盧芳芳

（浙江省寧波外國(guó)語(yǔ)學(xué)校）

分類(lèi)討論是數(shù)學(xué)中的一種重要思想.有關(guān)分類(lèi)討論的問(wèn)題具有明顯的探索性、邏輯性、綜合性，能夠訓(xùn)練人的思維條理性和概括性，對(duì)理性思維的要求較高.事實(shí)上，有的問(wèn)題結(jié)論不能唯一確定，有的問(wèn)題在解題中不能用統(tǒng)一的形式進(jìn)行研究.所以，我們?cè)诮獯疬@些問(wèn)題時(shí)，按照一定的標(biāo)準(zhǔn)或原則進(jìn)行分類(lèi)，然后逐類(lèi)討論，再把這幾類(lèi)的結(jié)論匯總，最終解決問(wèn)題，這就是分類(lèi)討論.

人的思維一般是從感性思維開(kāi)始，經(jīng)過(guò)不斷的深化、發(fā)展、實(shí)踐、檢驗(yàn)，最終得出概念清晰、邏輯嚴(yán)謹(jǐn)?shù)拇_定性結(jié)論，從而形成理性思維.理性思維是人類(lèi)思維的高級(jí)形式.它具有明確的思維方向，能夠把握事物或問(wèn)題的本質(zhì)和客觀規(guī)律.初中生的思維在很大程度上還屬于經(jīng)驗(yàn)型，他們的邏輯思維受感性經(jīng)驗(yàn)的直接影響.隨著學(xué)習(xí)內(nèi)容的不斷加深和抽象概括水平的逐步提高，學(xué)生才慢慢學(xué)會(huì)撇開(kāi)具體事物，運(yùn)用概念和假設(shè)進(jìn)行思維活動(dòng).

分類(lèi)討論問(wèn)題是提升理性思維良好的載體.分類(lèi)討論將復(fù)雜的問(wèn)題分解成若干個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題，不重復(fù)又不遺漏，其中最重要的環(huán)節(jié)就是確定分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn).本文研究的重點(diǎn)就是探究學(xué)生在分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)方面存在的幾大類(lèi)問(wèn)題，以及如何用理性思維來(lái)解決這些問(wèn)題.

一、先入為主導(dǎo)致忽視分類(lèi)討論

忽視分類(lèi)是分類(lèi)討論問(wèn)題中最常見(jiàn)也是最致命的錯(cuò)誤.造成這個(gè)錯(cuò)誤的原因很簡(jiǎn)單，那就是學(xué)生還不具備分類(lèi)討論的意識(shí)，只有在不斷跌、倒爬起的過(guò)程中，通過(guò)理性分析才能建立起對(duì)于分類(lèi)討論最基本的認(rèn)知.

例1已知，⊙O的半徑為1，△ABC為圓內(nèi)接三角形，且，求∠A的度數(shù).

大家知道，在題目未給出圖形的情況下，解題的第一要?jiǎng)?wù)自然是畫(huà)圖.不過(guò)，即便畫(huà)了圖，由于對(duì)于三角形認(rèn)識(shí)上的先入為主，學(xué)生在畫(huà)圓內(nèi)接三角形時(shí)，會(huì)習(xí)慣性地畫(huà)成如圖1所示的銳角三角形，然后得出結(jié)果.顯然，這個(gè)解答并不完整.

圖1

理性分析：很多幾何問(wèn)題，如果原題沒(méi)有給出圖形，那么問(wèn)題的解決常常要涉及分類(lèi)討論.雖然上面提到的不完整解答是由于學(xué)生習(xí)慣性地畫(huà)了一個(gè)銳角三角形導(dǎo)致，但問(wèn)題的根源卻不在于是銳角三角形或是鈍角三角形，而是在弦BC確定的情況下，其所對(duì)的弧有兩條，即劣弧和優(yōu)弧.∠A所對(duì)的弧到底是哪一條不確定，或者說(shuō)點(diǎn)A的位置落在BC哪一側(cè)不得而知，進(jìn)而導(dǎo)致了如下的分類(lèi)討論.

