楊玉波 劉國鵬 陳鵬 楊小童

摘要：針對游標(biāo)混合電機(jī)（VHM）設(shè)計(jì)時(shí)難以實(shí)現(xiàn)快速準(zhǔn)確的電機(jī)磁場求解問題，提出采用子域法推導(dǎo)游標(biāo)混合電機(jī)的解析分析模型，實(shí)現(xiàn)電機(jī)磁場和電磁性能的快速準(zhǔn)確計(jì)算。根據(jù)電機(jī)結(jié)構(gòu)和各部分電磁特性，將電機(jī)求解區(qū)域劃分為定子槽、定子槽口、永磁體（PM）、氣隙和轉(zhuǎn)子槽5個(gè)子域，根據(jù)各子域磁場偏微分方程和矢量磁位通解，結(jié)合邊界條件求解各子域矢量磁位，計(jì)算氣隙磁密、磁鏈、反電勢（EMF）、齒槽轉(zhuǎn)矩和電磁轉(zhuǎn)矩。研究定轉(zhuǎn)子槽寬對轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)和平均轉(zhuǎn)矩的影響，在不減小平均轉(zhuǎn)矩的情況下，得到削弱轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)的定轉(zhuǎn)子槽寬組合。設(shè)計(jì)制造一臺樣機(jī)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了解析模型的正確性。

關(guān)鍵詞：游標(biāo)混合電機(jī);子域法;矢量磁位;邊界條件;有限元法

DOI：10.15938/j.emc.2019.09.002

中圖分類號：TM 351

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1007-449X（2019）09-0009-09

Electromagnetic performance investigation of vernier hybrid machine

YANG Yu?bo，LIU Guo?peng，CHEN Peng，YANG Xiao?tong

（School of Electrical Engineering， Shandong University， Jinan 250061， China）

Abstract：

Accurate and rapid calculation of magnetic field distribution is the key point of motor design and optimization. The analytical subdomain model of vernier hybrid machine （VHM） was first developed. The whole domain was divided into several subdomains， including the stator slot， stator slot opening， permanent magnet （PM）， air gap and rotor slot， according to the geometric configuration and electromagnetic properties. The magnetic vector potentials were obtained according to the general solutions and boundary conditions between the adjacent subdomains. Then the air?gap flux density， flux linkage， back electromotive force （EMF）， cogging torque and electromagnetic torque were calculated. The effect of stator slot opening width and rotor slot width on the average torque and torque ripple was studied as well. The prototype machine was designed and produced， and the analytical model was verified with the experimental results.

Keywords：vernier hybrid machine; subdomain method; magnetic vector potential; boundary conditions; finite element analysis

0引言

游標(biāo)混合電機(jī)（vernier hybrid machine， VHM）是一種新型的雙凸極電機(jī)，其永磁體位于定子內(nèi)表面，繞組安放于定子槽內(nèi)，轉(zhuǎn)子鐵心上只有調(diào)制齒，不安放繞組。VHM具有高轉(zhuǎn)矩密度和優(yōu)秀的低速大轉(zhuǎn)矩輸出能力，散熱性能好，轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)簡單可靠，適用于風(fēng)力發(fā)電、潮汐發(fā)電和電動(dòng)汽車等領(lǐng)域。

相關(guān)文獻(xiàn)對VHM的結(jié)構(gòu)和性能分析方法進(jìn)行了分析與研究。通過分析VHM拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)與工作原理，發(fā)現(xiàn)VHM難以同時(shí)兼顧高轉(zhuǎn)矩密度和高功率因數(shù)。將傳統(tǒng)游標(biāo)混合電機(jī)的表面式磁極改為內(nèi)置V字型，并在定子槽內(nèi)增加勵(lì)磁繞組，能夠提高磁場調(diào)節(jié)能力。在旋轉(zhuǎn)VHM的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了單初級和雙初級的VHM直線電機(jī)，提出了通過磁鏈、電流和位置數(shù)據(jù)預(yù)測電機(jī)性能的方法。采用直流偏置正弦電流控制游標(biāo)混合電機(jī)，能夠提高電機(jī)的轉(zhuǎn)矩密度、功率因數(shù)和效率，擴(kuò)大電機(jī)恒功率運(yùn)行區(qū)域。

