不同尺度應(yīng)變值的歸算方法研究

趙煥禎，韓亞芳，楊震，劉子希，馬骕

(1.青島市勘察測繪研究院，山東 青島 266033； 2.青島市自然資源和規(guī)劃局，山東 青島 266011；3.海陸地理信息集成與應(yīng)用國家地方聯(lián)合工程研究中心(青島)，山東 青島 266033)

1 引 言

地殼運動應(yīng)變分析需要構(gòu)建客觀真實的地殼應(yīng)變場，但是實際工程測量中很難做到用均勻的監(jiān)測網(wǎng)進行監(jiān)測，也很難做到分析區(qū)域觀測時間上的同步性、觀測儀器及手段的一致性，從而導(dǎo)致檢測得到的應(yīng)變資料具有空間尺度、時間尺度以及系統(tǒng)的差異性。尺度差異性的存在使應(yīng)變場出現(xiàn)空值區(qū)或高值區(qū)，嚴重降低了地殼應(yīng)變場的客觀真實性。因此為了克服應(yīng)變觀測資料尺度上的相對性，必須對應(yīng)變值進行統(tǒng)一歸算，以利于客觀真實地表達地殼應(yīng)變場的空間分布特征。

通過對川滇地區(qū)1999年～2004年GPS觀測數(shù)據(jù)進行分析，實驗得出不同尺度的應(yīng)變值在均值以及離散程度上具有明顯的系統(tǒng)差異，即地殼應(yīng)變值與計算尺度存在顯著的相關(guān)性，而這種差異在數(shù)理統(tǒng)計中表現(xiàn)為數(shù)學(xué)期望值以及方差。不同尺度歸算在統(tǒng)計學(xué)中表現(xiàn)為將計算尺度的應(yīng)變值的均值和均方差歸算到標準尺度上，在不破壞原始數(shù)據(jù)所反映的應(yīng)變場空間分布的非均勻性的前提下，削弱或消除不同尺度應(yīng)變值對求解區(qū)域應(yīng)變場的影響。利用不同手段得到的觀測數(shù)據(jù)、不同觀測時間的數(shù)據(jù)、監(jiān)測網(wǎng)密度分布不均勻的數(shù)據(jù)進行求解區(qū)域應(yīng)變場前都需進行尺度的統(tǒng)一歸算，并且冪指數(shù)歸算模型具有客觀、可靠性。

2 有限元法求解應(yīng)變場

地殼應(yīng)變分布具有局部多樣性的特征，因此求解應(yīng)變場時不能將應(yīng)變場視為均勻場。目前主流方法有兩種：一種是將地殼應(yīng)變視為多個不連續(xù)的相互作用的塊體系統(tǒng)的變形；另一種是將地殼應(yīng)變視為連續(xù)的物理體進行數(shù)值模擬。第一種方法的優(yōu)點是可以有效地對各塊體的整體運動進行分析，但無法表達塊體區(qū)域內(nèi)部的應(yīng)變。第二種方法則可以有效地對區(qū)域內(nèi)的應(yīng)變進行表達，其中最具有代表性的便是有限單元應(yīng)變分析法。

本文研究需分析區(qū)域內(nèi)的精細化應(yīng)變特征，因此采用了有限元法進行地殼應(yīng)變場的求解，其基本原理為將分析區(qū)域分割成為一些有限小的三角形區(qū)域，并對各三角形區(qū)域進行應(yīng)變值求解，該三角形單元內(nèi)的單位應(yīng)變值代表該區(qū)域的單位應(yīng)變值。三角形有限單元格邊界的選擇對保證研究目的區(qū)數(shù)值結(jié)果的可靠性至關(guān)重要。本文基于川滇地區(qū)GPS觀測數(shù)據(jù)進行分析，綜合兼顧GPS的點位分布，以實際構(gòu)造線的走向來確定單位邊界，用點位來約束有限單元的邊界。既充分利用了有限的點位數(shù)據(jù)，又精確有效地反映出了局部的細節(jié)應(yīng)變，提高了應(yīng)變場的客觀真實性。

3 不同尺度應(yīng)變的分布特征

為了更好地反映出不同尺度應(yīng)變值的分布特征，宜選取形變量變化較大的區(qū)域的速度數(shù)據(jù)，以避免變形量太小信噪比太低從而造成數(shù)據(jù)結(jié)果不具有代表性的問題。因此，我們選取川滇地區(qū)1999年～2004年的觀測資料進行分析，來研究不同尺度應(yīng)變的分布特征。