如圖2，（1） ∠A1所對(duì)的弧是劣弧（點(diǎn)A1在弦BC上方）；（2） ∠A2所對(duì)的弧是優(yōu)?。c(diǎn)A2在弦BC下方）.

圖2

例2已知關(guān)于x的方程ax2-x-2=0有解，求a的取值范圍.

這是一個(gè)經(jīng)典的“錯(cuò)錯(cuò)得對(duì)”問(wèn)題.如果作為填空題，很多學(xué)生可能就輕松過(guò)關(guān)，但作為解答題，估計(jì)看到教師打了叉，學(xué)生還一臉茫然.通過(guò)計(jì)算，這個(gè)方程的判別式為Δ=1+8a.因?yàn)榉匠逃薪?，所?+8a≥0，即得.答案是對(duì)的，解答過(guò)程卻是完全錯(cuò)誤的.

理性分析：這個(gè)問(wèn)題需要進(jìn)行分類(lèi)討論來(lái)解決.究其原因，學(xué)生需要具備對(duì)方程概念的理解及對(duì)字母系數(shù)的敏銳感知.判別式的適用對(duì)象是一元二次方程，當(dāng)二次項(xiàng)的系數(shù)是字母時(shí)，其取值不能保證不為0，也就不能保證二次項(xiàng)的存在，也就不能確保該方程為一元二次方程，所以我們必須對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行如下分類(lèi)討論.

（1）當(dāng)a≠0時(shí)，原方程為一元二次方程，由Δ=1+8a，且方程有解，得1+8a≥0，即得.此時(shí)，且a≠0.

（2）當(dāng)a=0時(shí)，原方程為-x-2=0，此為一元一次方程，解得x=-2.符合條件，此時(shí)a=0.

答案雖然跟之前一樣，但是非曲直，一目了然.

【反思】數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，每個(gè)公式、定理都有其成立的條件，每一種數(shù)學(xué)方法都有其適用范圍.一般地，當(dāng)問(wèn)題涉及以下情形：由數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)本身引起的分類(lèi)，或者當(dāng)某些量的大小或符號(hào)不能確定時(shí)，又或者圖形位置、形狀不確定等情況，我們就要考慮分類(lèi)討論.表現(xiàn)在具體的問(wèn)題中，如遇到絕對(duì)值問(wèn)題、字母方程、二次函數(shù)最值問(wèn)題、三角形“高”的問(wèn)題、有關(guān)等腰三角形或圓的問(wèn)題、動(dòng)態(tài)問(wèn)題等，分類(lèi)討論在所難免.達(dá)到了這個(gè)認(rèn)知程度，分類(lèi)討論的意識(shí)也就慢慢形成了.

二、習(xí)慣列舉導(dǎo)致分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)缺失

即便很多學(xué)生有了初步的分類(lèi)討論的意識(shí)，但離學(xué)會(huì)分類(lèi)討論還有一段距離.以列舉的形式進(jìn)行分類(lèi)討論是初級(jí)階段的學(xué)生經(jīng)常做的一件事情.這里所說(shuō)的列舉，就是想到一種算一種，直至想不出來(lái)為止.

例3要在直角邊為3，4的直角三角形的材料中剪出一個(gè)正方形，使其頂點(diǎn)落在原三角形的邊上，求這個(gè)正方形的邊長(zhǎng).

首先要確定裁剪方案，由于方案的不確定性，進(jìn)行分類(lèi)討論顯得非常自然.但是，很多學(xué)生只是經(jīng)過(guò)嘗試，得到如圖3和圖4所示的兩種方案，如果問(wèn)其還有沒(méi)有其他方案，回答可能是不知道或不確定.因?yàn)檫@種分類(lèi)只是建立在感性思維的基礎(chǔ)上，解答的完成全憑運(yùn)氣和感覺(jué).