目前，游標(biāo)混合電機(jī)的分析方法主要為有限元法。有限元法可以充分考慮鐵心飽和、端部效應(yīng)和漏磁等問題，求解精度高，但是計(jì)算時(shí)間長，建模復(fù)雜。作為一種解析分析方法，子域法具有計(jì)算時(shí)間短和計(jì)算精度較高等優(yōu)點(diǎn)，已被用于表面式永磁同步電機(jī)和游標(biāo)電機(jī)的磁場計(jì)算。本文采用子域法對VHM進(jìn)行建模與分析，根據(jù)電機(jī)各部分電磁特性，將求解區(qū)域分解為多個(gè)子域，基于各子域的磁場偏微分方程和矢量磁位通解，根據(jù)各個(gè)子域交接處的邊界條件求解得到各子域矢量磁位，并基于磁場進(jìn)行電機(jī)性能計(jì)算。

1VHM工作原理

圖1為VHM電機(jī)模型，永磁體和三相繞組都位于定子上。永磁體位于定子齒表面，箭頭指向?yàn)橛来朋w的磁化方向。轉(zhuǎn)子為開槽鐵心，無繞組。

VHM的工作原理為磁場調(diào)制理論。定子永磁體的磁動(dòng)勢基波為

F=Fpmsin（Qpmθ+θ0）。（1）

式中：Fpm為永磁體磁動(dòng)勢基波幅值;Qpm為永磁體基波磁動(dòng)勢極對數(shù);θ為機(jī)械角度;θ0為相位角。

由于轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)，氣隙磁導(dǎo)會(huì)發(fā)生周期性的變化，當(dāng)轉(zhuǎn)子沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)時(shí)，只考慮恒定值和基波，可將其表示為

Λ=Λ0+Λmsin（Qrθ-ωt）。（2）

式中：Λ0是氣隙磁導(dǎo)恒定值;Λm為氣隙磁導(dǎo)基波幅值;Qr為轉(zhuǎn)子齒數(shù);ω為轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)角速度;t為時(shí)間。

氣隙磁密徑向分量可以表示為

Br=FΛ=FpmΛ0sin（Qpmθ+θ0）+

FpmΛm2{cos[（Qpm-Qr）θ+θ0+ωt]-

cos[（Qpm+Qr）θ+θ0-ωt]}。（3）

氣隙磁密主要包含3個(gè)分量，第1項(xiàng)是靜止分量，極對數(shù)為永磁體磁動(dòng)勢基波磁極數(shù)Qpm;第2項(xiàng)是極對數(shù)為|Qpm-Qr|的旋轉(zhuǎn)分量，若（Qpm-Qr）為正值，則該分量轉(zhuǎn)向和轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)方向相反，若為負(fù)值，則轉(zhuǎn)向和轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)方向相同;第3項(xiàng)是極對數(shù)為（Qpm+Qr）的旋轉(zhuǎn)分量，轉(zhuǎn)向和轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)方向相同。兩旋轉(zhuǎn)分量會(huì)在電樞繞組中感應(yīng)出交變磁鏈，轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)一周，磁鏈變化周期數(shù)等于轉(zhuǎn)子槽數(shù)。

2子域劃分與矢量磁位通解

根據(jù)VHM結(jié)構(gòu)，求解區(qū)域可以被分為5個(gè)子域，分別為氣隙、永磁體、定子槽口、定子槽和轉(zhuǎn)子槽。子域劃分和各子域主要結(jié)構(gòu)尺寸如圖1和圖2所示。

