妙用圓巧解線段最值問題

江蘇省鎮(zhèn)江科技新城實(shí)驗(yàn)學(xué)校 趙妍珊

該類問題看似是與圓無關(guān)的幾何最值問題，但是可以運(yùn)用圓的定義找出圓的模型。因此該類問題的關(guān)鍵就變成了找動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，使得問題雖然沒有圓出現(xiàn)，但是卻勝過有圓，以此運(yùn)用構(gòu)造法構(gòu)造出圓，從而提升學(xué)生的解題能力。

一、定長(zhǎng)定點(diǎn)找圓

根據(jù)教材對(duì)圓的定義可知，平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形叫作圓。根據(jù)上述定義，只要能夠找到某一動(dòng)點(diǎn)在移動(dòng)時(shí)與同一定點(diǎn)的距離相等，即找出了以定點(diǎn)為圓心，以定長(zhǎng)為半徑的圓，再利用圓外一點(diǎn)和圓上一點(diǎn)的距離求出最值問題。

例1：如圖1，在邊長(zhǎng)為2 的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD邊的中點(diǎn)，N是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿MN所在直線翻折得△A'MN，連接A'C，則A'C長(zhǎng)度的最小值為多少？

圖1

圖2

反思：上述例題看似很復(fù)雜無處下手，但是仔細(xì)審視題目可以發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)N與不動(dòng)點(diǎn)M之間的長(zhǎng)度為定值，由此根據(jù)圓的定義得到“隱形圓”，在確定圓的圓心和半徑后，就可以根據(jù)所求問題適時(shí)作輔助線。因此學(xué)生在面對(duì)該類問題時(shí)可以首先考慮題目中是否有隱含條件，如果有就可以在途中作出來，再觀察題目求解線段的最值。

二、定弦定角找圓

在求解線段最值問題時(shí)，往往會(huì)出現(xiàn)多個(gè)動(dòng)點(diǎn)的情況，如果此時(shí)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)同時(shí)考慮，學(xué)生會(huì)出現(xiàn)思維混亂、考慮不全面或者出現(xiàn)重復(fù)的情況，因此該類問題在考慮時(shí)可以“定一動(dòng)一”，或略過題目本身的多動(dòng)點(diǎn)而重新確定動(dòng)點(diǎn)輔助解題。

例2：如圖3，E、F是正方形ABCD的邊AD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足AE=DF。連接CF交BD于點(diǎn)G，連接BE交AG于點(diǎn)H。若正方形的邊長(zhǎng)為2，則線段DH長(zhǎng)度的最小值多少？

圖3

圖4

反思：上述例題雖然也沒有提到圓，且存在多個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直接從兩動(dòng)點(diǎn)出發(fā)，很顯然無形中增加了該題的難度，但是如果在求解時(shí)可以忽略兩動(dòng)點(diǎn)，重新確定動(dòng)點(diǎn)的方法找出隱形圓，那么該題就迎刃而解了。因此學(xué)生在求解多動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)可以考慮另辟蹊徑，重新確定動(dòng)點(diǎn)來求解。

三、運(yùn)用旋轉(zhuǎn)軌跡找圓

旋轉(zhuǎn)是幾何體中常遇到的變換方式，而大部分同學(xué)對(duì)于該種變換理解不清，學(xué)生在解題之前應(yīng)明確旋轉(zhuǎn)所帶來的等量關(guān)系，包括線段相等、角度對(duì)應(yīng)、面積不變等關(guān)系，而這些都是接下來解題的關(guān)鍵。其次，旋轉(zhuǎn)必然存在旋轉(zhuǎn)角度、旋轉(zhuǎn)軌跡，多數(shù)情況下旋轉(zhuǎn)軌跡為弧，而弧是圓的一部分，因此學(xué)生在解決該類問題時(shí)可以優(yōu)先考慮找“隱形圓”。

圖5

圖6

例3：如圖5，在Rt △ABC中，∠ACB=90°，將△ABC繞定點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△A'B'C，M是BC的中點(diǎn)，P是A'B'的中點(diǎn)，連接PM,若BC=2，∠BAC=30°。求線段PM的最小值和最大值。

解 析： 由 題 可 得AB=A'B'=4， 點(diǎn)P為A'B' 的 中 點(diǎn)， 則CP=CB=2,即可得以點(diǎn)C為圓心，以CB為半徑的圓，圓內(nèi)一點(diǎn)到圓上各點(diǎn)的連線中,點(diǎn)與過圓心的直線與圓近交點(diǎn)距離最短,遠(yuǎn)交點(diǎn)距離最長(zhǎng)。根據(jù)圓內(nèi)一點(diǎn)與圓上點(diǎn)間的關(guān)系可得點(diǎn)P與點(diǎn)M間的距離關(guān)系有三種可能，如圖7 所示，故線段PM的最小值為MP=CPCM=1，線段PM的最小值為MP=CM+CP=1+2=3。

圖7

反思：該類問題中，學(xué)生需要理解清題意，明確圖形變換方式以及導(dǎo)致的變與不變，理清這些后方能找出關(guān)系，明確解題思路。旋轉(zhuǎn)帶來的弧是圓的一部分，因此可以考慮將這個(gè)旋轉(zhuǎn)弧“擴(kuò)展”為圓，為接下來的解題提供思路。

綜上所述，“隱形圓”普遍運(yùn)用于線段最值問題中，而一旦找到了“隱形圓”，問題也就迎刃而解。因此，學(xué)生在面對(duì)該類問題時(shí)首先應(yīng)確定變量、定量、線段間的對(duì)應(yīng)關(guān)系等，并由此觀察思考半徑與圓心的可能存在形式，就此確定圓的位置，解決問題。