例談圓錐曲線中兩組過定點的基本模型

張志華 周珊杉

[摘 ?要] 解析幾何是高中數(shù)學(xué)的主干知識，而直線與橢圓的位置關(guān)系更是高考考查的重中之重.如何有效地掌握好解析幾何的相關(guān)知識？如何在這一部分高效得分？文章認(rèn)為一些基本的二級結(jié)論還是有必要了解，因為這樣可以有效延伸我們思考問題的“跨越度”，快速找到已知條件與所求結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)而讓我們對問題的本質(zhì)理解更加透徹，甚至對命題者的命題角度、意圖、途徑都得窺門徑.

[關(guān)鍵詞] 圓錐曲線;過定點;基本模型

解析幾何是高中數(shù)學(xué)的主干知識，而直線與橢圓的位置關(guān)系更是高考考查的重中之重，歷來是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的夢魘，也是教師數(shù)學(xué)教學(xué)的痛點. 如何有效地掌握好解析幾何的相關(guān)知識？如何在這一部分高效得分？始終是每一位教師和學(xué)生思考的問題. 除了大家耳熟能詳?shù)慕馕鰩缀蔚姆g與轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算能力（尤其是字符化簡能力）有較高要求之外，筆者覺得一些基本的二級結(jié)論或基本的模型性質(zhì)還是有必要了解并熟悉，當(dāng)然能夠達(dá)到理解并記憶的水平自然更佳. 因為這樣可以有效延伸我們思考問題的“跨越度”，快速找到已知條件與所求結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)而讓我們對問題的本質(zhì)理解更加透徹，甚至可以對命題者的命題角度、意圖、途徑都得窺門徑.

以下就以兩道具體的解析幾何問題為例，探索其背后所蘊(yùn)含的基本模型，進(jìn)而探索這種模型有哪些基本性質(zhì)或二級結(jié)論，最終得以窺視命題者命題的數(shù)學(xué)來源與本質(zhì).

例題展示與評析

例1：（重慶市高2018級二診理數(shù)20（2））

已知F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0）是橢圓 + =1的左、右焦點.

（2）過F2作兩條互相垂直的直線l1與l2（均不與x軸重合），分別與橢圓交于A，B，C，D四點，線段AB，CD的中點分別是M，N，求證：直線MN過定點，并求出該定點坐標(biāo).

解析：設(shè)直線AB：y=k（x-1），聯(lián)立橢圓方程3x2+4y2=12得：

（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0，則xA+xB= ，故

xM= · = ，yM= · = . 將k用- 代替得

xN= = ，yN= .

由題意，若直線AB關(guān)于x軸對稱后得到直線A′B′，則得到的直線M′N′與MN關(guān)于x軸對稱，所以若直線MN經(jīng)過定點，則該定點一定是直線M′N′與MN的交點，該點必在x軸上.

設(shè)該定點坐標(biāo)P（s，0）， =（s-xM，-yM）， =（xM-xN，yM-yN），由 = 得：s= ，代入M，N坐標(biāo)化簡得s= .所以直線MN過定點 ，0.

評注：此題屬于解析幾何中的定點問題，按照通常的“由特殊到一般”的思路先猜后證，從思維要求上說應(yīng)該不太難. 但是，從實際考場上的得分結(jié)果反饋，除去一部分學(xué)生的心理因素和時間因素之外，此題對運(yùn)算能力特別是字符化簡能力的要求提出了較高的挑戰(zhàn)，因此得分率并不太理想. 所以，我們有必要深入研究問題的背景和本質(zhì)，使得學(xué)生能夠做到對此問題心中有數(shù)、高屋建瓴、統(tǒng)攬全局，最后再從容不迫計算，甚至只是驗證心中所想的基本結(jié)論而已.

其實，此題的本質(zhì)就屬于橢圓中互相垂直的弦中點過定點的基本模型. 以下就給出一些基本的結(jié)論與證明.

基本結(jié)論與證明

結(jié)論1：過橢圓 + =1的右焦點F（c，0）作兩條互相垂直的弦AB，CD. 若弦AB，CD的中點分別為M，N，那么直線MN恒過定點 ，0.

結(jié)論2：過橢圓 + =1的長軸上任意一點S（s，0）（-a

證明：設(shè)AB的直線為x=my+s，則CD的直線方程為x=- y+s，

x=my+s，b2x2+a2y2-a2b2=0，（m2b2+a2）y2+2b2msy+b2（s2-a2）=0，

Δ=4a2b2（m2b2+a2-s2）>0，y1+y2= ，y1·y2= ，

由中點公式得M ， ，

將m用 代換，得到N的坐標(biāo) ，

MN的直線方程為y+ = x- ，

令y=0，得x= . 所以直線MN恒過定點 ，0.

結(jié)論3：過橢圓 + =1的短軸上任意一點T（0，t）（-b

結(jié)論4：過橢圓 + =1內(nèi)的任意一點Q（s，t） + <1作兩條互相垂直的弦AB，CD. 若弦AB，CD的中點分別為M，N，那么直線MN恒過定點 ， .