在子域I（氣隙）內(nèi)，矢量磁位AI滿足拉普拉斯方程：

2AIr2+1rAIr+1r22AIθ2=0。（4）

其通解可表示為

AI=∑k{[A1（rRm）k+B1（rRr）-k]cos（kθ）+

[C1（rRm）k+D1（rRr）-k]sin（kθ）}。（5）

在子域Ⅱ，對于徑向充磁永磁體，磁化強(qiáng)度Mr可表示為

Mr=∑kMrkcos（kθ）。（6）

子域內(nèi)矢量磁位AII滿足泊松方程：

2AIIr2+1rAIIr+1r22AIIθ2=-μ0r∑kkMrksin（kθ）。（7）

式中μ0為真空磁導(dǎo)率。

其通解可表示為

AII=∑k{[A2（rRs）k+B2（rRm）-k]cos（kθ）+

[C2（rRs）k+D2（rRm）-k+μ0rkMrkk2-1]sin（kθ）}。（8）

在子域III（定子槽口）內(nèi)，矢量磁位AIIIi滿足拉普拉斯方程，其通解可表示為

AIIIi=C30+D30lnr+∑m[C3i（rRt）Fm+

D3i（rRs）-Fm]cos[Fm（θ-θi+α0/2）]。（9）

式中Fm=mπ/α0。

在子域IV（定子槽）內(nèi)，由于槽內(nèi)導(dǎo)體中存在電流密度Ji，對其進(jìn)行傅立葉分解，表達(dá)式為

Ji=Ji0+∑nJincos[En（θ-θi+αa/2）]。（10）

其中：

Ji0=1αa∫θi+αa/2θi-αa/2Jidθ， （11）

Jin=2αa∫θi+αa/2θi-αa/2Jicos[En（θ-θi+αa/2）]dθ。（12）

式中En=nπ/αa。

該子域內(nèi)矢量磁位AIVi滿足泊松方程：

2AIVir2+1rAIVir+1r22AIViθ2=-μ0Ji。（13）

其通解可表示為

AIVi=C40+μ0Ji04（2R2sblnr-r2）+

∑n{D4i[G1（rR2sb）En+（rRt）-En]+

μ0JinE2n-4[r2-2R2sbEn（rRsb）En]}×

cos[En（θ-θi+αa/2）]。（14）

式中G1=（Rt/Rsb）En。

在子域V（轉(zhuǎn)子槽）內(nèi)，矢量磁位AVj滿足拉普拉斯方程，其通解可表示為

AVj=C50+∑mD5j[（rRrb）Gm+（rRrb）-Gm）×

cos[Gm（θ-θj+αra/2）]。（15）

式中Gm=mπ/αra。

3邊界條件與未知系數(shù)求解

在5個(gè)子域的矢量磁位通解表達(dá)式中，系數(shù)A1、B1、C1、D1、A2、B2、C2、D2、C3i、D3i、C30、D30、D4i、C40、D5j和C50為未知系數(shù)，需要結(jié)合相鄰子域的邊界條件，即矢量磁位連續(xù)和磁場強(qiáng)度切向分量連續(xù)，建立包含未知系數(shù)的方程組，進(jìn)行求解。