圖3

圖4

理性分析：要使正方形的頂點(diǎn)落在三角形的邊上，四個(gè)頂點(diǎn)落在三條邊上，那么至少有兩個(gè)頂點(diǎn)落在同一條邊上，分類(lèi)也就由此產(chǎn)生.

（1）當(dāng)兩個(gè)頂點(diǎn)落在三角形直角邊BC上時(shí)，易得正方形的一個(gè)頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，如圖3所示；

（2）當(dāng)兩個(gè)頂點(diǎn)落在三角形直角邊AC上時(shí)，同（1），略；

（3）當(dāng)兩個(gè)頂點(diǎn)落在三角形斜邊AB上時(shí)，如圖4所示.

由于情況相對(duì)比較簡(jiǎn)單，有人會(huì)認(rèn)為這種列舉式的分類(lèi)討論未嘗不可，至少結(jié)果是對(duì)的.但是這種建立在感性思維上的方式對(duì)于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是很不利的，長(zhǎng)此以往，思維的層次得不到提升，錯(cuò)誤也像不定時(shí)炸彈一樣處處存在.請(qǐng)看下面一個(gè)例子.

例4如圖5，已知四邊形ABCD，AD∥CB，AD＜BC，AB=8，CD=10，小明將該紙片疊合，折疊后的圖形恰好拼合成無(wú)縫隙、無(wú)重疊的正方形，試幫忙畫(huà)出示意圖，并直接寫(xiě)出AD，BC的長(zhǎng).

單純以列舉的方式解此題很容易漏解.如果通過(guò)理性的分析，情況就會(huì)好很多.

理性分析：類(lèi)似于例3的分析，拼合成的正方形頂點(diǎn)必須落在原梯形的四條邊上，可以進(jìn)行如下分類(lèi).

（1）當(dāng)正方形的每個(gè)頂點(diǎn)落在梯形的各條邊上時(shí)，綜合分析，得到如圖6所示的拼合形式；

圖5

圖6

（2）當(dāng)正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)落在梯形的同一條邊上時(shí).

①當(dāng)正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)落在梯形上底AD上時(shí)，此情形不存在；

②當(dāng)正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)落在梯形下底BC上時(shí)，綜合分析，此時(shí)正方形的一個(gè)頂點(diǎn)與點(diǎn)B重合，得到如圖7所示的拼合形式；

圖7

③當(dāng)正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)落在梯形一腰AB上時(shí)，綜合分析，同②，略；

④當(dāng)正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)落在梯形另一腰CD上時(shí)，綜合分析，得到如圖8所示的拼合形式.

圖8

【反思】將漫無(wú)目的的尋找轉(zhuǎn)化為理性的分析.不確定分類(lèi)討論的標(biāo)準(zhǔn)，以列舉的方式進(jìn)行各種情況的討論很容易引起情況的重復(fù)和遺漏.這種錯(cuò)誤的產(chǎn)生，是對(duì)分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)必須先行的意識(shí)的缺失或是標(biāo)準(zhǔn)制定困難導(dǎo)致.分類(lèi)討論的標(biāo)準(zhǔn)是分類(lèi)討論問(wèn)題中的指引和方向，而方向決定了結(jié)果.只有在分類(lèi)之前明確標(biāo)準(zhǔn)，才能讓解決問(wèn)題變得有的放矢，有根有據(jù)，條理清晰，層次分明.

三、模棱兩可導(dǎo)致分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)錯(cuò)誤

具備確定分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)的意識(shí)很重要，但是，如果分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)錯(cuò)誤，那問(wèn)題就嚴(yán)重了.

例5已知∠AOB=90°，將OC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，分別作∠AOC，∠BOC的平分線OM，ON，能否求出∠MON的度數(shù).若能，求出其值；若不能，試說(shuō)明理由.

