與“解三角形”相關(guān)的綜合問題探析

嚴(yán)華

[摘 ?要] “解三角形”是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)模塊，涵蓋了幾何與代數(shù)的相關(guān)知識(shí)，在高考中常以綜合題的形式出現(xiàn)，用以考查學(xué)生的綜合思維，因此對(duì)其問題類型開展解題探析是十分必要的，文章探究解三角形的幾類常見綜合題，并開展解后反思總結(jié).

[關(guān)鍵詞] 解三角形;綜合;方程;函數(shù);向量;幾何

“解三角形”是初中直角三角形知識(shí)的延伸，也是高考數(shù)學(xué)重要的考查內(nèi)容，其中涉及眾多的公式定理和直角三角形模型的構(gòu)建思路，解題時(shí)需要靈活運(yùn)用. 而在高考中解三角形一般與其他知識(shí)點(diǎn)相結(jié)合，以綜合題的形式出現(xiàn)，一般具有考查程度深、變化多樣等特點(diǎn)，下面將對(duì)其交匯問題分類探析.

解三角形與代數(shù)方程

解三角形的一般思路是基于解題模型，將復(fù)合問題轉(zhuǎn)化為單純的代數(shù)問題，然后通過代數(shù)運(yùn)算來破解，因此常見的綜合類型為解三角形與代數(shù)方程綜合，即在解三角形中滲透方程思想，設(shè)未知，列等式，通過解未知的方式來實(shí)現(xiàn)突破. 考慮到所設(shè)未知量對(duì)方程模型的影響很大，因此在設(shè)未知量時(shí)要充分考慮幾何模型的特點(diǎn)，簡(jiǎn)化代數(shù)式.

例1：已知△ABC中邊長(zhǎng)AB=4，AC=7，AD為邊BC上的中線，若AD= ，試求BC的長(zhǎng).

解析：已知△ABC的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)，求BC的長(zhǎng)，首先可以繪制相應(yīng)的幾何圖形，如圖1所示，求線段長(zhǎng)可以基于幾何定理構(gòu)建代數(shù)方程. 設(shè)BD=x，在△ABD中使用余弦定理，則cosB= = = ，然后在△ABC中使用余弦定理，可得cosB= = ，因此 = ，解得x= ，而BC=2BD=9，即邊長(zhǎng)BC為9.

評(píng)析：本題在求解時(shí)采用了構(gòu)建方程的解題思路，即以余弦定理為切入點(diǎn)，在不同的三角形中構(gòu)建角B的余弦模型，從而構(gòu)建了相應(yīng)的代數(shù)方程. 解題的關(guān)鍵有兩個(gè)：一是基于問題條件構(gòu)建對(duì)應(yīng)的三角形;二是基于方程思想，在幾何三角形中構(gòu)建對(duì)應(yīng)的等量關(guān)系.

解三角形與函數(shù)知識(shí)

解三角形與函數(shù)知識(shí)的交匯點(diǎn)一般為三角函數(shù)，即以三角形為問題背景，設(shè)置與解三角形相關(guān)的問題，其中涉及函數(shù)的轉(zhuǎn)化變形，正弦、余弦定理等變形公式.求解時(shí)需要緊密結(jié)合函數(shù)性質(zhì)對(duì)函數(shù)的取值進(jìn)行定義，確保結(jié)果的準(zhǔn)確合理.

例2：設(shè)函數(shù)f（x）=cos2x+ +sin2x.

（1）求函數(shù)f（x）的最大值和最小正周期;

（2）設(shè)A，B，C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角，若cosB= ，f =- ，且C為銳角，試求sinA.

解析：（1）該問求函數(shù)f（x）的最大值和最小正周期，該函數(shù)包含有余弦型函數(shù)和正弦型函數(shù)，需要通過變換將其融合，通過三角變換有f（x）= - sin2x，分析可知最大值為 + ，最小正周期為π.

（2）根據(jù)函數(shù)求sinA的值，首先需要借助函數(shù)將問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題，然后利用對(duì)應(yīng)的公式定理來構(gòu)建模型，f = - sinC=- ，解得sinC= ，即C= . 已知在△ABC中，cosB= ，所以sinB= ?，則sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC= .

評(píng)析：本題目屬于以函數(shù)為背景解三角形的綜合題，題干給出了所求函數(shù)和對(duì)應(yīng)關(guān)系，并構(gòu)建了相應(yīng)的三角形，因此求解時(shí)首先需要基于函數(shù)的性質(zhì)對(duì)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從中提煉與三角形內(nèi)角相關(guān)的條件，然后利用三角形中的元素關(guān)系及定理來破解.

解三角形與平面向量

向量是高中數(shù)學(xué)較為特殊的知識(shí)，具有幾何與代數(shù)的雙重特性，向量與解三角形的融合點(diǎn)同樣為幾何三角形. 理解向量的幾何定義，并能利用向量的相關(guān)公式對(duì)條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解該類綜合題的關(guān)鍵，因此在解題時(shí)需要提煉向量條件，完善三角形模型.

例3：已知△ABC為銳角三角形，設(shè)三角形的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊為a，b，c，b

（1）試求角A的值;

（2）如果 · =12，a=2 ，試求b和c的值.

解析：（1）已知內(nèi)角所對(duì)邊和對(duì)應(yīng)的等式，需要利用cos2B+sin2B=1對(duì)其進(jìn)行化簡(jiǎn)，從而將其轉(zhuǎn)化為與角A相關(guān)的等式，sin2A= sin -Bsin +B+sin2B= cosB- sinB cosB+ sinB+sin2B= （cos2B+sin2B）= ，所以sinA= ，已知△ABC為銳角三角形，則A= .