在子域I（氣隙）和子域II（永磁體）的交界面（r=Rm）上，矢量磁位A和磁場強(qiáng)度的切向分量Hθ滿足邊界條件：

AI（Rm，θ）=AII（Rm，θ），

HIθ（Rm，θ）=HIIθ（Rm，θ）。 （16）

從而可得：

A1+B1（RmRr）-k-A2（RmRs）k-B2=0， （17）

C1+D1（RmRr）-k-C2（RmRs）k-D2=μ0Rmkk2-1Mrk， （18）

μr[A1-B1（RmRr）-k]-A2（RmRs）k+B2=0， （19）

μr[C1-D1（RmRr）-k]-C2（RmRs）k+D2=μ0Rmk2-1Mrk。（20）

在子域II（永磁體）和子域III（定子槽口）的交界面（r=Rs）上，邊界條件為：

AII（Rs，θ=θi±α0/2）=AIIIi（Rs，θ=θi±α0/2），

HIIθ（Rs，θ=θi±α0/2）=HIIIiθ（Rs，θ=θi±α0/2）。（21）

將矢量磁位AII統(tǒng)一到上，可得

AII=AII0+∑mAIImcos[Fm（θ-θi+α0/2）]。（22）

其中：

AII0=1α0∫θi+α0/2θi-α0/2AIIdθ，（23）

AIIm=2α0∫θi+α0/2θi-α0/2AIIcos[Fm（θ-θi+α0/2）]dθ。（24）

將磁場強(qiáng)度切向分量HIIIθi統(tǒng)一到上，可得

HIIIθi=∑k[CIIIkcos（kθ）+DIIIksin（kθ）]。（25）

其中：

CIIIk=1π∫π-πHIIIθicos（kθ）dθ，（26）

DIIIk=1π∫π-πHIIIθisin（kθ）dθ。（27）

結(jié)合式（21），可得：

AII0=C30+D30lnRs， （28）

AIIm=C3i（RsRt）Fm+D3i，（29）

CIIIk=0， （30）

DIIIk=-kμrμ0RsMrkk2-1。（31）

在子域III（定子槽口）和子域IV（定子槽）的交界面（r=Rt）上，邊界條件為：

AIIIi（Rt，θ=θi±α0/2）=AIVi（Rt，θ=θi±α0/2），

HIIIθi（Rt，θ=θi±α0/2）=HIViθ（Rt，θ=θi±α0/2）。（32）

將矢量磁位AIVi統(tǒng)一到上，可得

AIVi=AIVi0+∑mAIVimcos[Fm（θ-θi+α0/2）]。（33）

其中：

AIVi0=1α0∫θi+α0/2θi-α0/2AIVidθ，（34）

AIVim=2α0∫θi+α0/2θi-α0/2AIVicos[Fm（θ-θi+α0/2）]dθ。（35）

將磁密BIIIθi統(tǒng)一到上，可得

BIIIθi=B0+∑nBncos[En（θ-θi+αa/2）]。（36）

其中：

B0=1αa∫θi+αa/2θi-αa/2BIIIθidθ，（37）

Bn=2αa∫θi+αa/2θi-αa/2BIIIθicos[En（θ-θi+αa/2）]dθ。（38）

結(jié)合式（32）可得：

AIVi0=C30+D30lnRt，（39）

AIVim=[C3i+D3i（RtRs）-Fm]，（40）

B0=-μ0Ji02（R2sbRt-Rt），（41）

Bn=-EnD4iRt[G2（RtRsb）En-1]-

2μ0JinE2n-4[Rt-R2sbRt（RtRsb）En]。（42）

在子域I（氣隙）和子域V（轉(zhuǎn)子槽）的交界面（r=Rr）上，邊界條件為：

AI（Rr，θ=θi±αra/2）=AVj（Rr，θ=θi±αra/2），

HIθ（Rr，θ=θi±αra/2）=HIVjθ（Rr，θ=θi±αra/2）。（43）

將矢量磁位AI統(tǒng)一到上，可得

AI=AI0+∑mAImcos[Fm（θ-θj+αra/2）]。（44）

其中：

AI0=1αra∫θj+αra/2θj-αra/2AIdθ，（45）

AIm=2αra∫θj+αra/2θj-αra/2AIcos[Fm（θ-θj+αra/2）]dθ。（46）

將磁密切向分量BVθj統(tǒng)一到上，可得

BVθj=∑k[CVkcos（kθ）+DVksin（kθ）]。（47）

其中：

CVk=1π∫π-πBVθjcos（kθ）dθ，（48）

DVk=1π∫π-πBVθjsin（kθ）dθ。（49）

結(jié)合式（43）可得：

AI0=C50，（50）

AIm=D5j[（RrRrb）Gm+（RrRrb）-Gm]，（51）

CIIIk=kRr[A1（RrRm）k-B1]，（52）

DIIIk=kRr[C1（RrRm）k-D1]。（53）

結(jié)合式（17）～式（20）、式（28）～式（31）、式（39）～式（42）、式（50）～式（53），可以求解未知參數(shù)，進(jìn)而得到各個(gè)子域內(nèi)矢量磁位。

