白金強

（河北省高碑店市教師發(fā)展中心）

美國數(shù)學家哈爾莫斯指出：數(shù)學真正的組成部分是問題和解，解題才是數(shù)學的心臟.解題既是教學的手段又是教學的目的.解題教學的目的并不單純是為了求得問題的結(jié)果，真正的目的是為了提升學生的數(shù)學素養(yǎng)，而數(shù)學素養(yǎng)的提高要從研究題開始.

一、問題呈現(xiàn)

題目（選自2017年全國初中數(shù)學聯(lián)合競賽）如圖1，設(shè)O是四邊形ABCD的對角線AC，BD的交點，若∠BAD+∠ACB=180°，BC=3，AD=4，AC=5，AB=6，則的值為（ ）.

圖1

圖2

解法1：如圖2，過點B作BE∥AD，交AC的延長線于點E，

單從解題的角度看這道題，學生只要快速、準確選出正確答案即可.從心理學角度分析，解題只是每個人的個體行為，而對解題教學來說，教學的價值更大.因此，在日常教學中，教師應(yīng)有設(shè)問意識和應(yīng)用意識，通過設(shè)問來引發(fā)學生的深度思考，學會以研究的視角審視解題.

二、問題思考

1.理清條件，明確解題思路

（1）理解題意.

題目中的已知條件有哪些？結(jié)論是什么？

條件：∠BAD+∠ACB=180°，BC=3，AD=4，AC=5，AB=6；

（2）思路探求.

此題的關(guān)鍵條件是∠BAD+∠ACB=180°，如何圍繞這個條件尋找解題思路呢？解法1是通過作平行線巧妙地構(gòu)造出了∠BAD的補角∠ABE，再設(shè)法證明△ABE∽△ACB來求解.

思路1：①構(gòu)造∠BAD的補角；②作與有關(guān)的平行線；③構(gòu)造和△ABC相似的三角形；

思路3：解法遷移，變式拓展.

三、問題解決

思路1：借助平行（線），巧構(gòu)（補）角

圍繞此題的關(guān)鍵條件∠BAD+∠ACB=180°和所求結(jié)果，展開思路.

設(shè)問1：由聯(lián)想到學過的知識是什么？

同旁內(nèi)角互補，兩直線平行.兩直線平行，可以得出對應(yīng)線段之間的比，遺憾的是互補的兩個角不能直接推導(dǎo)出平行線.

設(shè)問2：怎么才會有這個比值呢？

顯然通過構(gòu)造平行線可以實現(xiàn)，有幾種方法呢？

解法2：如圖3，過點B作BN∥AC，交DA的延長線于點N，

圖3

還可以怎樣作輔助線呢？

解法3：如圖4，過點D作DP∥AC，交BA的延長線于點P，

則∠DAB的鄰補角∠DAP與∠BCA相等，且∠P=∠CAB.

圖4

解法4：如圖5，過點D作DQ∥AB，交AC的延長線于點Q，

則∠DAB的補角∠ADQ與∠BCA相等，且 ∠Q=∠CAB.

圖5

圖6

解法5：如圖6，過點O作OE∥AD，交AB于點E，

由∠BAD+∠ACB=180°，

容易證明∠OEA=∠ACB.

所以△OEA∽△ACB.

思路2：基于確定性，巧用面積法

設(shè)問3：與有關(guān)的三角形有哪些？

有△AOD和△AOB，△COD和△COB，△ADC和△ABC.

設(shè)問4：分析關(guān)于△ABC的已知條件，發(fā)現(xiàn)了什么？

發(fā)現(xiàn)△ABC三條邊的長度是已知的，則三角形的面積是確定的，可以求出高.所以，圍繞△ADC和△ABC的面積比來思考解題的方法，則是另一種不同的思路.

解法6：如圖7，過點C作CG⊥AB，過點B作BE⊥AC，交AC的延長線于點E，過點D作DF⊥AC.

圖7

由已知 ∠BAD+∠ACB=180°，而 ∠CAB+∠CBA+∠ACB=180°.

所以∠DAB=∠CAB+∠CBA，即∠DAC=∠ABC.

在△ACB和△ADC中，有BC=3，AC=5，AB=6，AD=4，

則CG=3sin∠ABC，DF=4sin∠DAC.

解法6的關(guān)鍵處在于利用∠BAD+∠ACB=180°發(fā)現(xiàn)了隱含條件∠DAC=∠ABC，然后利用三角函數(shù)知識求出高的表達式，通過面積比的變換完成求解.這種方法和解法1～解法5的思考角度不同，所用到的知識也不同.

思路3：解法遷移，變式拓展

前面六種解法都是基于“比例的基本性質(zhì)”這一本質(zhì)屬性展開.解法1～解法5立足于平行線段成比例，解法6則立足于通過面積比的變換來求解.教師如何帶領(lǐng)學生從日常教條式的“做出來”或“做對”走向不斷思考和深化問題，理清問題在具體情境中的復(fù)雜變化，洞悉問題本質(zhì)，大膽對解法遷移、變式拓展，對積累豐富的解題經(jīng)驗大有裨益.

如果從研究題的視角看待這一結(jié)論，首先想到的是減弱原題中的條件，看看結(jié)論會發(fā)生哪些變化.

如若去掉原題中的“若∠BAD+∠ACB=180°，BC=3，AD=4，AC=5，AB=6”，則結(jié)論會發(fā)生哪些變化？

圖8

圖9

證明：（方法1）如圖9，延長AO至點E，使OE=AC，連接DE，BE，

問題得證.

變式1：如圖10，設(shè)點O是四邊形ABCD的對角線AC，BD的交點，若∠ADC=∠CAB，AB=3，AC=4，DC=5，AD=6. 求的值.

圖10

變式2：如圖11，設(shè)點O是四邊形ADBC的對角線AB，CD的交點，若∠ACB=∠ABD，BD=3，AB=4，AC=5，BC=6，求的值.

圖11

變式1和變式2是對解法6中用到的隱含條件∠DAC=∠ABC的遷移.那么，直接給出∠ADC=∠CAB和∠ACB=∠ABD，還可以進一步變化嗎？讀者可以自己嘗試.

四、結(jié)束語

通過對一道競賽題的分析，可以給我們?nèi)缦聠⑹荆旱谝?，準確發(fā)現(xiàn)題目中的隱含條件和其中的關(guān)聯(lián)，可以獲得解題思路.第二，解題教學不能僅僅滿足于解出答案，還要思考多種解法.教師既要引導(dǎo)學生會按照一種解法平行思考（解法2～解法5），又要啟發(fā)學生從多角度思考（解法6）.第三，養(yǎng)成變式拓展研究問題的習慣，通過變式研究可以深化問題，洞悉問題的本質(zhì).教學中只有做到多層次、多角度、全方位地發(fā)現(xiàn)問題、提出問題和研究問題，才能不斷地獲得新的發(fā)現(xiàn)，積累新的解題經(jīng)驗，從而全面提升學生的數(shù)學素養(yǎng).