（2）該問已知 · =12，根據(jù)向量積的數(shù)量積公式可得bc·cosA=12，結(jié)合（1）問可得bc=24，利用余弦定理的展開式可得a2=b2+c2-2bc·cosA=（b+c）2-3bc，所以b+c=10. 又b

評(píng)析：本題目涉及解三角形與平面向量的綜合，考查向量積的幾何定義及三角函數(shù)的余弦定理. 對(duì)于該類綜合問題，破解的關(guān)鍵是利用向量的概念與定理將向量條件向代數(shù)轉(zhuǎn)化，因此理解向量的幾何定義是解題的基礎(chǔ)，必要時(shí)可以借助三角形模型，結(jié)合幾何知識(shí)來構(gòu)建思路.

解三角形與平面幾何

解三角形的過程含有眾多的解題思維，其中數(shù)形結(jié)合是最為常見的一種，也是高考考查的重點(diǎn)，衍生了眾多的與平面幾何相融合的綜合題.該類問題的圖形一般較為復(fù)雜，解題時(shí)需要結(jié)合條件充分提煉解題模型，把握其中的特殊圖形，借助圖形的特殊性質(zhì)來構(gòu)建解題思路.

例4：在圖2所示的圖形中，△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，已知a=b（sinC+cosC）.

（1）試求∠ABC;

（2）若∠A= ，點(diǎn)D位于△ABC的外面，線段DB和DC之長(zhǎng)分別為2和1，試求四邊形ABCD面積的最大值.

解析：（1）給出了相應(yīng)的圖形，需要結(jié)合對(duì)應(yīng)的關(guān)系式來分析圖形特點(diǎn)，由a=b（sinC+cosC）可知sinA=sinB（sinC+cosC），變形可得cosBsinC=sinBsinC. 又C為△ABC的內(nèi)角，則取值范圍為（0，π），結(jié)合sinC≠0，可得cosB=sinB，即tanB=1，則B= ，即∠ABC= .

（2）點(diǎn)D位于△ABC的外面，給出了相應(yīng)的條件，求四邊形的面積，可以采用面積割補(bǔ)法，即S四邊形ABCD=S△ABC+S△BCD，因此關(guān)鍵是求三角形的面積. 在△BCD中利用余弦定理可得BC2=5-4cos∠D. 分析可知△ABC為等腰三角形，則S△ABC= BC2= ，而S△BCD= BD·DC·sinD=sinD，所以S四邊形ABCD= + sin∠D- ，當(dāng)∠D= 時(shí)，四邊形ABCD的面積可取得最大值，且最大值為 + .

評(píng)析：上述題目以分析幾何圖形的形式考查解三角形知識(shí)，其知識(shí)交匯點(diǎn)在于兩部分內(nèi)容的知識(shí)本質(zhì)是一致的，即均是對(duì)幾何圖形的內(nèi)在分析. 求解問題時(shí)也相應(yīng)地采用了數(shù)形結(jié)合的策略，即根據(jù)問題條件來分析圖形特點(diǎn)，然后對(duì)圖形進(jìn)行深層探索，從而獲得了問題突破的關(guān)鍵條件.

問題求解的反思與歸納

解三角形是高中數(shù)學(xué)需要學(xué)生掌握的重點(diǎn)知識(shí)，從上述問題可以看出其一般以綜合題的形式出現(xiàn)，這是基于解三角形與其他眾多知識(shí)交匯. 無論是求解方程、函數(shù)類問題，還是分析平面向量、平面幾何類問題，其中都存在一定的解題策略，下面對(duì)其進(jìn)一步探討.

1. 關(guān)注問題條件，靈活變形轉(zhuǎn)化

解三角形綜合問題一般都會(huì)給出相應(yīng)的關(guān)系式或幾何條件，而對(duì)條件的靈活轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵. 一般解三角形多為求值類問題，在分析時(shí)需要活用正弦、余弦定理對(duì)其中的邊角關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化變形，以達(dá)到解題的目的，可以按照“定模型→定工具→求結(jié)果”的策略，即首先根據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，確立轉(zhuǎn)化的方向，然后選定轉(zhuǎn)化公式來對(duì)關(guān)系式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從中提煉與三角形邊、角相關(guān)的條件，最后結(jié)合問題求解. 而在求解綜合題的第一步（定模型）時(shí)還需要基于知識(shí)的交匯點(diǎn)開展問題分析，如與函數(shù)相關(guān)的問題需要利用函數(shù)的性質(zhì)來提煉條件，而與向量相關(guān)的問題需要借助向量的幾何定義來提煉關(guān)系式.

2. 基于知識(shí)交匯，發(fā)展解題思維

對(duì)知識(shí)交匯點(diǎn)的分析是解三角形綜合題的難點(diǎn)所在，也是該類問題考查的重點(diǎn)，因此在開展問題總結(jié)時(shí)特別需要對(duì)模塊知識(shí)的聯(lián)系點(diǎn)進(jìn)行歸納，如解三角形與代數(shù)方程的聯(lián)系點(diǎn)為正弦、余弦定理的特性，與函數(shù)的聯(lián)系點(diǎn)為三角形函數(shù)的特性. 對(duì)應(yīng)的綜合類問題的求解過程需要借助解題思想，常用的數(shù)學(xué)思想包括轉(zhuǎn)化思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合思想. 通用的解題思路是基于問題條件分析或構(gòu)建解題模型，結(jié)合模型來對(duì)已知條件進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)化，通過數(shù)形結(jié)合的策略來破解. 其中的數(shù)學(xué)思想在無形中引導(dǎo)問題分析，簡(jiǎn)化問題條件，指明解題方向，是問題高效求解的思想保障，因此開展解三角形綜合題的反思教學(xué)，需要教師著重講解其中的思想方法，將學(xué)生的思維發(fā)展和綜合能力提升作為教學(xué)的重點(diǎn).