胡素芬

（上海市航頭學校）

復習是課堂教學的重要階段，尤其對數(shù)學復習課來說，深入理解知識，提煉數(shù)學思想，優(yōu)化解題策略，提高綜合能力具有關鍵作用.但是復習課的教學設計又因為各種原因，要么定位模糊，要么組織不當，要么方法單一，要么針對性不強，甚至有固定套路：概念、定理回憶、例題精講、練習、測試反饋，這樣的課堂會讓學生感到枯燥無味，從而影響復習效率.

數(shù)學學習的過程是學生獨立思考的過程，是學生反復練習的過程，是學生領悟思想的過程.而這一切都建立在學生良好的數(shù)學學習品質的基礎上.在開展數(shù)學學科核心素養(yǎng)的研究過程中，我們主要就好奇與興趣、專注與堅持、想象與創(chuàng)造、反思與解釋等品質入手對各種課型進行教學設計（如圖1）.如果說好奇與興趣、專注與堅持、想象與創(chuàng)造能夠在新授課上大放光彩，那么在復習課的設計中就需要更加重視學生反思與解釋的教學過程.接下來以2018年湖南省長沙市中考試卷的第25題為載體，談一談在復習課的課堂設計中如何引導學生關注反思與解釋.

圖1

一、試題呈現(xiàn)

題目（2018年湖南·長沙卷）如圖2，在平面直角坐標系xOy中，函數(shù)（m為常數(shù)，m＞1，x＞0）的圖象經(jīng)過點P(m，1)和點Q(1，m)，直線PQ與x軸、y軸分別交于C，D兩點，點M(x，y)是該函數(shù)圖象上的一個動點，過點M分別作x軸和y軸的垂線，垂足分別為點A，B.

圖2

（1）求∠OCD的度數(shù)；

（2）當m=3，1＜x＜3時，存在點M使得△OPM∽△OCP，求此時點M的坐標；

（3）當m=5時，矩形OAMB與△OPQ的重疊部分的面積能否等于4.1？試說明理由.

二、一題多解

此題的第（1）小題證明OC=OD即可以解決問題，略，第（3）小題分三部分進行分類討論，本文重點研究第（2）小題.

三、反思交流，優(yōu)化學習品質

針對復習課效率不高的現(xiàn)狀，許多教師已經(jīng)意識到通過精心設計教學來提高課堂教學效率，于是一題多解、一題多變和一法多用的復習課三步曲奏響了復習課的主旋律.如果說一題多解促使學生的想象和創(chuàng)造，一題多變引發(fā)學生的好奇與興趣，一法多用訓練學生的專注與堅持，那么如何引導學生進行反思檢驗，對已經(jīng)得到的答案進行合理解釋，從而進一步優(yōu)化學習品質就更加值得我們深思和研究.

1.反思促進概念理解

復習課的解題教學過程中，教師要引導學生積極反思為什么有的解法需要檢驗，有的解法不需要，為什么各種解法的檢驗方法又各不相同？事實上對解題結果的反思就是對解題方法的反思，而對解題方法的反思歸根結底就是對數(shù)學概念的反思.

數(shù)學概念一般是以準確而精煉的數(shù)學語言運用定義的形式給出的，具有高度的抽象性、嚴密的精確性和廣泛的應用性，是學生進行數(shù)學思維的核心.由于課時安排和學情限制，概念形成多數(shù)是孤立的、絕對的.也就是說盡管數(shù)學概念無法一次成型，但是日常教學中還是存在大量以“計算”代替“推理”的現(xiàn)象.

以題目的解法1為例，很多學生在中考考場上能夠根據(jù)第（2）小題中的條件△OPM∽△OCP直接列出等式，但是其中很多人沒有求出點M的坐標，還有部分學生求出a的值沒有帶入檢驗并舍去.針對這一現(xiàn)象，教師需要在方程和方程組的概念教學時多問學生幾個為什么，提出反思性學習提綱：（1）研究的條件是什么？（2）研究的對象是什么？（3）方程和方程組的區(qū)別和聯(lián)系是什么？（4）解方程組的實質是什么？經(jīng)過反思深化學生對初中數(shù)學教材中方程和方程組的理解，并在頭腦中對解方程組形成較完整的流程，深化學生對方程組的知識建構.

對于概念，要全面、準確理解其內涵和外延，才能達到理解、掌握、靈活應用的目的.學習數(shù)學不能僅僅停留在“知其然”的層面上，更重要的是還能“知其所以然”.所以，教師不僅要引導學生對解題結果進行檢驗，還要培養(yǎng)學生熟練選擇恰當?shù)臋z驗方法，促使學生理解檢驗的必要性和合理性.教師重視引導學生對類似的概念之間不同結構與本質區(qū)別的反思，使學生深刻地理解相關概念形成的背景、條件、過程、作用和延續(xù).通過反思此題中檢驗方程的解的合理性，對于增根的成因分析，如何正確對待方程根的檢驗問題等都能優(yōu)化學生的學習品質.