這是一個(gè)經(jīng)典的角度計(jì)算問(wèn)題，常見(jiàn)分類(lèi)如下.（有些參考答案只給出圖形，不具體說(shuō)明分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn).）

（1）如圖9，當(dāng)射線OC在∠AOB的內(nèi)部時(shí)；

圖9

圖10

（2）如圖10，當(dāng)射線OC在∠AOB的外部且在邊OB的逆時(shí)針?lè)较驎r(shí)；

（3）如圖11，當(dāng)射線OC在∠AOB的外部且在邊OA的順時(shí)針?lè)较驎r(shí).

綜上所述，得到∠MON恒等于45°，即為∠AOB度數(shù)的一半.

圖11

乍一看，這個(gè)“三合一”的解答堪稱(chēng)完美，但是，這個(gè)分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)是錯(cuò)誤的，結(jié)論自然也是錯(cuò)誤的.

理性分析：如圖12，OA為角的始邊，OB為角的終邊，OB繞著點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α形成了∠AOB，當(dāng) 0°＜α≤180°時(shí)，∠AOB=α；當(dāng)180°＜α＜360°時(shí)，∠AOB=360°-α.既然α=180°是一個(gè)臨界狀態(tài)，那么在給定一個(gè)角的情況下，射線在角所在平面繞已知角的頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，我們應(yīng)反向延長(zhǎng)角的兩邊，將角所在的平面分成四個(gè)部分.

圖12

如圖13，此為分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn).其中一種情況為：如圖14，當(dāng)射線OC在∠EOF內(nèi)部時(shí)，∠MON=∠MOC+∠NOC，.由這個(gè)問(wèn)題也可以得到一般性的結(jié)論：當(dāng)∠AOB=α?xí)r，∠MON的度數(shù)為.

圖13

圖14

所以，像這種關(guān)于角在平面內(nèi)的分類(lèi)討論問(wèn)題，絕不可以用“這邊或那邊”“順時(shí)針?lè)较?、逆時(shí)針?lè)较颉弊鳛榉诸?lèi)標(biāo)準(zhǔn)，而應(yīng)該反向延長(zhǎng)角的兩邊將平面進(jìn)行準(zhǔn)確的劃分.是不是很像平面直角坐標(biāo)系？將這種分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)與坐標(biāo)系建立類(lèi)比關(guān)系也是不錯(cuò)的收獲.

【反思】分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)絕不能模棱兩可、含糊其辭，這樣的后果往往就是出現(xiàn)情況的重復(fù)或遺漏.分類(lèi)思想滲透于整個(gè)教材體系中，分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)如何確立在教材中也一直有所體現(xiàn).例如，在去絕對(duì)值時(shí)，根據(jù)概念以絕對(duì)值里面式子的正負(fù)作為分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)；在三角形分類(lèi)中，以角或者邊作為不同的標(biāo)準(zhǔn)就會(huì)引起不同的分類(lèi)，等等.但實(shí)際問(wèn)題中的分類(lèi)要復(fù)雜一些，分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)確立以后，如果對(duì)某一種情形不能準(zhǔn)確歸類(lèi)，則錯(cuò)誤必定已然發(fā)生.此時(shí)，我們應(yīng)該理性思考，找出問(wèn)題的根源所在，根據(jù)對(duì)象本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，重新確定科學(xué)、合理的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn).

四、慣性思維導(dǎo)致分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)欠佳

很多事物都有優(yōu)劣之分，分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)也不例外.如果選擇的標(biāo)準(zhǔn)不佳，問(wèn)題就會(huì)變得復(fù)雜很多，討論層次也會(huì)隨之增加，對(duì)于得到的各種情況更是不知所措.所以，我們要先捋順?biāo)悸罚_定問(wèn)題的生成狀態(tài)，才能得到合理的分類(lèi).

例6在面積為15的?ABCD中，過(guò)點(diǎn)A作AE垂直于直線BC于點(diǎn)E，作AF垂直于直線CD于點(diǎn)F，AB=5，BC=6，求CE+CF的值.

