郜舒竹

“替換（Substitution）”是人們經(jīng)常性開展的活動(dòng)，比如物品的以舊換新，是將舊物用新物替換。再比如購物，是用所需物品替換貨幣，使得物品出現(xiàn)或增加，貨幣消失或減少。數(shù)學(xué)解題過程中，替換也是經(jīng)常使用的做法，挖掘其背后的想法，使得替換成為一種推理形式，對于提高解題教學(xué)的質(zhì)量十分有益。

一、什么是替換推理

“替換”指的是人的一種行為或做法，將原有對象改變?yōu)橐粋€(gè)新的對象，在數(shù)學(xué)中也叫作“代換”。比如對于一般的圓面積公式πr2，此時(shí)半徑是用一般的字母r表示，表達(dá)的是任意一個(gè)圓的半徑與面積都具有這樣的關(guān)系。如果已知一個(gè)特殊的圓半徑為5厘米，為了求出這個(gè)圓的面積，就需要將公式中的r，替換為具體的數(shù)字“5”，圓面積公式就成為“52π”。其中出現(xiàn)了用數(shù)字“5”替換字母“r”的做法。

替換的做法，在數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用極其廣泛。①注釋：比如對于不定積分∫2xsin(x2)dx的計(jì)算，就需要用新變量u替換x2，將不定積分∫2xsin(x2)dx變?yōu)椤襰inudu。其特點(diǎn)是替換對象與被替換對象具有某種“守恒（Conservation）”的關(guān)系，也就是形式上發(fā)生了變化，甚至因變化所導(dǎo)致的差異很大，但某種數(shù)量或性質(zhì)是不變的，或者是有規(guī)律地變化的。比如用分?jǐn)?shù)替換雖然形式上二者不同，但分?jǐn)?shù)值是相同的。替換作為一種做法，其中必然隱藏著人的想法，這樣的想法往往反映為對如下問題的思考：

● 誰需要被替換？

● 誰來替換？

● 為什么能夠替換？

● 為何替換？

● 替換后什么變了？什么沒變？等等。

對這些問題的思考，自然就會(huì)出現(xiàn)從判斷到判斷的推理，也就使得替換過程成為了思維的推理過程。不妨把這樣的推理過程叫作“替換推理（Substitutive Reasoning）”。替換推理不僅在針對算式的計(jì)算中應(yīng)用廣泛，而且在許多問題的解決中也有效。

二、替換中的守恒

20世紀(jì)美國數(shù)學(xué)家、航海家，紐約州漢密爾頓學(xué)院教授，查爾斯·斯坦利·奧吉爾威(Charles Stanley Ogilvy：1913—2000)，在其所著《數(shù)學(xué)之旅（Excursions in Mathematics）》中，曾提出一個(gè)著名的紅酒問題：

兩個(gè)大小、形狀完全相同的杯子A和B，A中有半杯紅酒，B中有半杯水，二者容量相同。如果將A杯中少量紅酒倒入B杯水中攪勻，此時(shí)B杯中就成為紅酒與水的混合溶液。再將B杯中同樣多的溶液倒回A杯。這時(shí)兩杯都成為紅酒和水的混合溶液，而且容量相同。也就是A杯紅酒中有水，B杯水中有酒。那么A杯酒中的水，與B杯水中的酒，哪一個(gè)更多？[1]

有觀點(diǎn)認(rèn)為此時(shí)B杯水中的酒，要比A杯酒中的水多，因?yàn)榈谝淮螐腁杯倒入B杯是純酒，而第二次倒回時(shí)是酒和水的混合溶液。①致謝：2019年9月21日，在日本創(chuàng)價(jià)大學(xué)教育學(xué)院的國際高峰論壇后的酒會(huì)中，本題出示給與會(huì)學(xué)者以及創(chuàng)價(jià)大學(xué)學(xué)生，引起極大興趣和熱烈討論。許多觀點(diǎn)源于這次輕松、愉悅的討論。特別感謝創(chuàng)價(jià)大學(xué)教育學(xué)部學(xué)部長鈴木將史教授所給出的深入淺出的解釋。