2.反思完善解題策略

數(shù)學家波利亞在《怎樣解題》中對數(shù)學解題劃分為四個階段：弄清問題—擬定計劃—實現(xiàn)計劃—回顧，其中“回顧”就是解題后的反思，它是對解題思維過程的深化和提高.解題過程的反思，實際是解題學習的信息反饋調控階段，通過反思，有利于學生深層次的建構.

在反思環(huán)節(jié)中，學生不難發(fā)現(xiàn)各種解題方法的切入點雖然不同，但是后一階段基本都是通過方程求解點M的橫坐標，而對于解出的不同答案除了最后一種解法外，其他解法都存在一個檢驗根的合理性的環(huán)節(jié).為什么這道題目的解答方法都離不開檢驗呢？

反思各種解法，我們發(fā)現(xiàn)解法2和解法3中對點M橫坐標的檢驗，是由于點M在反比例函數(shù)中第一象限的位置約束下所決定的必須舍負取正，解法4和解法5都是讓學生思考為什么可用交軌法求點M的坐標，理由在于點M按題設要求應在45°角的一邊上，在區(qū)間范圍內直線與雙曲線只有一個交點.解法6中讓學生反思“扶正拉平”的添加輔助線構造“一線三等角”的常見模型的方法，而解法6列出的是一元一次方程，只有一個根，無需檢驗.那么解法1的檢驗方式為什么和其他解法的檢驗形式不一樣？為什么需要檢驗？又應該如何解釋呢？

根據(jù)△OPM∽△OCP，得到一組等式，而這組等式的實質是一個方程組為了簡化計算過程，降低計算難度，解法1中先選擇方程①進行變形，得到OP2=OC?OM.然后將用a表示的線段帶入得到方程.那么求解出a的值應該是方程①的解，并不一定是方程組的解，想要成為方程組的解還必須要滿足方程②.所以解法1的檢驗環(huán)節(jié)與其說是檢驗不如說是繼續(xù)解方程組更為恰當.也就是說，從方程組弱化成方程①的過程中，解的范圍擴大了，通過方程②的檢驗才能得到原方程組的解.

通常情況下的方程組是按照如圖9所示的流程解答，而這道題目的解法1為優(yōu)化算法選用圖10的流程來解答，檢驗就顯得至關重要、不可或缺.

圖9

圖10

反思過程中，學生通過列出每一種解法的思維流程圖，清楚每一種解法的數(shù)學本質，明確每一種解法的解題要點等措施，引導學生對整體解法進行反思.這樣做有利于學生把握解題的整體思想，能夠避免解法一開始就進入“死胡同”的境地，從而避免出現(xiàn)“不識廬山真面目”的現(xiàn)象，或者“只見樹木，不見森林”等常見錯誤.

3.反思落實核心素養(yǎng)

注重反思和解釋就是注重引導學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題與解決問題.在基于數(shù)學核心素養(yǎng)的教學中，這應當是教師關注的重點.學生面對解題的多種方法，在教師引導下進行現(xiàn)象觀察、提出問題、表達交流等，不僅經(jīng)歷了數(shù)學概念的形成過程，數(shù)學規(guī)律的發(fā)現(xiàn)過程，以及數(shù)學問題的解決過程，而且積累了數(shù)學活動經(jīng)驗，感悟到數(shù)學思想方法，切實體驗嚴謹求實的科學態(tài)度和探究真理的科學精神.

甚至于在課堂上有一名學生當場總結出了“退倍進半”的結論，他說：“作PO的中垂線NF并連接PF，∠PFH=2∠POF，不就是向后退一步得到已知角的兩倍嗎？還可以反過來看這個圖，即點O也可以看成以點F為圓心的圓與HF的延長線的交點，這不就是向前走一步就得到一半的已知角嗎？”在這個過程中，這名學生至少經(jīng)歷了兩次抽象，第一次是從具體問題情境抽象出具有兩倍已知角的幾何圖形的過程，第二次是將輔助線和原三角形中的相關線段進行換位思考，抽象出一半已知角的幾何圖形.這兩次抽象的過程不僅充分展現(xiàn)了直觀想象，而且體現(xiàn)了數(shù)學思維的互逆性和多向性.

通過對解法3的反思，就能夠在規(guī)律小結中培養(yǎng)學生的直觀素養(yǎng)，在方法研究中提升學生的轉化能力，在抽象歸納中強化學生的模型意識，另外明確由位置關系變化產(chǎn)生數(shù)量關系變化的過程和解方程的過程都在培養(yǎng)學生的運算素養(yǎng)，潤物細無聲地優(yōu)化學生的學習品質.

古代思想家荀子在《勸學》中曰：“君子博學而日參省乎己，則知明而行無過矣.”學習中的反思如同生物體消化食物和吸收養(yǎng)分一樣重要.學生的反思性學習與教師反思性教學相統(tǒng)一.它是學習中不可缺少的重要環(huán)節(jié).反思與解釋是數(shù)學學習心理品質的一項重要研究內容.反思性學習不但能維持學生學習活動的正常進行，更能強化學生學習的動力，增強學生克服學習困難的毅力，使學習到的知識內化，也是構建師生互動機制及學生的學習新方式.學會反思和解釋是數(shù)學學科核心素養(yǎng)的需要，也是培養(yǎng)學生學習習慣的良方，更是優(yōu)化學生學習品質的重要方面.