張澤眾 駱文于? 龐哲 周益清

1) (中國(guó)科學(xué)院聲學(xué)研究所,聲場(chǎng)聲信息國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100190)

2) (中國(guó)科學(xué)院大學(xué),北京 100049)

提出了一種適用于存在孤子內(nèi)波水平變化波導(dǎo)的高效三維水下聲場(chǎng)計(jì)算模型.該模型忽略反向散射,一般情況下由于孤子內(nèi)波的反向散射非常弱,所以該模型能夠提供精確的三維聲場(chǎng)結(jié)果.同時(shí),相對(duì)于雙向三維耦合簡(jiǎn)正波模型,該模型在計(jì)算效率上能夠至少提高一個(gè)數(shù)量級(jí).除了孤子內(nèi)波環(huán)境之外,本模型還適用于存在小尺度海脊等反向散射比較弱的一般水平變化波導(dǎo)環(huán)境.本文用該模型計(jì)算由KdV方程得到的孤子內(nèi)波問(wèn)題,并用雙向三維耦合簡(jiǎn)正波模型作為標(biāo)準(zhǔn)模型來(lái)驗(yàn)證本模型的計(jì)算精度.計(jì)算結(jié)果表明本模型在反向散射比較弱的波導(dǎo)環(huán)境中具有非常高的計(jì)算精度.

1 引 言

作為一種中尺度海洋現(xiàn)象,內(nèi)波對(duì)水下聲傳播具有顯著影響.因此,在過(guò)去的幾十年中人們對(duì)內(nèi)波問(wèn)題做了大量研究[1-15].

王寧等[1]通過(guò)分析2005年黃海實(shí)驗(yàn)結(jié)果,研究了內(nèi)波和潮汐引起的寬帶正常模態(tài)振幅波動(dòng)和深度的相關(guān)性.馬樹(shù)青等[2]研究了淺海孤子內(nèi)波對(duì)水下聲傳播和聲源定位的影響,并且發(fā)現(xiàn)當(dāng)孤子內(nèi)波通過(guò)接收陣列時(shí)傳播損失會(huì)產(chǎn)生5 dB左右的波動(dòng).1995年淺海隨機(jī)介質(zhì)實(shí)驗(yàn)(SWARM)通過(guò)研究孤子內(nèi)波存在時(shí)聲信號(hào)的變化對(duì)淺海寬帶聲信號(hào)進(jìn)行了分析,發(fā)現(xiàn)其時(shí)間波動(dòng)在深度上是同步的,并依賴(lài)于水體的變化,且利用水平折射對(duì)該現(xiàn)象進(jìn)行了解釋[3].2006年淺海實(shí)驗(yàn)(SWARM'06)對(duì)孤子內(nèi)波存在下低頻聲場(chǎng)的波動(dòng)進(jìn)行了研究,發(fā)現(xiàn)在孤子內(nèi)波通過(guò)期間,水平折射效應(yīng)對(duì)聲場(chǎng)造成了很大的影響[4].Lin等[5]研究了截?cái)鄡?nèi)波導(dǎo)管末端的聲輻射效應(yīng).Colosi[6]使用耦合簡(jiǎn)正波方程模擬了孤子內(nèi)波存在時(shí)接收器位置的聲波強(qiáng)度,Yang[7]利用該方程建立了模式耦合矩陣.

人們對(duì)孤子內(nèi)波環(huán)境下三維聲傳播建模也進(jìn)行了大量研究,針對(duì)孤子內(nèi)波環(huán)境開(kāi)發(fā)出了很多聲傳播模型.考慮到計(jì)算效率,大多數(shù)模型基于拋物方程理論[8-10].針對(duì)孤子內(nèi)波問(wèn)題,本文提出一種基于耦合簡(jiǎn)正波理論的高效三維耦合簡(jiǎn)正波模型.

Ferla等[11]開(kāi)發(fā)的C-SNAP模型是計(jì)算水平變化環(huán)境中聲場(chǎng)的二維耦合簡(jiǎn)正波模型.因?yàn)樗诓竭M(jìn)式算法,所以在計(jì)算效率方面該模型并不遜于現(xiàn)有的拋物方程模型.C-SNAP模型使用阻抗匹配邊界條件以保持比較高的精度.本文提出的三維模型利用C-SNAP計(jì)算相應(yīng)的二維線(xiàn)源解,然后利用傅里葉變換技術(shù)得到三維聲場(chǎng)解.我們利用駱文于等[12,13]開(kāi)發(fā)的雙向耦合簡(jiǎn)正波二維模型DGMCM2D以及三維模型DGMCM3D[14]作為標(biāo)準(zhǔn)模型來(lái)驗(yàn)證本模型的計(jì)算精度并比較計(jì)算效率.