3.1 選取川滇地區(qū)GPS數(shù)據(jù)依據(jù)

川滇活動地塊是中國大陸地震活動最強烈的地區(qū)之一，具有很強的構(gòu)造活動性，塊體內(nèi)部應(yīng)變復(fù)雜顯著，區(qū)域變化大，區(qū)域內(nèi)GPS監(jiān)測點分布較多且不均勻，是研究應(yīng)變歸算最理想?yún)^(qū)域。GPS點分布越密集越能顯示出比較精細的應(yīng)變特征，這也能更好地反映出不同尺度應(yīng)變值的空間分布特征。這便是我們選取該地區(qū)作為研究樣本的原因。由川滇地區(qū)1999年～2004年的觀測資料求出該地區(qū)的速度場的分布以及GPS測點分布如圖1、圖2所示。

圖1 川滇地區(qū)速度場

圖2 川滇地區(qū)GPS測點分布

如圖1和圖2知，速度矢量(大小及方向)在東經(jīng)97°～103°區(qū)域變化較大，而在東經(jīng)103°～106°區(qū)域速度矢量的變化較小，而如圖1圖中北部地區(qū)和南部地區(qū)相比較，速度方向的變化也比較大。很好地與實際的地質(zhì)構(gòu)造相契合，同時GPS點位分布也不均勻，采用這樣的數(shù)據(jù)來分析不同尺度的應(yīng)變變化規(guī)律，可以有效地提高信噪比，其結(jié)果也具有更高的可信度。

3.2 以川滇地區(qū)GPS觀測數(shù)據(jù)為例分析應(yīng)變分布特征

為了揭示三角形單元應(yīng)變值與其尺度之間的相關(guān)性，首先將川滇地區(qū)觀測資料根據(jù)點位分布直接構(gòu)成320個三角形單元，然后再將點位分布間距更遠的點構(gòu)成20個三角形單元。用這340個不同尺度的應(yīng)變值作為樣本進行分析。將最大剪應(yīng)變與單元尺度為橫、縱坐標，得到最大剪應(yīng)變-圖形尺度分布圖，并對離散分布點進行非線性回歸，如圖3所示。

圖3 川滇地區(qū)1999年～2004年最大剪應(yīng)變-圖形尺度分布

回歸方程為：

F(d)=16.81×d-0.2652

(1)

式中，應(yīng)變值數(shù)值單位取10E-8，d為計算圖形尺度(單位為km)，取d=sqrt(s)(S為計算圖形面積)。由圖3可知最大剪應(yīng)變的分布滿足冪指數(shù)衰減的關(guān)系。應(yīng)變的計算結(jié)果與三角形單位的面積具有相關(guān)性，一方面高值點基本分布于圖形尺度較小的區(qū)間；另一方面圖形尺度較小的區(qū)間應(yīng)變值分布更離散，量值的變化幅度更大。然而由于GPS點位分布較為密集圖形尺度相對而言集中分布在 50 km左右，并不能較好地說明其數(shù)學(xué)統(tǒng)計關(guān)系，因此我們將尺度相近的點取平均值來降低小尺度三角形單元的密度。

為了更好地反映應(yīng)變值的衰減趨勢，將三角形單元尺度在 30 m～70 m范圍內(nèi)的最大剪應(yīng)變，每4個尺度相近的最大剪應(yīng)變?nèi)∑骄?，共得?42個最小圖像單元，重新得到的最大剪應(yīng)變-圖形尺度分布圖(如圖4所示)。

圖4 川滇地區(qū)1999年～2004年最大剪應(yīng)變-圖形尺度分布(處理后)

回歸方程為：

F(d)=23.1×d-0.3314

(2)

由圖可知應(yīng)變值隨著尺度的增大而衰減趨勢更加明顯，圖3與圖4的差異原因在于前者大尺度三角形單元所占比例太少，而小尺度圖形單元所占比例較大，且由GPS速度場可以看出，相當一部分點分布在速度矢量變化很小的地區(qū)。因此，倘若有更多的數(shù)據(jù)，更廣泛的分布區(qū)域，應(yīng)變值隨尺度的變化越符合冪函數(shù)衰減趨勢。

為了進一步分析這種衰減趨勢的特征，我們再將尺度相近的每5個三角形單元的最大剪應(yīng)變?nèi)∑骄?，并計算每一組的均方差，將每一組的均值和均方差作為樣本點進行非線性回歸。如圖5和圖6所示。

圖5 最大剪應(yīng)變均值-圖形尺度分布

圖6 最大剪應(yīng)變均方差-圖形尺度分布

最大剪應(yīng)變均值的回歸方程為：

F(d)=25.03×d-0.3523

(3)