4計(jì)算結(jié)果與仿真驗(yàn)證

基于子域法解析模型，對一臺定子6槽轉(zhuǎn)子16槽VHM的性能進(jìn)行了分析計(jì)算，樣機(jī)的主要結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

圖3為電機(jī)空載氣隙磁密徑向和切向分量曲線，解析法和有限元法的結(jié)果吻合，磁密徑向分量曲線中，在0°、60°、120°、180°、240°、300°這6個(gè)角度所在區(qū)間的磁密為0，對應(yīng)6個(gè)定子槽口。

對電機(jī)的空載氣隙磁密徑向分量進(jìn)行快速傅里葉變換，主要諧波的幅值和相位角隨轉(zhuǎn)子位置的變化曲線如圖4所示。氣隙磁密徑向分量中，幅值最大的諧波極對數(shù)為18，且相位保持不變，代表式（3）中的Qpm對極靜止磁場分量;旋轉(zhuǎn)分量的極對數(shù)分別為Qpm-Qr=2和Qpm+Qr=34，根據(jù)相位角的變化可知，轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)1個(gè)齒距，兩旋轉(zhuǎn)分量均變化1個(gè)周期。

圖5為施加幅值為10 A的三相正弦電流負(fù)載時(shí)的電機(jī)氣隙磁密徑向和切向分量的計(jì)算結(jié)果，解析法和有限元法的結(jié)果較為吻合。通過與圖3的對比可以看出，當(dāng)電流幅值為10 A時(shí)，氣隙磁場徑向和切向分量與空載相差不大，說明電機(jī)的電樞反應(yīng)較弱，電樞電流產(chǎn)生的磁場對氣隙中的磁場分布影響較小。

電機(jī)的定子繞組位于子域IV（定子槽）中，可通過矢量磁位AIVi計(jì)算第i個(gè)定子槽內(nèi)線圈邊的磁鏈，從而得到每相繞組的磁鏈。線圈邊的磁鏈可表示為

Φ=LefNAc∫RsbRt∫θ2θ1AIVirdrdθ。（54）

式中：Ac為線圈邊的截面積;θ1和θ2為線圈邊的起止角度。

電機(jī)轉(zhuǎn)速為300 r/min時(shí)的空載和負(fù)載三相磁鏈波形如圖6所示，解析法和有限元法的計(jì)算結(jié)果非常吻合，空載磁鏈幅值為0.04 Wb，負(fù)載磁鏈幅值為0.069 Wb。

電機(jī)反電勢和磁鏈的關(guān)系為

E=-dΦdt。（55）

電機(jī)空載和負(fù)載三相反電勢波形如圖7所示。解析法和有限元法的計(jì)算結(jié)果非常吻合，空載時(shí)的反電勢幅值為20 V，負(fù)載時(shí)的反電勢幅值為34.5 V。

采用麥克斯韋應(yīng)力張量法，轉(zhuǎn)矩計(jì)算公式為

T=Lefr2μ0∫2π0BIrBIθdθ。（56）

式中：r為轉(zhuǎn)子外徑Rr和永磁體內(nèi)徑Rm的平均值;BIr和BIθ分別為氣隙磁密的徑向和切向分量。

圖8為電機(jī)的齒槽轉(zhuǎn)矩和電磁轉(zhuǎn)矩計(jì)算結(jié)果，子域法和有限元法的仿真結(jié)果非常接近。電機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩的平均值為9.55 N·m，解析法的結(jié)果略大于有限元法的結(jié)果。齒槽轉(zhuǎn)矩和電磁轉(zhuǎn)矩的波形對比說明齒槽轉(zhuǎn)矩是轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)的主要來源。