本文結(jié)構(gòu)如下：第2節(jié)介紹三維單向耦合簡(jiǎn)正波模型的理論基礎(chǔ).第3節(jié)首先利用本模型計(jì)算孤子內(nèi)波環(huán)境下的聲場(chǎng)數(shù)值解,并與雙向耦合簡(jiǎn)正波模型DGMCM3D得到的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比; 其次數(shù)值仿真同時(shí)存在孤子內(nèi)波和海脊時(shí)的聲場(chǎng),以表明本模型具有處理一般弱反向散射特征水平變化波導(dǎo)問(wèn)題的能力.第4節(jié)給出總結(jié)和結(jié)論.

2 理 論

下面首先簡(jiǎn)要回顧二維單向耦合簡(jiǎn)正波模型C-SNAP,并分別給出二維點(diǎn)源問(wèn)題和線(xiàn)源問(wèn)題的解; 然后介紹如何利用傅里葉變換方法將該二維模型擴(kuò)展為三維模型; 最后簡(jiǎn)單介紹本文采用的孤子內(nèi)波模型.

2.1 C-SNAP模型

C-SNAP模型是由Ferla等[15]提出的,它是一個(gè)二維單向傳播耦合簡(jiǎn)正波模型.如圖1所示,對(duì)于水平變化波導(dǎo)問(wèn)題,我們將波導(dǎo)中水平變化區(qū)域在距離上分為若干段,每一段均視為水平不變的波導(dǎo)環(huán)境.

圖1 水平變化波導(dǎo)(紅色虛線(xiàn))的階梯近似Fig.1.Stair step approximation of a sloping bottom (red dashed line).

首先考慮柱坐標(biāo)系下的二維點(diǎn)源問(wèn)題.取時(shí)間因子 exp(iωt) ,第j段(Sj)內(nèi)的聲場(chǎng)可以表示為：

其中 Mj為第j段簡(jiǎn)正波號(hào)數(shù),rj-1和 rj分別為第j段的左邊界和右邊界是0階第二類(lèi)Hankel函數(shù)分別是第j段中第m號(hào)簡(jiǎn)正波的水平波數(shù)和本征函數(shù).在第一段(S1)中,設(shè)定 rj-1=r1,則第一段的模式系數(shù)為

其中 zs表示聲源深度.

C-SNAP模型利用Collins和Westwood[16]提出的阻抗匹配邊界條件以取得更高的精度.考慮第j個(gè)豎直邊界(Sj和 Sj+1之間的邊界),注意到在 Sj+1段的左邊界上約化Hankel函數(shù)的值為1,因此在邊界 r=rj上有如下邊界條件：

對(duì)(3)式兩側(cè)均施加如下運(yùn)算：

并利用簡(jiǎn)正波本征函數(shù)的正交歸一性質(zhì),可以得到Sj+1中模式系數(shù)的表達(dá)式：

將(1)式代入(5)式可得

由(6)式可知,只需要前一段隨深度變化的聲壓和本段的本征函數(shù)就可以得到本段的模式系數(shù).

下面考慮直角坐標(biāo)系中的二維線(xiàn)源問(wèn)題.將第j段(Sj)中的聲場(chǎng)表示為

第一段中的模式系數(shù)為

類(lèi)似于點(diǎn)源問(wèn)題,可以得到如下所示的第j個(gè)豎直邊界上的阻抗匹配邊界條件：

對(duì)（9）式兩側(cè)均施加(4)式中的運(yùn)算,并利用簡(jiǎn)正波本征函數(shù)的正交歸一性質(zhì),可以得到 Sj+1段的模式系數(shù)：

以上即為C-SNAP模型的理論基礎(chǔ),由此可以看出,C-SANP是一個(gè)利用阻抗匹配邊界條件的二維單向傳播耦合簡(jiǎn)正波模型.當(dāng)反向散射可以忽略時(shí),C-SNAP模型可以快速得到比較精確的聲場(chǎng)近似解.