其實(shí)如果運(yùn)用替換推理，很自然可以想到，B杯水中的酒與A杯酒中的水，實(shí)質(zhì)是相互替換的關(guān)系。水中的酒與酒中的水相互替換，二者自然應(yīng)當(dāng)是相同的（見圖1）。

圖1 酒、水替換示意圖

圖1中左圖下邊白色部分表示A杯酒中的水，右圖上邊陰影部分表示B杯水中的酒。二者容量應(yīng)當(dāng)是相同的?？梢杂镁唧w數(shù)據(jù)的計(jì)算驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論。假定開始兩杯中各自的紅酒和水容量分別為2升，第一次將A杯中1升酒倒入B杯，那么B杯溶液中紅酒與水的關(guān)系為1∶2。

替換是為了變化，而變化過程中往往存在著不變，能夠識(shí)別這種變化過程中不變的因素，在數(shù)學(xué)與科學(xué)問題的思考中，叫作“守恒（Conservation）”。事實(shí)上，也就是發(fā)現(xiàn)規(guī)律的能力，是解題教學(xué)中需要特別關(guān)注的內(nèi)容。

三、替換中的變化

替換過程中不僅要關(guān)注守恒，也要關(guān)注替換所引起的協(xié)同變化及其規(guī)律。比如對于雞兔同籠問題：假設(shè)共有35個(gè)頭，94只腳，求雞和兔各有多少只？這一問題的解法很多[2]，諸多做法可以總結(jié)為表1中的八種。

表1 雞兔同籠問題解法列舉

根據(jù)表中所列出的八種第一步做法和想法，都可以推理出問題答案。所有做法都會(huì)運(yùn)用到雞和兔相互替換的思考過程。

以表1中序號(hào)8做法“35÷2=17.5”為例，這時(shí)頭腦中出現(xiàn)了不符合實(shí)際的虛擬情境（Non-real Context），雞和兔各有17.5只。虛擬情境下雞和兔的總腳數(shù)為：(4+2)× 17.5=105（只），比實(shí)際腳數(shù)94多出了105-94=11（只），之所以多出11只腳，說明虛擬情境中的兔只數(shù)比實(shí)際多了，此時(shí)就需要將若干只兔替換為雞，使得雞只數(shù)增加，兔只數(shù)減少。每一只兔替換為一只雞，頭數(shù)不變（守恒），腳數(shù)發(fā)生了變化，減少2（見圖2）。

圖2 雞替換兔示意圖

一共需要減少11只腳，因此用雞替換兔的只數(shù)為：11÷2=5.5（只）。也就是在虛擬情境中，應(yīng)當(dāng)用5.5只雞替換5.5只兔，使得雞只數(shù)增加5.5只，兔只數(shù)減少5.5只。得到實(shí)際情境中雞只數(shù)為17.5+5.5=23（只），兔只數(shù)為17.5-5.5=12（只）。

這一推理過程可以概括為，通過對總頭數(shù)取半（Halving）得到虛擬情境，而后通過雞和兔相互替換，將虛擬情境轉(zhuǎn)變?yōu)檎鎸?shí)情境。替換過程中的關(guān)鍵是在頭數(shù)守恒的基礎(chǔ)上，把握腳數(shù)的變化規(guī)律。

四、思維中的替換

美國20世紀(jì)著名的數(shù)學(xué)游戲大師馬丁·加德納（Martin Gardner，1914—2010），曾經(jīng)發(fā)表過一個(gè)行車過程中的“速度問題”：

