程進(jìn)生

“分?jǐn)?shù)除法”是蘇教版六年級上冊的內(nèi)容。其教學(xué)分成三個層次，分別是分?jǐn)?shù)除以整數(shù)、整數(shù)除以分?jǐn)?shù)和一個數(shù)除以分?jǐn)?shù)，螺旋上升?！罢麛?shù)除以分?jǐn)?shù)”有承上啟下的作用。

一、課前思考

與人教版對比，兩者推導(dǎo)“整數(shù)除以分?jǐn)?shù)”計算方法的思路不同。人教版（六上第31頁）通過抽象“推理”出計算方法，如例2中解決“小明小時走了2km，小明平均每小時走多少km”這個問題，教材是這樣說明的，即“先求小時走的千米數(shù)，也就是求2的即再求3個小時走的千米數(shù)，即進(jìn)而整理得出推理過程較為抽象，有“教了也不懂（為什么乘除數(shù)的倒數(shù)），不如不教”的尷尬。蘇教版（六上第44、45頁）為避免類似的尷尬，強(qiáng)調(diào)了直觀化，借助直觀形式“看出”計算方法，例2中先畫圖分橙子寫結(jié)果，接著就出現(xiàn)“從上面的結(jié)果可以看出從上面的結(jié)果可以看出的結(jié)語，這是拿形式說方法，并未深入到算理的實質(zhì)。

如果對算理理解都有困難，學(xué)生還能自己探索出教材中呈現(xiàn)的推導(dǎo)方法嗎？筆者以為，實際教學(xué)中，不妨給學(xué)生一個開放的空間，讓其自由地思考、自主地探索計算方法，變教材的“要求”為學(xué)生探索的“需求”，而不只是囿于教材中出現(xiàn)的唯一推導(dǎo)方法。

為了發(fā)現(xiàn)學(xué)生探索時的著“火”點，筆者進(jìn)行了學(xué)情前測。前測題目：4個同樣大的橙子分給小朋友。①如果每人分個，可以分給幾人？②如果每人分個，可以分給幾人？③每人分個呢？把你的想法表達(dá)出來。

前測（45人參與）結(jié)果是：九成多的學(xué)生能得出問題①②的正確結(jié)果，能得出問題③的結(jié)果的人數(shù)不足三成。解題方法各異，其中畫圖法運用得最多，把分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)直接計算的次之，運用商不變規(guī)律計算的有3人，而用“顛倒除數(shù)相乘”直接計算的有5人。訪談后得知，“顛倒除數(shù)相乘”法，有的是自己看書知道的，有的是父母告訴的，至于原因說不明白。

從調(diào)查中知道，學(xué)生對整數(shù)除以分?jǐn)?shù)并不是一無所知，他們有自己的思考和想法，直觀模型是多數(shù)學(xué)生的“腳手架”，“聯(lián)系轉(zhuǎn)化”可以成為抽象推理教學(xué)的突破口。于是變教材“要求”為學(xué)生“需求”的教學(xué)路徑清晰了。

二、教學(xué)實踐

（一）展示作品，順應(yīng)學(xué)生思維“需求”

【教學(xué)片段呈現(xiàn)】

師：同學(xué)們課前已經(jīng)解決過了，老師現(xiàn)在把你們當(dāng)中的一些想法展示出來（如圖1）。

圖1

師：為什么用除法來列式？

師：對，“求一個數(shù)里有幾個另一個數(shù)”用除法計算，這個除數(shù)可以是整數(shù)，也可以是分?jǐn)?shù)。分?jǐn)?shù)除法和整數(shù)除法的意義是相通的。

師：觀察一下這三種做法，你看明白了哪種？（留足時間給學(xué)生思考）

師：這是個不錯的策略，把分?jǐn)?shù)除法轉(zhuǎn)化成小數(shù)來計算，對這個策略你們有什么疑問？

師：這是個問題，說明轉(zhuǎn)化成小數(shù)去計算有它的局限性。

生：第二種方法是用畫圖來想到的。通過看圖，我們知道每個橙子能分給兩個人，所以4個橙子就能分給4×2個小朋友。

生：第三種方法，是把分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成了我們學(xué)過的整數(shù)來除的，這有點像我們學(xué)習(xí)小數(shù)除法時用到的策略——把除數(shù)是小數(shù)的轉(zhuǎn)化成除數(shù)是整數(shù)的來計算。

師：是運用了什么規(guī)律來把分?jǐn)?shù)除數(shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù)來計算的呢？