2.2 三維單向耦合簡(jiǎn)正波模型

笛卡爾坐標(biāo)系下三維亥姆霍茲方程為[17]：

點(diǎn)源坐標(biāo)為 (xs,0,zs).本文使用如下傅里葉變換對(duì)

對(duì)(11)式兩側(cè)同時(shí)施加運(yùn)算

可得

二維線(xiàn)源的亥姆霍茲方程為[17,14]

通過(guò)比較(15)式和(16)式,發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)方程形式相同,只不過(guò)(15)式中左側(cè)第三項(xiàng)的因子為因而(16)式中對(duì)應(yīng)的因子為 k2.對(duì)于不同的 ky值,可以用二維模型得到對(duì)應(yīng)的二維線(xiàn)源解這樣,可以先計(jì)算一系列然后經(jīng)過(guò)反傅里葉變換就可以得到三維聲場(chǎng)解p(x,y,z).

由上可知,為了得到三維聲壓 p(x,y,z) ,需要對(duì) ky進(jìn)行積分.為了避免數(shù)值溢出問(wèn)題,我們利用圍線(xiàn)積分來(lái)代替實(shí)軸上的積分[18,19]，積分路徑如下所示(參見(jiàn)圖2)：

在該積分路徑上,(13)式變?yōu)?/p>

其中 δ=1/(6Δs) ,Δs=(kmax-kmin)/(Ns-1),ε=3Δs/(2πl(wèi)oge),Ns表示總積分采樣點(diǎn)數(shù).

圖2 反傅里葉變換的積分圍線(xiàn)(圓圈代表簡(jiǎn)正波的本征值,即水平波數(shù))Fig.2.Complex integration contour for evaluation of the wavenumber integral.The dots indicate horizontal wavenumbers of the normal modes.

由于本文提出的三維模型是對(duì)二維模型利用傅里葉變換技術(shù)擴(kuò)展得到的,因此該三維模型的精度和計(jì)算效率是由二維模型決定的.由后面給出的數(shù)值算例結(jié)果可以看出,對(duì)于孤子內(nèi)波問(wèn)題,相對(duì)于DGMCM2D模型,C-SNAP模型能夠提供比較精確的數(shù)值解,然而在計(jì)算效率上C-SNAP則至少提高了一個(gè)數(shù)量級(jí).一般情況下由于孤子內(nèi)波的反向散射可以忽略不計(jì),本文提出的三維模型能夠快速提供比較精確的孤子內(nèi)波問(wèn)題的三維聲場(chǎng)結(jié)果.

2.3 孤子內(nèi)波模型

假設(shè)孤子內(nèi)波的波陣面為平面,海面為理想邊界條件,海底為半液態(tài)介質(zhì),如果滿(mǎn)足淺海條件,則單個(gè)孤子內(nèi)波KdV方程的雙曲正割剖面解為[2]

其中 Δ 代表波包寬度,A0為孤子內(nèi)波的幅度,x0=vt為孤子內(nèi)波波包的位置,v是孤子內(nèi)波的傳播速度.

3 數(shù)值模擬

下面首先考慮平海底條件下存在孤子內(nèi)波的情況,以驗(yàn)證本文提出的三維模型的計(jì)算精度與效率; 然后考慮同時(shí)存在內(nèi)波和海脊,且海脊高度相對(duì)較小的情況.在下面的數(shù)值計(jì)算中,利用雙向耦合簡(jiǎn)正波模型DGMCM2D和DGMCM3D提供二維和三維聲場(chǎng)的標(biāo)準(zhǔn)解.

3.1 聲速剖面

考慮淺海負(fù)溫躍層的波導(dǎo)環(huán)境,聲速剖面表達(dá)式為

其中 ξ=-5(m/s)/m 為溫躍層的聲速梯度,c1=1500 m/s,c2=1400 m/s,z1=20m ,z2=40m ,H=100m.海底聲速,密度和吸收系數(shù)分別為2000 m/s,2.0 g/cm3和0.1 dB/λ.

圖3給出了用于數(shù)值模擬的波導(dǎo)環(huán)境.圖3(a)為無(wú)孤子內(nèi)波時(shí)的淺海負(fù)溫躍層的聲速剖面; 圖3(b)給出了存在孤子內(nèi)波時(shí)的聲速剖面,孤子內(nèi)波波包在距聲源4 km處,其中 A0=20m ,Δ=100m ,x0=4km; 圖3(c)為同時(shí)存在孤子內(nèi)波和海脊時(shí)的波導(dǎo)環(huán)境,海脊在距聲源6 km處.聲源和接收器的深度分別為10 m和70 m,聲源頻率為25 Hz.