某人駕車從A地去B地辦事，計(jì)劃全程平均速度為每小時(shí)60千米，可以按時(shí)趕到。因?yàn)槁窙r問題，行駛至半途時(shí)發(fā)現(xiàn)，前半程行駛速度只有每小時(shí)30千米。為了按時(shí)趕到，他決定后半程加速行駛。那么后半程速度為多少時(shí)，才能使得全程平均速度為每小時(shí)60千米？[3]

在這一問題的思考中容易出現(xiàn)的一個(gè)誤解，是運(yùn)用“盈虧互補(bǔ)”的想法，因?yàn)榍鞍氤堂啃r(shí)30千米，比計(jì)劃速度每小時(shí)60千米減少了30千米，因此后半程速度就需要在60的基礎(chǔ)上增加30，使得速度為每小時(shí)90千米，就可以按時(shí)趕到。

如果運(yùn)用平均速度等于“總距離÷總時(shí)間”進(jìn)行檢驗(yàn)，可以發(fā)現(xiàn)這個(gè)結(jié)論并不正確。假設(shè)全程距離為“1”，那么前半程和后半程距離分別為0.5，所用時(shí)間分別為小時(shí)和小時(shí)。全程平均速度為：

結(jié)果并不等于60。事實(shí)上，如果采用替換推理，將速度這個(gè)思考對象替換為時(shí)間，問題就會(huì)變得異常簡單。

如果把問題稍微改變一下：前半程速度的每小時(shí)30千米，改變?yōu)槊啃r(shí)50千米。那么后半程提速到多少，能夠按時(shí)趕到？

可以采用與前面類似的推理過程，將針對速度的思考，替換為對時(shí)間的思考。前半程速度為每小時(shí)50千米，是計(jì)劃速度每小時(shí)60千米的那么前半程實(shí)際所用時(shí)間是計(jì)劃時(shí)間的也就是倍，占用了后半程的時(shí)間。因此后半程時(shí)間只能是計(jì)劃時(shí)間的運(yùn)用速度與時(shí)間的反比例關(guān)系，立刻知道后半程速度應(yīng)當(dāng)是計(jì)劃速度的倍，能夠使得全程平均速度為每小時(shí)60千米，因此后半程速度應(yīng)當(dāng)是60的倍，即每小時(shí)千米。

這樣思維對象的替換，實(shí)質(zhì)是利用兩個(gè)量之間的協(xié)變關(guān)系，將針對一個(gè)量的思考，替換為針對另一個(gè)量的思考。前面問題中就是將針對速度的思考，替換為針對時(shí)間的思考。

五、錯(cuò)誤的替換

值得注意的是，任何替換的做法都是有條件的。在某條件下可行并且有效的替換，在另外的條件下可能是不可行或者無效的。

如果想將分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)繼承到指數(shù)運(yùn)算中，就需要增加新的條件。再比如，對于長度的度量有下面的關(guān)系：

● 1米等于10分米

● 1分米等于10厘米

● 1米等于100厘米

不當(dāng)?shù)奶鎿Q，會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤的結(jié)論：

這個(gè)推理過程，表面看每一步的計(jì)算都是正確的，得到的是“1米=1厘米”的悖論，原因是將“100厘米”替換為“10厘米×10厘米”是不可行的。100厘米表示一維線性的長度，可以寫為“10×10厘米”，即1米等于10厘米的10倍。而“10厘米×10厘米”表示二維平面的面積，意義是“100平方厘米”或“0.01平方米”。因此“10×10厘米”與“10厘米 ×10厘米”本質(zhì)上是不一樣的，不具備守恒的關(guān)系。類似的錯(cuò)誤替換還可以得到“1百元=1元”的悖論：

綜上，替換作為數(shù)學(xué)解題中常用的做法，其中蘊(yùn)含著的守恒、變化規(guī)律以及可行性等諸多想法，使其成為一種思維中的推理形式。教學(xué)中讓學(xué)生有機(jī)會(huì)經(jīng)歷這樣的推理，無疑對于彰顯解題的育人功能會(huì)有所裨益。