生：被除數(shù)和除數(shù)同時乘2。哦，對了，是商不變的規(guī)律。

師：這里是同時乘2，那么同時乘3或同時乘其他整數(shù)可以嗎？

生：同時乘2除數(shù)就變成了1，如果同時乘3，除數(shù)還是分?jǐn)?shù)，如果同時乘4也行，除數(shù)也是變成了整數(shù)2，也能算出來。

師：那么同時乘哪個數(shù)計算時會更簡單呢？

生：同時乘2更簡單，因為除數(shù)乘2后變成1，當(dāng)然計算會更簡單。

【思考】“平均分東西”的情境幫助學(xué)生溝通了分?jǐn)?shù)除法和整數(shù)除法的意義。展示來自不同學(xué)生的解題策略，既滿足了他們的表現(xiàn)欲，更讓不同水平的學(xué)生在數(shù)學(xué)思考中都有所收獲。在多樣化的算法中，有直觀計算的“合情”，也有抽象運算的“合理”，體現(xiàn)了學(xué)生的“轉(zhuǎn)化”思想。由學(xué)生的本真思維切入教學(xué)，效果較為理想。

（二）放手遷移，順應(yīng)經(jīng)驗內(nèi)化，提升“需求”

【教學(xué)片段呈現(xiàn)】

師：課前沒有思考出來的同學(xué)，現(xiàn)在再做做看。

生：我用了兩種方法，第一種是畫圖法，一眼就可看出分成了12份，也就是每個橙子可以分成3份，所以4×3=12（教師順勢板書式子）。第二種是把被除數(shù)和除數(shù)都同時乘以3，變成12÷1=12。（如圖2）

圖2

生：這道題不能把分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)來計算了。第二種把除數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)?，好簡單！好像所有的分?jǐn)?shù)除數(shù)都可以變?yōu)?。

師：對，那分?jǐn)?shù)除數(shù)怎么能變?yōu)?呢？

生：乘積是1的兩個分?jǐn)?shù)互為倒數(shù)，所以只要乘除數(shù)的倒數(shù)就行了。我知道前面我們?yōu)槭裁匆獙W(xué)習(xí)倒數(shù)了！

師：你的想法很有意義。我們可以利用商不變的規(guī)律，把分?jǐn)?shù)除數(shù)變成1再除，除數(shù)變成1只要乘它的倒數(shù)就可以了。

師：用商不變的規(guī)律去計算一下，再用畫圖進(jìn)行驗證，看看結(jié)果對不對？

教師展示學(xué)生的畫圖驗證（如圖3）。

圖3

師：畫圖的驗證結(jié)果和我們用商不變規(guī)律計算的結(jié)果是一樣的。

師：同學(xué)們觀察一下黑板上的幾個算式（見圖4），它們的除數(shù)都變成了1，因此除得的結(jié)果只要看被除數(shù)怎樣變化就可以了。老師把除數(shù)這一部分變化過程擦去，你們再觀察、對比一下每個算式的前后變化，你有什么想說的？

圖4

生：被除數(shù)和除數(shù)同時乘除數(shù)的倒數(shù)，只要用被除數(shù)乘除數(shù)的倒數(shù)就可以了，因為這時候除數(shù)已經(jīng)變成了1，而任何數(shù)除以1都等于它本身，除數(shù)1可以省略不寫。

生：對，計算分?jǐn)?shù)除法不需要同時乘倒數(shù)，可以省略一步，只需要把被除數(shù)乘除數(shù)的倒數(shù)就行了。

師：重要的話說三遍，誰還愿意再說三遍？（同桌互相說，師板書：整數(shù)除以分?jǐn)?shù)，等于整數(shù)乘這個分?jǐn)?shù)的倒數(shù)）

師：我們探討了分?jǐn)?shù)除法——整數(shù)除以分?jǐn)?shù)，我們利用“商不變規(guī)律”進(jìn)行了轉(zhuǎn)化，這不僅適用于我們學(xué)過的整數(shù)、小數(shù)除法，也同樣適用于今天學(xué)習(xí)的分?jǐn)?shù)除法。在利用“商不變的規(guī)律”的過程中，我們通過優(yōu)化算式，使分?jǐn)?shù)除法轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)乘法，計算變得簡單。可見，很多知識都是相通的！

