楊旭 曾麗

［摘 ? ? ? ? ? 要］ ?悖論的產(chǎn)生可能引起數(shù)學(xué)危機(jī)，但是通過(guò)解決數(shù)學(xué)危機(jī)得以促進(jìn)數(shù)學(xué)的發(fā)展。結(jié)合芝諾悖論中的“二分法”與莊子的無(wú)限分割思想闡述有限與無(wú)限之間的辯證關(guān)系。

［關(guān) ? ?鍵 ? 詞］ ?芝諾悖論；二分法；一尺之錘；無(wú)限

［中圖分類號(hào)］ ?O173 ［文獻(xiàn)標(biāo)志碼］ ?A ? ［文章編號(hào)］ ?2096-0603（2019）23-0172-02

悖論通常是指它的結(jié)論實(shí)際上違背客觀實(shí)際，但其推理過(guò)程卻看似合情合理。數(shù)學(xué)中某個(gè)悖論的提出在很長(zhǎng)時(shí)期困擾著一些數(shù)學(xué)家及數(shù)學(xué)愛(ài)好者，但在其不斷推理的過(guò)程中卻推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。如芝諾提出的“二分法”“追龜論”“飛矢不動(dòng)”“二倍等于一半”四大悖論，其結(jié)果荒謬，但推理過(guò)程卻又似乎合乎邏輯，引起廣泛的爭(zhēng)論。

根據(jù)亞里士多德的記載，芝諾四個(gè)悖論的主要內(nèi)容有以下幾點(diǎn)：

1.“二分法”悖論是指運(yùn)動(dòng)不存在。芝諾認(rèn)為一位運(yùn)動(dòng)者要想從起點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，在這一運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，他必須要先走到原來(lái)路程的一半，才有可能抵達(dá)終點(diǎn)，而原來(lái)路程的一半還會(huì)有它的一半，這樣每個(gè)一半都有它的一半，如此類推下去，以至無(wú)窮，那么運(yùn)動(dòng)者連動(dòng)也不能動(dòng)。

2.“追龜論”是指阿基里斯（古希臘神話中跑步非?？斓娜耍┯肋h(yuǎn)都追不上他前方爬的較慢的烏龜。芝諾提出，阿基里斯要想追上他前面慢跑的烏龜，必須要先追到烏龜爬行的起始位置，每一次當(dāng)他追到烏龜?shù)钠鹗嘉恢茫瑸觚斢峙赖搅讼乱粋€(gè)起始位置，周而復(fù)始，縱使阿基里斯速度很快，他卻永遠(yuǎn)追不上烏龜。

3.“飛矢不動(dòng)悖論”是指射出去的箭矢是不動(dòng)的。芝諾介紹道，射出去的箭矢在某一瞬間，它占據(jù)著一個(gè)固定的位置，并且每一個(gè)瞬間它都占據(jù)著一個(gè)固定的位置。運(yùn)動(dòng)是位置的變化，而箭矢在飛出之后由于任何時(shí)刻都待在一個(gè)固定的位置，因而飛矢不運(yùn)動(dòng)即飛矢在每個(gè)時(shí)刻都是靜止的。

4.“二倍等于一半”：假定時(shí)空由最小不可分單位“瞬時(shí)”與“此地”組成有兩個(gè)物體，一物體在瞬時(shí)向左移一個(gè)單位，另一物體在這瞬時(shí)向右移動(dòng)一個(gè)單位，這樣，在這瞬間兩物體相距了兩個(gè)單位。設(shè)問(wèn)，當(dāng)兩物僅僅相距一個(gè)單位距離時(shí)，它們經(jīng)歷了多少時(shí)間呢？回答也只能是一個(gè)“瞬時(shí)”，結(jié)果導(dǎo)致“二倍等于一半”。

本文試圖對(duì)芝諾悖論中的“二分法”作一些簡(jiǎn)要的剖析。

芝諾提出的“二分法”就是指出運(yùn)動(dòng)是不存在的，推理過(guò)程如下：

（a）時(shí)空可以無(wú)限分割。

（b）AB間存在中點(diǎn)C，AC間存在中點(diǎn)D，以此類推，以至無(wú)窮。

（c）為了從A到B，必須通過(guò)前面這些越來(lái)越小的差距，……■，■，■。

（d）有限的時(shí)間內(nèi)不能通過(guò)無(wú)窮多個(gè)小的差距（這一點(diǎn)為芝諾那個(gè)時(shí)代的學(xué)者所認(rèn)同）。