注：回到開頭的例題，其實此問題的本質(zhì)就屬于橢圓中互相垂直的弦中點過定點的基本模型，若套用我們前面的結(jié)論1：直線MN恒過定點 ，0，即 ，0，問題瞬間秒殺.正所謂“問渠那得清如許，為有源頭活水來”.

相關(guān)結(jié)論與拓展

拓展結(jié)論（1）：其實，雙曲線中互相垂直的弦中點過定點也有類似的結(jié)論.

結(jié)論5：過雙曲線 - =1的右焦點F（c，0）作兩條互相垂直的弦AB，CD.若弦AB，CD的中點分別為M，N，那么直線MN恒過定點 ，0.

結(jié)論6：過雙曲線 - =1的實軸上任意一點S（s，0）（s<-a或s>a）作兩條互相垂直的弦AB，CD. 若弦AB，CD的中點分別為M，N，那么直線MN恒過定點 ，0.

結(jié)論7：過雙曲線- + =1的虛軸上任意一點T（0，t）（t<-b或t>b）作兩條互相垂直的弦AB，CD.若弦AB，CD的中點分別為M，N，那么直線MN恒過定點 ，0.

結(jié)論8：過雙曲線 - =1外的任意一點Q（s，t） - >1作兩條互相垂直的弦AB，CD.若弦AB，CD的中點分別為M，N，那么直線MN恒過定點 ， .

其證明讀者可以類比橢圓的相關(guān)結(jié)論進(jìn)行，略.

拓展結(jié)論（2）：與之相關(guān)的圓錐曲線上的直角弦過定點的結(jié)論.

結(jié)論9：橢圓 + =1上一點P（x0，y0），橢圓上存在不同于點P的兩點A，B，且滿足PA⊥PB，那么直線AB恒過定點 x0，- y0.

等價說法：以（x0，y0）為直角頂點的橢圓 - =1內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點 x0，- y0.

結(jié)論10（1）：雙曲線 + =1上一點P（x0，y0），雙曲線上存在不同于點P的兩點A，B，且滿足PA⊥PB，那么直線AB恒過定點 x0，- y0.

等價說法：以（x0，y0）為直角頂點的雙曲線 - =1內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點 x0，- y0.

結(jié)論10（2）：雙曲線- + =1上一點P（x0，y0），雙曲線上存在不同于點P的兩點A，B，且滿足PA⊥PB，那么直線AB恒過定點 x0， y0.

結(jié)論11：拋物線y2=2px（p>0）上一點P（x0，y0），拋物線上存在不同于點P的兩點A，B，且滿足PA⊥PB，那么直線AB恒過定點（x0+2p，-y0）.

等價說法：以（x0，y0）為直角頂點的拋物線y2=2px內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點（x0+2p，-y0）.

注：其證明讀者可以類比橢圓的相關(guān)結(jié)論進(jìn)行，略.

例題運(yùn)用與評析

例2：（重慶市高2018級文科二診20（2））

已知F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0）是橢圓 + =1的左、右焦點，B為橢圓的上頂點.

（2）過點B作兩條互相垂直的直線與橢圓交于S，T兩點（異于點B），證明：直線ST過定點，并求該定點的坐標(biāo).

解析：設(shè)S（x1，y1），T（x2，y2），直線BS：y=kx+ ，聯(lián)立橢圓方程得：

（4k2+3）x2+8 kx=0，x1= ，x = = ，

由題意，若直線BS關(guān)于y軸對稱后得到直線B′S′，直線BT關(guān)于y軸對稱后得到直線B′T′，則得到的直線S′T′與ST關(guān)于y軸對稱，所以若直線ST經(jīng)過定點，則該定點一定是直線S′T′與ST的交點，該點必在y軸上.

設(shè)該定點坐標(biāo)（0，t），

= ？圯t= = ，

代入x1，x2化簡得t=- ，所以過定點0，- .

評析：其實此問題的本質(zhì)就屬于圓錐曲線上的直角弦過定點的基本模型，若套用我們前面的結(jié)論9：直線AB恒過定點 x0，- y0（其中a2=4，b2=3，x =0，y = ），即直線AB恒過定點 ×0，- × =0，- . 問題被瞬間秒殺，這種感覺真叫人拍案叫絕，正所謂“會當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小”.

教學(xué)反思與啟示

通過這兩道典型問題的分析，給了我們很多有益的啟示. 要徹底洞察解析問題的本質(zhì)，必須要有“清澈的源頭”，才能做到高屋建瓴，一語中的. 只有掌握好了一些基本的模型、套路、方法，解析幾何問題才會變得溫馴且可控.因此，我們在日常教學(xué)中，應(yīng)堅持“學(xué)生的精彩才是教師的出彩”的原則，啟發(fā)學(xué)生的思維，提升學(xué)生的探究能力，培養(yǎng)學(xué)生對復(fù)雜問題的鉆研精神，使學(xué)生在問題的發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決、反思過程中，不斷發(fā)現(xiàn)并總結(jié)出一些套路模型與二級結(jié)論，進(jìn)而不斷提升數(shù)學(xué)思維能力與核心素養(yǎng).