【思考】放手讓學(xué)生充分利用上一個環(huán)節(jié)中獲得的計算經(jīng)驗，自主探索除數(shù)是和的除法。親歷了轉(zhuǎn)化的過程，學(xué)生知道把分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)計算的局限性，意識到除數(shù)轉(zhuǎn)化為“1”是一個好辦法，并在此基礎(chǔ)上通過觀察、歸納等活動，逐漸明白“除以一個分?jǐn)?shù)，等于乘這個分?jǐn)?shù)的倒數(shù)”的方法實際上是應(yīng)用商不變規(guī)律的優(yōu)化形式。如此，學(xué)生不僅體會到數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，而且能積累探索計算方法的經(jīng)驗，發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力。

（三）引導(dǎo)聯(lián)想，看學(xué)生思維拓展“需求”

【教學(xué)片段呈現(xiàn)】

師：通過今天的學(xué)習(xí)，你還有哪些疑問？

生：把除法轉(zhuǎn)變?yōu)槌朔▉碛嬎悖疫€是第一次見到，算是開了眼界了。那小數(shù)除法能不能轉(zhuǎn)化成乘法來計算？

師：這是個不錯的問題！課后幾個人在一起研究研究，如果能轉(zhuǎn)化為乘法來計算，方法簡捷嗎？

生：分?jǐn)?shù)除法除了“顛倒除數(shù)相乘”這個方法外，還有沒有其他的算法？

師：“顛倒除數(shù)相乘”這個說法很好，也很簡潔！人們在解決一個問題時，往往能想出很多辦法，分?jǐn)?shù)除法的方法也有多種。在我國古代，還有在古巴比倫等國，都出現(xiàn)過其他的算法，有興趣的同學(xué)可以在課下搜索。隨著歷史的發(fā)展，人們最終都喜歡用“顛倒除數(shù)相乘”法，因為它簡單易行！

【思考】對算理的真實理解，激起了學(xué)生的聯(lián)想，使學(xué)生把學(xué)習(xí)的觸角延伸到數(shù)學(xué)研究的深處，拓展至“分?jǐn)?shù)除法計算”的發(fā)展史。教師的“因為它簡單易行”，讓學(xué)生初步明白：計算方法雖不唯一，但“顛倒除數(shù)相乘”的計算法則是數(shù)學(xué)概括性和簡潔性的選擇，也是提高運算效率的必然選擇。

三、課后反思

本節(jié)課的教學(xué)，用直觀形式和抽象推理互為表征、相輔相成，有利于學(xué)生對算理的理解，提高了思維的含金量。變教材“要求”為學(xué)生“需求”是本節(jié)課取得較好效果的關(guān)鍵。

（一）突破教材，讓學(xué)生“自嗨”

教材是通過直觀模型來幫助學(xué)生理解算理的。但很多學(xué)生并沒有如教材所要求的明白算理，只是被動接受算法。教材的要求與學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”往往是有偏差的，故在教學(xué)中，不如放手讓學(xué)生先“自嗨”，教師見機(jī)了解學(xué)情。奧蘇伯爾曾說過：“影響學(xué)習(xí)的最重要因素是學(xué)生已經(jīng)知道了什么，我們應(yīng)當(dāng)根據(jù)學(xué)生的已有知識狀況進(jìn)行教學(xué)?！币虼嘶趯W(xué)情而突破教材的課就未必不是好課。

（二）尋找有故事的作品，調(diào)控學(xué)生的“自嗨”

在學(xué)生“自嗨”探索解決問題時，他們已不是坐著板凳看課本劇的“吃瓜群眾”，他們會積極地投入進(jìn)去，調(diào)動以往經(jīng)驗，努力思考問題解決的辦法。前測作業(yè)紙里，雖沒有出現(xiàn)與教材里一致的“規(guī)定”范式，但多數(shù)解題的背后，是有故事的，都蘊含著一個合情或合理的算理。從畫圖到轉(zhuǎn)化成小數(shù)計算，再到運用商不變規(guī)律，教師只是順應(yīng)學(xué)生本真的思維適時“點火”，恰當(dāng)調(diào)控。

（三）依照作品算理，建立知識間的聯(lián)系

學(xué)生“自嗨”的作品中，看似“法”不同，但“理”是關(guān)聯(lián)的。由于學(xué)生涉“知”不深，教師需要引導(dǎo)他們比照各“法”，幫助建立知識間的聯(lián)系，使學(xué)生清晰地感受到“轉(zhuǎn)化”策略的魅力，深刻理解“商不變規(guī)律”的適用性，達(dá)到真正意義上的理解。