最大剪應(yīng)變均方差回歸方程為：

F(d)=13.61×d-0.3314

(4)

由圖5和圖6可知，應(yīng)變值的均值和均方差隨著圖形尺度的增大呈冪指數(shù)衰減的趨勢，并且這種衰減趨勢的離散程度也越來越小，這為我們可以采用冪指數(shù)函數(shù)模型進行不同尺度應(yīng)變值的統(tǒng)一歸化提供了理論依據(jù)。為了更具有說服力，下面給出川滇地區(qū)1999年～2004年東西向應(yīng)變、北東向剪切應(yīng)變、南北向應(yīng)變與圖形尺度的分布關(guān)系，如圖7～圖10所示。

分析以上4種應(yīng)變，每種應(yīng)變正負部分都分別符合冪指數(shù)衰減趨勢(負值以其代數(shù)值)，又因為各種不同應(yīng)變的同源性，不難得出其均值與均方差也呈指數(shù)衰減趨勢。

圖7 東西方向應(yīng)變-圖形尺度分布

圖8 南北方向應(yīng)變-圖形尺度分布

圖9 北東向剪應(yīng)變-圖形尺度分布

圖10 面應(yīng)變-圖形尺度分布

4 不同尺度應(yīng)變歸算方法

4.1 應(yīng)變歸算理論方法

由以上川滇地區(qū)應(yīng)變值的分析得出，不同尺度應(yīng)變值的均值和均方差均有顯著的偏差，這種偏差是由于尺度的變化引起的，因此可采用將一般正態(tài)分布化為標準正態(tài)分布的方法對不同尺度的數(shù)據(jù)進行歸一化。

(7)對不同尺度的應(yīng)變分布，可表示為：

T1=N(u1，σ1)

T2=N(u2，σ2)

(5)

標準化后：

(6)

(9)盡管變量標準化可以將不同尺度的應(yīng)變值進行統(tǒng)一化歸算，達到均值與方差的相對一致性，但同時也破壞了應(yīng)變值所具有的描述區(qū)域地殼應(yīng)變的物理意義。因此，在式(6)增加一個加常數(shù)和一個乘常數(shù)，得到：

(7)

式中u0為歸算標準尺度的應(yīng)變值的均值，σ0為歸算標準尺度的均方差。通過數(shù)理統(tǒng)計將不同尺度值應(yīng)變值之間的關(guān)系對應(yīng)起來，經(jīng)過歸算后不同尺度的應(yīng)變值便具有了統(tǒng)一的量化標準，即標準尺度。實際上不同尺度應(yīng)變值具有正負性，故應(yīng)變歸算公式可表示為：

(8)

4.2 應(yīng)變歸算理論方法

由以上理論方法，將川滇地區(qū)1999年～2004年的應(yīng)變值進行歸算。為了更好地驗證前面應(yīng)變值隨尺度變化的規(guī)律及歸算對其的影響。首先對最大剪應(yīng)變值進行歸算，將計算得到的最大剪應(yīng)變統(tǒng)一歸算到 55 km的尺度上，另外為了更加具有說明性，直接使用測得的所有數(shù)據(jù)進行歸算。并用不同的計算方法得到應(yīng)變值的分布從而進行對比分析。歸算后最大剪應(yīng)變值-尺度分布如圖11所示。

圖11 最大剪應(yīng)變-圖形尺度分布(歸算后)

回歸方程為：

F(d)=6.501×d-0.005575

(9)

由回歸方程可知，歸算后冪指數(shù)的系數(shù)基本趨近于零。這說明不同尺度的均值歸算后近似趨于一致性。離散程度也趨于一致。這說明用上文中提到的方法進行歸算，有效地避免了相對密集的區(qū)域稱為高值區(qū)。對集中于小于 55 km尺度范圍的應(yīng)變值有不同程度的減小，而對大于 55 km尺度范圍內(nèi)的應(yīng)變值有不同程度的增大。使計算尺度的均值和均方差近似等于標準尺度的均值和均方差，即將計算尺度歸算到了標準尺度的標準。為了探討其合理性我們將歸算前后的最大剪應(yīng)變分布分別給出，如圖12(a)和圖12(b)所示。

圖12 最大剪應(yīng)變分布

(注意：最大剪應(yīng)變?yōu)榉秦撝担蕡D中零值線及其以外是無意義的，從圖1b可知在這些地區(qū)并沒有GPS測點分布，因此無法得到應(yīng)變值，即零值線以外無實際意義)