（e）運(yùn)動(dòng)者動(dòng)也不能動(dòng)。

由于（a）—（d）的推理過(guò)程是嚴(yán)密的，可以說(shuō)是無(wú)懈可擊，由此可以嚴(yán)格地得出結(jié)論（e）運(yùn)動(dòng)者只能一動(dòng)不動(dòng)了。顯然結(jié)論是荒謬的，與芝諾同一個(gè)年代的隱士哲學(xué)家第歐根尼聽(tīng)到芝諾這個(gè)闡述之后，一反常態(tài)，走出長(zhǎng)期隱居的大桶，用行動(dòng)來(lái)駁斥芝諾推理中的結(jié)論?？梢院茌p松地用行動(dòng)反駁芝諾，可是卻不能用理論推翻這個(gè)結(jié)論。那問(wèn)題出在哪里呢？在上述推理過(guò)程中，有兩個(gè)前提條件：第一個(gè)是（a），而（b）（c）是（a）的直接推論，如果（a）錯(cuò)誤，則會(huì)推出芝諾的的另外兩個(gè)悖論即“飛矢不動(dòng)”和“二倍等于一半”；第二個(gè)是（d），那問(wèn)題應(yīng)該就出現(xiàn)在這里，也就是說(shuō)，在特定的條件下，有限的時(shí)間內(nèi)是可以通過(guò)無(wú)窮多個(gè)越來(lái)越小的差距。假設(shè)運(yùn)動(dòng)者是勻速運(yùn)動(dòng)的，若他走完總路程一半的時(shí)間是t，那他走完余下一半路程的一半的時(shí)間是■，以此類推，運(yùn)動(dòng)者走完總路程的時(shí)間為：

T=t+■+■+■+…=t（1+■+■+■+…）

很明顯這是一個(gè)對(duì)無(wú)窮多項(xiàng)等比數(shù)列求和問(wèn)題，可以利用等比數(shù)列求和公式求出“有限項(xiàng)”的和，然后再對(duì)其求和，由此可以求出精確值。即根據(jù)a1=1，q=■，可得前n項(xiàng)為：

Tn=■=2t（1-■）

對(duì)上式進(jìn)行求極限可以得出：

T=■Tn=■2t（1-■）=2t

無(wú)窮多項(xiàng)的和竟然是有限數(shù)，這個(gè)式子將有限和無(wú)窮兩者辯證地統(tǒng)一起來(lái)。

無(wú)獨(dú)有偶，一百多年后在遙遠(yuǎn)的中國(guó)，著名的思想家莊子在《莊子·天下篇》提出“一尺之錘，日取其半，萬(wàn)世不竭”，可以看出他對(duì)無(wú)窮思想的認(rèn)識(shí)非常深刻。整個(gè)分割過(guò)程實(shí)際上是構(gòu)造了一個(gè)無(wú)窮遞減的等比數(shù)列：■，■，■，…■…，分割之前與分割之后的總長(zhǎng)度是相等的，因而下面式子顯然成立；1=■+■+…+■+…

多么直觀、清晰地讓人們認(rèn)識(shí)到無(wú)窮多項(xiàng)的和可以是有限數(shù)，然而若要求■+■+…+■+…的和，同樣可以通過(guò)先求有限項(xiàng)的和再取極限的方法得出精確值，但很難通過(guò)經(jīng)驗(yàn)或者直觀想象得出該式子的精確值。這也就是芝諾那個(gè)時(shí)代的學(xué)者公認(rèn)為有限時(shí)間內(nèi)不能通過(guò)無(wú)窮個(gè)小差距的原因。當(dāng)然并不是所有的無(wú)窮級(jí)數(shù)之和都會(huì)等于一個(gè)有限數(shù)，這需要考慮級(jí)數(shù)的斂散性。如■+■+■+…的和不是等于有限數(shù)。

悖論的產(chǎn)生可能引起數(shù)學(xué)危機(jī)，但是通過(guò)解決數(shù)學(xué)危機(jī)得以促進(jìn)數(shù)學(xué)的發(fā)展。本文通過(guò)對(duì)芝諾悖論中“二分法”的推理過(guò)程進(jìn)行剖析及對(duì)“一尺之錘”的分割過(guò)程的分析，意識(shí)到不能人為地割裂有限和無(wú)窮之間的辯證關(guān)系。一個(gè)整體可以進(jìn)行無(wú)限的分割，而進(jìn)行無(wú)限分割之后的整體在特定的條件下又可以收斂。

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編輯 馮永霞