先認(rèn)識(shí)到了這位老師所提供的答案中所出現(xiàn)的不等式①是脫掉了對(duì)數(shù)符號(hào)后所形成的運(yùn)算性質(zhì)的結(jié)論，不等式的關(guān)鍵部分變成了三個(gè)相關(guān)要素的乘積，若不脫掉這個(gè)對(duì)數(shù)符號(hào)，則依然可以使用這三個(gè)要素，而三者之積變成三者之和，因此，可以直接利用數(shù)式④中的三個(gè) loga·1+ 進(jìn)行放縮來(lái)達(dá)到目的. 基于這樣的設(shè)計(jì)，筆者又通過(guò)思考與探究活動(dòng)認(rèn)識(shí)到，獨(dú)立地放縮 loga1+ ，即畢其功于一役的手段，是很難達(dá)到目的的. 經(jīng)由很長(zhǎng)的時(shí)間領(lǐng)悟到可以對(duì) loga1+ 進(jìn)行筆者在另一篇文章中稱之為“分項(xiàng)放縮”的試探，結(jié)果得到了一種成功的放縮方法并解決了問(wèn)題. 接著就思考這課堂上如何啟發(fā)學(xué)生也像筆者在探究活動(dòng)一樣產(chǎn)生如此“分項(xiàng)放縮”的心理活動(dòng)呢？如此促成了教學(xué)設(shè)計(jì)中的⑥式的出現(xiàn).

筆者的教學(xué)設(shè)計(jì)不同于這位教師的教學(xué)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵性環(huán)節(jié)在于將這位教師抄寫參考答案的關(guān)鍵環(huán)節(jié)不等式①轉(zhuǎn)化成了筆者教學(xué)設(shè)計(jì)中的不等式⑦，關(guān)于這個(gè)不等式⑦筆者不是直接地將其奉獻(xiàn)于學(xué)生，而是通過(guò)將數(shù)式④變形為數(shù)式⑥的表征形式，從而啟迪學(xué)生從自己心理上領(lǐng)悟到了將這三個(gè) loga1+ 進(jìn)行不同形式的放縮，進(jìn)而促使學(xué)生在課堂現(xiàn)場(chǎng)中萌生出了“分項(xiàng)放縮”的數(shù)學(xué)觀念，然后，在這個(gè)數(shù)學(xué)觀念的指令下，產(chǎn)生了具體使用“分項(xiàng)放縮”的操作行為，如此為學(xué)生認(rèn)識(shí)到解決問(wèn)題的具體方法的關(guān)鍵性環(huán)節(jié)找到了心理活動(dòng)的過(guò)程，這樣變問(wèn)題解決的邏輯發(fā)生為心理發(fā)生，到這里，發(fā)揮了知識(shí)的教學(xué)價(jià)值，實(shí)現(xiàn)了課堂教學(xué)目標(biāo).

這位教師基于參考答案所提供的這種解法（建立的不等式①）的這個(gè)環(huán)節(jié)，只是直白地奉獻(xiàn)于學(xué)生，他認(rèn)為學(xué)生照單全收就行了，這就掩蓋了產(chǎn)生不等式④的數(shù)學(xué)觀念的萌生過(guò)程，掩蓋了解題問(wèn)題的具體數(shù)學(xué)方法的形成過(guò)程，極大地?fù)p傷了這個(gè)環(huán)節(jié)的教學(xué)價(jià)值.筆者通過(guò)檢視這種解法，仔細(xì)地推測(cè)這個(gè)不等式①產(chǎn)生的心理原因，發(fā)現(xiàn)了這個(gè)不等式①可以用不等式⑦來(lái)替換. 然而，如果筆者采用的替換途徑也同這位教師一樣，那也就變成灌輸式的教學(xué). 于是，筆者在教學(xué)設(shè)計(jì)上用足了功夫，想到將④式轉(zhuǎn)化為⑥式，這看上去好像只是不經(jīng)意的靈機(jī)一動(dòng). 事實(shí)上，筆者設(shè)計(jì)這一步其實(shí)是“十月懷胎”后的“一朝分娩”，是以幾十年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)與長(zhǎng)時(shí)間的思考為前提的. 如此設(shè)計(jì)將這位教師通過(guò)向?qū)W生奉獻(xiàn)不等式①變成了啟發(fā)學(xué)生自己萌生這種“分項(xiàng)放縮”的指令操作行為的數(shù)學(xué)觀念，從而發(fā)揮了這道題的教學(xué)價(jià)值，實(shí)現(xiàn)了課堂教學(xué)目標(biāo)，這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)達(dá)到了如期的效果.