型仿射Weyl群中aλ,λ′的計算

羅 新，王利萍，魏玉麗

(北京建筑大學(xué) 理學(xué)院， 北京 100044)

1 預(yù)備知識

o(s0s1)=o(s1s2)=o(s2s3)=o(s0s3)=3，
o(s0s2)=o(s1s3)=2.

圖型仿射Weyl群的Dynkin圖Fig.1 The Dynkin diagram of the affine Weyl

其中，Λ為W0的權(quán)格，Λr為W0的根格，則一定存在一個循環(huán)子群Ω，使得：

其中，Ω={e,ω,ω2,ω3}，滿足：

(a)對于ω：s0ω=ωs1,s1ω=ωs2,s2ω=ωs3,s3ω=ωs0.

(b)對于ω2：s0ω2=ω2s2,s1ω2=ω2s3,s2ω2=ω2s0,s3ω2=ω2s1.

(c)對于ω3：s0ω3=ω3s3,s1ω3=ω3s0,s2ω3=ω3s1,s3ω3=ω3s2.

并且W0={e,s1,s2,s3,s2s1,s3s2s1,s1s2,s3s2,s2s3,s1s2s3,s1s3,s2s1s3,s3s1s2,s2s3s1s2,s1s2s1,s3s1s2s1,s2s3s1s2s1,s2s3s2,s1s2s3s2,s2s1s2s3s2,s2s1s2s3,s3s2s1s2s3,s2s3s2s1,s3s2s1s2s3s2}.

令αi為si對應(yīng)的單根(i=1,2,3)，則W的正根集為：Φ+={α1,α2,α3,α1+α2,α2+α3,α1+α2+α3}.

設(shè)Φ的3個基本支配權(quán)[6]為x1,x2,x3，則：

x1=032ω3,x2=0310ω2,x3=012ω.

有Λ=x1+x2+x3，Λ+=x1+x2+x3，Λr=α1+α2+α3.

1.2 和首項系數(shù)相關(guān)的半線性方程

令v=q1/2，對于y≤w∈W,py,w=vl(y)-l(w)Py,w(v2)∈[v-1]；否則py,w=0. 對于令：

顯然，可以得到：當λ=λ′時，bλ,λ′=1；當λ<λ′時，bλ,λ′∈v-1[v-1]，否則bλ,λ′=0.

對于bλ,λ′，可以根據(jù)公式μ(mλ,mλ′)=Resv=0(bλ,λ′)計算相應(yīng)的首項系數(shù)，其中Resv=0(f)∈為v-1在f∈A中的系數(shù)，而A=是以q為變量的整系數(shù)的Laurent多項式環(huán).

顯然，可以得到：當λ=λ′時，aλ,λ′=1；當λ<λ′時，aλ,λ′∈v-1[v-1]，否則aλ,λ′=0. 如果不存在子集i?R+使得αi=λ，就令Φ(λ)=0.

2 關(guān)于aλ,λ′的計算

命題2.1對于A3型仿射Weyl群，有如下的Φ值表：

Φ(0)=1；Φ(α1)=Φ(α2)=Φ(α3)=-v-2；
Φ(α1+α2)=Φ(α2+α3)=-v-2+v-4；
Φ(α1+α2+α3)=-v-2+2v-4-v-6；
Φ(2α1+α2+α3)=Φ(α1+α2+2α3)=v-4-v-6；
Φ(α1+α3)=Φ(2α1+α2)=Φ(α1+2α2)=
Φ(2α2+α3)=Φ(α2+2α3)=v-4；
Φ(α1+2α2+α3)=2v-4-2v-6；
Φ(2α1+2α2+2α3)=-2v-6+2v-8；
Φ(2α1+2α2)=Φ(2α2+2α3)=Φ(2α1+α2+2α3)=
Φ(α1+3α2+α3)=Φ(α1+2α2+3α3)=
Φ(3α1+2α2+α3)=-v-6;
Φ(2α1+2α2+α3)=Φ(α1+2α2+2α3)=
v-4-2v-6+v-8；
Φ(α1+3α2+2α3)=Φ(2α1+3α2+α3)=
-v-6+v-8;
Φ(2α1+3α2+2α3)=-v-6+2v-8-v-10;
Φ(α1+3α2+3α3)=Φ(2α1+4α2+2α3)=
Φ(2α1+2α2+3α3)=Φ(3α1+3α2+α3)=
Φ(3α1+2α2+2α3)=v-8;
Φ(2α1+4α2+3α3)=Φ(3α1+3α2+3α3)=
Φ(3α1+4α2+2α3)=-v-10；
Φ(2α1+3α2+3α3)=Φ(3α1+3α2+2α3)=
v-8-v-10;
Φ(3α1+4α2+3α3)=v-12.

對于其他情形[9]的λ，均有Φ(λ)=0.

X1={λ=4hx1=3hα1+2hα2+hα3|h≥1},
X2={λ=2ix2=iα1+2iα2+iα3|i≥1},
X3={λ=4jx3=jα1+2jα2+3jα3|j≥1},
X4={λ=k(x1+x3)=kα1+kα2+kα3|k≥1},
X5={λ=m(2x1+x2)=2mα1+2mα2+mα3|m≥1},
X6={λ=n(x2+2x3)=nα1+2nα2+2nα3|n≥1}.