顯然，這是一個(gè)涉及到“高”的問(wèn)題.三角形的“高”不像中線和角平分線那么“規(guī)矩”，后兩者無(wú)論三角形形狀怎么變，它們都在三角形形內(nèi)，而高可以在三角形形內(nèi)、形上和形外，視三角形的具體形狀而定.同樣，平行四邊形的高也是如此.因此要對(duì)“高”的位置進(jìn)行討論，這是慣性思維.從兩條高的位置出發(fā)，經(jīng)過(guò)分析，最終可以得到如圖15～圖18所示的四種情況.不過(guò)，如果想得到正確的解答，還需要在得到四個(gè)解之后，通過(guò)最后的檢查、驗(yàn)證才行，沒(méi)有這個(gè)步驟，很有可能把錯(cuò)誤的解留到最后.

圖15

圖16

圖17

圖18

理性分析：從此題的條件中，我們可以得到邊BC上的高為2.5.如圖19，點(diǎn)A可以在與邊BC距離為2.5的平行線上找（考慮一側(cè)即可）.在BC確定的情況下確定點(diǎn)A的位置，只要找出以點(diǎn)B為圓心、5為半徑的弧與之前的平行線的交點(diǎn)即可.顯然，點(diǎn)A有兩種情況，分類(lèi)討論隨著圖形的生成自然而生.

圖19

根據(jù)此題的條件，我們發(fā)現(xiàn)邊BC上的高2.5恰好為5的一半，因此可以通過(guò)角度刻畫(huà)來(lái)確定標(biāo)準(zhǔn)，如用∠B=30°或150°這兩種情況進(jìn)行分類(lèi)討論.特別提醒，此時(shí)圖形被確定下來(lái)，故這個(gè)問(wèn)題只有兩種情形而不是上面分類(lèi)中的四種.可想而知，之前的四種分類(lèi)中有兩種情況根本不存在.

（1）當(dāng)∠B=30°時(shí)，如圖20所示；

圖20

圖21

（2）當(dāng)∠B=150°時(shí)，如圖21所示.

【反思】在沒(méi)有圖形的基礎(chǔ)上，先畫(huà)圖是理所當(dāng)然的.但是，不考慮圖形的生成過(guò)程，盲目分類(lèi)是不可取的.問(wèn)題的提出有其本身的規(guī)律和內(nèi)涵，根據(jù)條件的給出，運(yùn)用理性思維確定問(wèn)題的生成狀態(tài)，掌握問(wèn)題的發(fā)展過(guò)程，是進(jìn)行合理分類(lèi)的先決條件.事實(shí)表明，問(wèn)題最后的呈現(xiàn)方式也許錯(cuò)綜復(fù)雜，但是它的生成狀態(tài)卻是明確的，所以從根源和走向出發(fā)的分類(lèi)才是明智的分類(lèi).

五、結(jié)束語(yǔ)

分類(lèi)討論作為貫穿整個(gè)初中階段的重要的數(shù)學(xué)思想方法，幾乎涉及了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方方面面.分類(lèi)討論對(duì)于學(xué)生理性思維能力的發(fā)展和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高等都有舉足輕重的作用.學(xué)會(huì)分類(lèi)討論，不應(yīng)輕而易舉地“分”，而是千方百計(jì)地確定“怎么分”“分幾類(lèi)”.

數(shù)學(xué)是理性思維的學(xué)科，數(shù)學(xué)教育自然要以理性思維育人.在平時(shí)的教學(xué)中，教師要注重概念的形成過(guò)程，重視過(guò)程性教學(xué)，讓學(xué)生能夠理清問(wèn)題的生成狀態(tài)，抓住問(wèn)題的本質(zhì)，學(xué)會(huì)理性思維，不輕而易舉地接受“然”，而是千方百計(jì)地弄清楚“所以然”.這樣，不管是分類(lèi)討論中的問(wèn)題，還是其他問(wèn)題，我們都可以理性分析并有效解決.

總之，在教學(xué)中，教師要讓學(xué)生學(xué)會(huì)用理性思維去分類(lèi)，同時(shí)在分類(lèi)討論中提升理性思維，這樣才能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落地生根.