對圖12(a)進行分析，由于所采用的GPS測站相對“三江”斷裂及鮮水河-小江斷裂帶等斷裂帶地區(qū)測點分布相當密集，觀測邊長相對較小，因此最大剪應(yīng)變高值分布區(qū)域較多。該地區(qū)中部測點分布較高值區(qū)稀疏一些，高值分布不明顯，當然這也與該地區(qū)實際的地形有關(guān)。與歸算后的最大剪應(yīng)變比較(圖12(b))，歸化處理前后最大剪應(yīng)變的分布趨勢基本一致，大多數(shù)高值區(qū)的位置基本上沒有變化，只是量值或梯度有所降低。本文以 55 km尺度作為標準尺度進行歸算，可以明顯看出處于小于 55 km尺度范圍內(nèi)的應(yīng)變值，其量值得到了不同程度的抑制，即圖中三個高值區(qū)有較為明顯的減小趨勢。而處于大于 55 km尺度范圍內(nèi)的應(yīng)變值，有不同程度的增強，即低值區(qū)域有較為明顯的增強趨勢?？傮w上呈現(xiàn)小尺度應(yīng)變值減弱，較大尺度應(yīng)變值增大的總體趨勢。這說明是經(jīng)尺度歸算后應(yīng)變值的空間尺度的差異明顯性降低，很好地把不同尺度的應(yīng)變值歸算到標準尺度。

為了說明歸算的合理性和適用性，下面給出用以上方法求得川滇地區(qū)1999年～2004年最大剪應(yīng)變、面膨脹、東西向應(yīng)變、北東向剪切應(yīng)變、南北向應(yīng)變歸算前后的分布偽彩色圖，如圖13～圖17所示。

圖13 最大剪應(yīng)變分布

(注意：最大剪應(yīng)變?yōu)榉秦撝担撝凳菬o意義的，從圖2可知在這些地區(qū)并沒有GPS測點分布，因此無法得到應(yīng)變值，用matlab繪圖時使用了插值，造成圖中藍色區(qū)域無實際意義。)

圖14 面膨脹分布

圖15 東西方向應(yīng)變分布

圖16 南北方向應(yīng)變分布

圖17 北東剪應(yīng)變應(yīng)變分布

對圖13～圖17歸算前后的應(yīng)變進行分析，歸算前后應(yīng)變特征(上述應(yīng)變特征)的空間分布基本保持一致。高值區(qū)(小尺度應(yīng)變值區(qū)域)的區(qū)位大都未發(fā)生改變，但量值有所降低；低值區(qū)(大尺度應(yīng)變值區(qū)域)的區(qū)位同樣大都未發(fā)生改變，但量值卻出現(xiàn)增強的趨勢。無論是最大剪應(yīng)變、面膨脹、東西向應(yīng)變、北東向剪切應(yīng)變還是南北向應(yīng)變總體上都呈現(xiàn)小尺度應(yīng)變值減弱，較大尺度應(yīng)變值增大的總體趨勢。而歸化后的應(yīng)變值與實際地形分析有較好的符合性，經(jīng)過尺度歸算后應(yīng)變值空間尺度所引起的差異性明顯性降低，很好地把不同尺度的應(yīng)變值歸算到標準尺度，更有利于地殼應(yīng)變場的空間分布表達。

5 結(jié) 論

通過對川滇地區(qū)1999年～2004年GPS觀測數(shù)據(jù)處理與分析表明，地殼應(yīng)變值的統(tǒng)計量與三角形單元空間尺度具有很強的冪指數(shù)相關(guān)性。隨著觀測資料空間尺度的增大，其相應(yīng)的應(yīng)變值呈冪指數(shù)衰減的趨勢。當利用地形變觀測資料求解的應(yīng)變場時，不能忽略其尺度相對性，應(yīng)當對應(yīng)變值進行統(tǒng)一的尺度歸算。不同尺度的應(yīng)變歸算對直接計算應(yīng)變值的影響程度取決于不同尺度應(yīng)變值的差異性，而借助前面提到的冪函數(shù)非線性回歸，則可以提高歸一化處理的客觀可靠性。歸化標準的建立也需要具體地區(qū)具體分析。通過本文所述尺度歸算方法較好地削弱了尺度變化對應(yīng)變值結(jié)果的影響，有效提高了應(yīng)變場的真實性表達。需要注意的是，本文實驗分析主要是從空間尺度進行討論，尚未涉及時間尺度和觀測儀器差異的影響，仍待日后更多的實驗驗證。