其中，h,i,j,k,m,n均為正整數(shù).

定義2.1令λ1=4x1,λ2=2x2,λ3=4x3,λ4=x1+x3,λ5=2x1+x2,λ6=x2+2x3.

命題2.2當λ∈Xi,1≤i≤6，有：

證明：對于W0中的3個單反射，可以分別計算出它們在單根上的作用如下：

s1(α1)=-α1,s1(α2)=α1+α2,s1(α3)=α3.
s2(α1)=α1+α2,s2(α2)=-α2,s2(α3)=α2+α3.
s3(α1)=α1,s3(α2)=α2+α3,s3(α3)=-α3.

設(shè)λ=iα1+jα2+kα3，由于W0包括24個群元素，讓這些元素依次作用在λ上，得：

e(λ)=iα1+jα2+kα3,
s1(λ)=(-i+j)α1+jα2+kα3,
s2(λ)=iα1+(i-j+k)α2+kα3,
s3(λ)=iα1+jα2+(j-k)α3,
s1s2(λ)=(-j+k)α1+(i-j+k)α2+kα3,
s3s2(λ)=iα1+(i-j+k)α2+(i-j)α3,
s2s3(λ)=iα1+(i-k)α2+(j-k)α3,
s1s2s3(λ)=(-k)α1+(i-k)α2+(j-k)α3
……
s3s2s1s2s3s2(λ)=(-k)α1+(-j)α2+(-i)α3.

□

設(shè)λ∈Λr，λ=iα1+jα2+kα3,i,j,k∈；根據(jù)α1=2x1-x2,α2=-x1+2x2-x3,α3=-x2+2x3，得：λ=(2i-j)x1+(2j-i-k)x2+(2k-j)x3. 若此時滿足λ∈Λ+，則根據(jù)x1,x2,x3的系數(shù)均大于等于0，得：

綜上，i′≤i,j′≤j,k′≤k.

□

□

其中，

□

根據(jù)命題2.1中Φ值的特征以及命題2.2，可以得到以下命題：

命題2.5設(shè)λ=iα1+jα2+kα3，λ′-λ=rα1+sα2+tα3，其中i,j,k≥1；0≤r,t≤3,0≤s≤4, 若w?{e,s1,s2,s3,s2s1,s1s2,s3s2,s2s3,s1s3,s1s2s1,s2s3s2}，則Φ(λ′+ρ-w(λ+ρ))=0.

證明：對于W0中的24個元素，若w?{e,s1,s2,s3,s2s1,s1s2,s3s2,s2s3,s1s3,s1s2s1,s2s3s2}，下面只需驗證：對于W0中的其余元素，均有Φ(λ′+ρ-w(λ+ρ))=0成立.

當w=s3s2s1時，將其帶入到公式：λ′+ρ-w(λ+ρ)=λ′-w(λ)+ρ-w(ρ)中得：λ′-s3s2s1(λ)+ρ-s3s2s1(ρ)=(2i-j+r+1)α1+(i+j-k+s+2)α2+(i+k+t+3)α3. 考慮多項式中α3的系數(shù)，由于i+k+t+3≥5，此時顯然Φ(λ′+ρ-s3s2s1(λ+ρ))=0.

當w=s1s3s2時，λ′+ρ-w(λ+ρ)=λ′-w(λ)+ρ-w(ρ)=λ′-s1s3s2(λ)+ρ-s1s3s2(ρ)=(i+j-k+r+2)α1+(-i+2j-k+s+1)α2+(-i+j+k+t+2)α3. 把α1和α3的系數(shù)相加可得：(i+j-k+r+2)+(-i+j+k+t+2)=2j+r+t+4≥6.

(b)當2j+r+t+4>6時，由于0≤r,t≤3，所以α1和α3的系數(shù)之和應(yīng)小于或等于6，矛盾. 綜合(a)和(b)，可得：當w=s1s3s2時，Φ(λ′-s1s3s2(λ)+ρ-s1s3s2(ρ))=0.

同理，當w=s1s2s3,s2s3s1s2,s3s1s2s1,s2s3s1s2s1,s1s2s3s2,s2s1s2s3s2,s2s1s2s3,s3s2s1s2s3,s2s3s2s1,s3s2s1s2s3s2,s2s1s3時，相應(yīng)的Φ(λ′+ρ-w(λ+ρ))=0.

綜合以上分析可得：若w?{e,s1,s2,s3,s2s1,s1s2,s3s2,s2s3,s1s3,s1s2s1,s2s3s2}，則有Φ(λ′+ρ-w(λ+ρ))=0.

□

(a)當w=s1時，λ′+ρ-s1(λ+ρ)=λ′-s1(λ)+ρ-s1(ρ)=(2i-j-n+1)α1，由上可知：2i-2n-j≥0，即2i-j-n≥n≥2. 所以2i-j-n+1≥3. Φ[(2i-j-n+1)α1]=0.