3.2 孤子內(nèi)波問(wèn)題的二維聲場(chǎng)結(jié)果

圖4給出在無(wú)孤子內(nèi)波和存在孤子內(nèi)波時(shí)DGMCM2D和C-SANP得到的兩組二維聲場(chǎng)計(jì)算結(jié)果,其中雙向耦合簡(jiǎn)正波模型DGMCM2D被用作標(biāo)準(zhǔn)模型.從該圖可以看出：

1)兩組結(jié)果存在較大差異,表明孤子內(nèi)波的存在對(duì)聲傳播有顯著影響;

圖3 二維聲速剖面示意圖 (a)無(wú)孤子內(nèi)波的聲速剖面;(b)孤子內(nèi)波位于4 km處的聲速剖面; (c)孤子內(nèi)波位于4 km處,海脊位于6 km處的聲速剖面Fig.3.Sound speed fields considered in this paper：(a) The background sound speed field; (b) in the presence of an internal wave soliton,centered at range 4 km from the source;(c) in the presence of both an internal wave soliton centered at 4 km and a cosine-bell shaped bottom ridge centered at 6 km from the source.

2)兩組結(jié)果在4 km (孤子內(nèi)波位置)之前基本重合,表明孤子內(nèi)波產(chǎn)生的反向散射可以忽略不計(jì);

3)在每組結(jié)果中,C-SNAP與DGMCM2D的結(jié)果基本一致,表明對(duì)于該問(wèn)題,C-SNAP的結(jié)果具有非常高的計(jì)算精度.

此外,對(duì)于該問(wèn)題,DGMCM2D和C-SNAP的運(yùn)行時(shí)間分別為94.7 s和5.3 s,可見(jiàn)C-SNAP在計(jì)算效率上比DGMCM2D至少提高了一個(gè)數(shù)量級(jí).因此,本文提出的三維模型更適于計(jì)算內(nèi)波問(wèn)題的三維聲場(chǎng).

圖4 孤子內(nèi)波環(huán)境下DGMCM2D和C-SNAP在70 m深度傳播損失曲線(xiàn) 藍(lán)色實(shí)線(xiàn)和紅色虛線(xiàn)分別表示無(wú)孤子內(nèi)波時(shí)DGMCM2D和C-SNAP的計(jì)算結(jié)果,綠色和枚紅色虛線(xiàn)分別表示孤子內(nèi)波波包在4 km時(shí)DGMCM2D和CSNAP的計(jì)算結(jié)果,黑色虛線(xiàn)表示孤子內(nèi)波波包位置Fig.4.Transmission loss results for the internal solitary wave problem computed by DGMCM2D and C-SNAP.The blue solid line and red dashed line are the results by DGMCM2D and C-SNAP for the case without internal waves,respectively,and the green and magenta dashed lines are the results by DGMCM2D and C-SNAP for the case with a soliton located at range 4 km,respectively.The black dashed line indicates the center of the soliton.

3.3 孤子內(nèi)波問(wèn)題的三維聲場(chǎng)結(jié)果

此處三維雙向耦合簡(jiǎn)正波模型DGMCM3D被用作標(biāo)準(zhǔn)模型.圖5分別給出DGMCM3D和本文提出的三維模型在70 m深度水平面上的三維聲場(chǎng)計(jì)算結(jié)果.圖6給出縱向距離 y=0km ,深度z=70m的隨距離x的傳播損失曲線(xiàn).從圖5和圖6可以看出本文提出的三維模型的結(jié)果與DGMCM3D的結(jié)果非常一致,表明本文提出的三維模型對(duì)內(nèi)波問(wèn)題具有非常高的計(jì)算精度.此外,DGMCM3D和C-SNAP3D的計(jì)算時(shí)間分別為1616.2 min和94.45 min.此外,圖5中在內(nèi)波以遠(yuǎn)的區(qū)域發(fā)現(xiàn)除了與距離有關(guān)的干涉現(xiàn)象,還存在明顯的與角度有關(guān)的干涉現(xiàn)象.

3.4 同時(shí)存在孤子內(nèi)波和海脊時(shí)的三維聲場(chǎng)結(jié)果

為了驗(yàn)證本模型適用于反向散射很弱的一般水平變化波導(dǎo)問(wèn)題,考慮孤子內(nèi)波和海脊同時(shí)存在的情況.圖7是三維海底地形圖,海脊在距聲源處,截面形狀為寬度100 m,高度10 m的余弦函數(shù),海底深度可以表示為：

選擇高度較小的海脊來(lái)保證反向散射可以忽略.圖8給出DGMCM2D模型和C-SNAP模型在70 m深度的隨距離變化傳播損失曲線(xiàn),可以看出兩組計(jì)算結(jié)果基本一致,表明海脊高度為10 m時(shí)反向散射可以忽略不計(jì).對(duì)于存在海底起伏的情況,如下因素會(huì)綜合影響反向散射強(qiáng)度：斜坡角度、斜坡高度、斜坡海底聲阻抗與海水聲阻抗的比值等.文獻(xiàn)[20]對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行了比較詳盡的討論.