通過改變電機(jī)定轉(zhuǎn)子槽口寬度，計(jì)算了齒槽轉(zhuǎn)矩幅值和電磁轉(zhuǎn)矩平均值，如圖9所示。定子槽口寬和轉(zhuǎn)子槽寬對齒槽轉(zhuǎn)矩和電磁轉(zhuǎn)矩均有較大的影響。當(dāng)定子槽口寬度為8°，轉(zhuǎn)子槽寬度為14.625°時(shí)，電機(jī)的負(fù)載電磁轉(zhuǎn)矩為11.065 N·m，相比原尺寸的9.55 N·m提高了15.9%，此時(shí)電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩為0.208 N·m，相比原尺寸的1.35 N·m降低了84.6%，證明通過改變VHM轉(zhuǎn)子槽寬和定子槽口寬，能夠在不減小平均轉(zhuǎn)矩的前提下，削弱電磁齒槽轉(zhuǎn)矩。

5樣機(jī)試驗(yàn)

樣機(jī)定轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)如圖10所示，永磁體和繞組排布方式如圖1所示。

樣機(jī)試驗(yàn)中，樣機(jī)由一臺原動(dòng)機(jī)拖動(dòng)，轉(zhuǎn)速為300 r/min。樣機(jī)的三相反電勢如圖11所示，解析法、有限元法的計(jì)算結(jié)果和樣機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果非常吻合，反電勢幅值為15 V。

通過改變原動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速，得到VHM在不同轉(zhuǎn)速下的反電勢幅值，結(jié)果如圖12所示，解析法、有限元法和樣機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果非常吻合，電機(jī)反電勢幅值與電機(jī)轉(zhuǎn)速成正比。

為了更好地觀察電機(jī)氣隙中的磁場分布，在樣機(jī)的定子槽口安放了導(dǎo)線和單匝線圈，觀察額定轉(zhuǎn)速下導(dǎo)線和單匝線圈產(chǎn)生的反電勢。導(dǎo)線共6根，分別安放在6個(gè)定子槽口中，按轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)向的位置順序，定義為導(dǎo)線1～導(dǎo)線6;單匝線圈共3組，節(jié)距分別為1、2和3個(gè)定子齒距，定義為線圈1～線圈3。

樣機(jī)導(dǎo)線1、2、3反電勢的解析法、有限元法和樣機(jī)試驗(yàn)結(jié)果分別如圖13所示。在樣機(jī)中，調(diào)制后的磁場基波極對數(shù)為2，相鄰槽口導(dǎo)線的反電勢相位差應(yīng)為120°，所以導(dǎo)線1、2、3的反電勢相位分別為0°、-120°、-240°。

樣機(jī)線圈1、2、3反電勢的解析法、有限元法和樣機(jī)試驗(yàn)結(jié)果如圖14所示。

線圈1、2和3的第1節(jié)距分別為1、2和3，其節(jié)距因數(shù)分別為0.866、0.866和0。繞組反電勢與節(jié)距因數(shù)成正比，所以線圈1和線圈2的反電勢幅值相同，線圈3反電勢為0。

作為對比，對轉(zhuǎn)子17槽的VHM進(jìn)行分析，結(jié)果如圖15所示。當(dāng)轉(zhuǎn)子槽數(shù)為17時(shí)，調(diào)制后的磁場基波極對數(shù)p為1，電機(jī)極距為3，線圈1、2、3的節(jié)距因數(shù)分別為0.5、0.866和1。根據(jù)仿真結(jié)果，線圈1、2、3的反電勢幅值分別為206.8 mV、369.1 mV和430.8 mV，其比例0.48∶0.857∶1，與繞組節(jié)距因數(shù)比例非常吻合。

6結(jié)論

本文利用子域法建立了游標(biāo)混合電機(jī)的解析模型，通過磁場偏微分方程和邊界條件求解各個(gè)子域的矢量磁位方程，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行電機(jī)的磁密、磁鏈、反電動(dòng)勢和轉(zhuǎn)矩的計(jì)算，并與有限元仿真和樣機(jī)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對比，結(jié)果表明解析法能夠快速建立電機(jī)結(jié)構(gòu)尺寸和性能之間的關(guān)系，特別適用于游標(biāo)混合電機(jī)的初設(shè)設(shè)計(jì)和優(yōu)化。

參 考 文 獻(xiàn)：

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