(b)當w=s2s1時，λ′+ρ-s2s1(λ+ρ)=(2i-j-n+1)α1+(i+j-k-n+2)α2. 因為i+k-2j≤0，得i-j≤j-k，所以i+j-k≥2i-j≥2n，有i+j-k-n+2≥4. 又因為2i-j-n+1≥3，所以Φ[(2i-j-n+1)α1+(i+j-k-n+2)α2]=0.

同理，當w=s2,s3,s1s2,s2s3,s1s3,s1s2s1,s2s3s2時，相應(yīng)的Φ(λ′+ρ-w(λ+ρ))=0.

綜上，根據(jù)aλ,λ′的計算公式，可得：當λ′-λ=nα1,n≥2時，aλ,λ′=0.

□

除了定理2.2中的情形，根據(jù)命題2.1，可得：當λ′-λ等于以下情況時，aλ,λ′=0.

(a)nα2,(n≥2).

(b)nα3,(n≥2).

(c)iα1+jα3，(i,j)≠(1,1).

(d)iα1+jα2，(i,j)?{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}.

(e)iα2+jα3，(i,j)?{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}.

(f)α1+iα2+jα3，(i,j)?{(1,1),(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)}.

(g)2α1+iα2+jα3，(i,j)?{(1,1),(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,2),(4,3)}.

(h)3α1+iα2+jα3，(i,j)?{(2,1)，(2,2)，(3,1),(3,2),(3,3),(4,2),(4,3)}.

(a)若λ′-λ=αi，(i=1,2,3)，則aλ,λ′=-v-2.

其中，條件A1：2j-i-k=1；條件B1：2i-j=1.

其中，條件A1：2j-i-k=1；條件D1：2k-j=1.

(d)若λ′-λ=α1+α2+α3，則：

其中，條件A0：2j-i-k=0；條件A1：2j-i-k=1；條件B1：2i-j=1；條件D1：2k-j=1.

(e)若λ′-λ=α1+α3,α1+2α2,2α1+α2,α2+2α3,2α2+α3，則aλ,λ′=v-4.

(f)若λ′-λ=2α1+2α2,2α2+2α3,2α1+α2+2α3,α1+3α2+α3,α1+2α2+3α3，3α1+2α2+α3，則aλ,λ′=-v-6.

(g)若λ′-λ=α1+2α2+α3，則：

其中，條件A2：2j-i-k=2； 條件B0：2i-j=0；條件B1：2i-j=1；條件D0：2k-j=0；條件D1：2k-j=1.

(j)若λ′-λ=2α1+2α2+α3，則：

其中，條件A0：2j-i-k=0；條件A1：2j-i-k=1；條件B2：2i-j=2；條件D0：2k-j=0；條件D1：2k-j=1.

(k)若λ′-λ=α1+2α2+2α3，則：

其中，條件A1：2j-i-k=1；條件B0：2i-j=0； 條件B1：2i-j=1；條件D2：2k-j=2.

(l)若λ′-λ=α1+3α2+2α3，則：

(m)若λ′-λ=2α1+3α2+α3，則：

(n)若λ′-λ=2α1+2α2+2α3，則：

其中，條件A0：2j-i-k=0；條件A1：2j-i-k=1；條件B2：2i-j=2；條件D2：2k-j=2.

(o)λ′-λ=2α1+3α2+2α3，則：

其中，條件A2：2j-i-k=2；條件B1：2i-j=1；條件D1：2k-j=1.

(p)若λ′-λ=2α1+2α2+3α3,3α1+2α2+2α3,α1+3α2+3α3,3α1+3α2+α3，2α1+4α2+2α3，則aλ,λ′=v-8.

其中，條件A1：2j-i-k=1；條件B1：2i-j=1.

其中，條件A1：2j-i-k=1；條件D1：2k-j=1.

(s)若λ′-λ=2α1+4α2+3α3,3α1+4α2+2α3,3α1+3α2+3α3，則aλ,λ′=-v-10.

(t)若λ′-λ=3α1+4α2+3α3，則aλ,λ′=v-12.

證明：(a)對λ′-λ=α1時進行aλ,λ′的求解. 經(jīng)過計算分析，可以得到其結(jié)果只有以下4種情形：

第一，當滿足條件2j-i-k=0,2k-j=0時，只有當w=e,s2,s3,s3s2,s2s3,s2s3s2時，有Φ(λ′+ρ-w(λ+ρ))≠0，對于W0中的其他元素，均有Φ(λ′+ρ-w(λ+ρ))=0.

當w=e時，Φ(α1)=-v-2；當w=s2時，Φ(α1+2α2)=v-4；當w=s3時，Φ(α1+α3)=v-4；當w=s3s2時，Φ(α1+2α2+3α3)=-v-6；當w=s2s3時，Φ(α1+3α2+α3)=-v-6；當w=s2s3s2時，Φ(α1+3α2+3α3)=v-8.

同理，當λ′-λ=α2或α3時，可以得到類似的結(jié)果.

□

3 結(jié)論