圖9分別給出DGMCM3D模型和本文提出的三維模型得到的三維聲場(chǎng)計(jì)算結(jié)果,可以看出兩者非常一致,表明本文提出的三維模型也適用于反向散射可以忽略的一般水平變化波導(dǎo)問(wèn)題.此外,DGMCM3D和C-SNAP3D的計(jì)算時(shí)間分別為4778.8 min和324.3 min.

圖5 70 m深度水平面上的三維傳播損失結(jié)果 (a) DGMCM3D的結(jié)果; (b)本文提出的三維模型的結(jié)果,黑色虛線(xiàn)代表孤子內(nèi)波波包的位置Fig.5.Three-dimensional transmission loss results in the horizontal plane at depth 70 m computed by (a) DGMCM3D and (b) the present 3D model.The center location of the internal wave is indicated by dashed black lines.

圖6 縱向距離 y=0km ,深度z=70 m,隨距離傳播的損失曲線(xiàn),藍(lán)色實(shí)線(xiàn)和紅色虛線(xiàn)分別為DGMCM3D和本文提出的三維模型的結(jié)果Fig.6.Transmission loss lines versus range along the crossrange y=0km at depth z=70 m computed by DGMCM3D (the blue,solid curve) and the present 3D model(the red,dashed curve).

圖7 海底存在海脊的水平變化波導(dǎo)示意圖Fig.7.Geometry of a range-dependent waveguide with a bottom ridge.

圖8 孤子內(nèi)波和海脊同時(shí)存在時(shí)深度70 m處的二維傳播損失結(jié)果,其中藍(lán)色實(shí)線(xiàn)為DGMCM2D結(jié)果,紅色虛線(xiàn)為C-SNAP結(jié)果Fig.8.Two-dimensional transmission loss results at a depth of 70 m for the problem involving a solitary internal wave as well as a bottom ridge by DGMCM2D (the blue,solid curve) and C-SNAP (the red,dashed curve).

圖9 同時(shí)存在孤子內(nèi)波和海脊時(shí)深度70 m水平平面上的三維傳播損失 (a) DGMCM3D結(jié)果; (b)本文提出的三維模型的結(jié)果.黑色和紅色虛線(xiàn)分別表示孤子內(nèi)波波包和海脊中心的位置Fig.9.Three-dimensional transmission loss results in the horizontal plane at depth of 70 m in the presence of a solitary internal wave as well as a bottom ridge computed by(a) DGMCM3D and (b) the present 3D model.The center locations of the internal wave and the ridge are indicated by dashed black and red lines,respectively.

4 結(jié) 論

作為一種二維單向耦合簡(jiǎn)正波模型,C-SNAP在處理二維水平變化波導(dǎo)問(wèn)題時(shí)具有非常高的計(jì)算效率.本文將其擴(kuò)展為一個(gè)高效的三維耦合簡(jiǎn)正波模型,對(duì)孤子內(nèi)波等反向散射非常弱的問(wèn)題,該模型能夠提供高效精確的三維聲場(chǎng)結(jié)果.

本文數(shù)值模擬了存在孤子內(nèi)波時(shí)的三維聲場(chǎng).由于一般情況下孤子內(nèi)波產(chǎn)生的反向散射可以忽略不計(jì),本模型三維結(jié)果與DGMCM3D的結(jié)果非常一致,然而本三維模型在計(jì)算效率上比DGMCM3D至少提高了一個(gè)數(shù)量級(jí).此外,從本文考慮的數(shù)值算例結(jié)果我們發(fā)現(xiàn)由于孤子內(nèi)波的影響,在孤子內(nèi)波后方區(qū)域可能會(huì)出現(xiàn)依賴(lài)于角度的相干干涉.最后,在孤子內(nèi)波和海脊同時(shí)存在的條件下驗(yàn)證了當(dāng)反向散射可以忽略時(shí),本文提出的三維模型也適用于一般的水平變化波導(dǎo)問(wèn)題.