三角形旁切圓半徑平方的倒數(shù)和的上下界加強(qiáng)

安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 (郵編：241003)

關(guān)于三角形旁切圓半徑平方的倒數(shù)和的上下界，文[1]收錄了如下結(jié)論.

定理1若ra,rb,rc,R,r分別是△ABC的頂點(diǎn)A，B，C所對的△ABC旁切圓半徑，外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑，∑表示循環(huán)和，則

①

本文給出上述不等式(1)的一個加強(qiáng).

定理2若ra,rb,rc,R,r分別是△ABC的頂點(diǎn)A，B，C所對的△ABC旁切圓半徑，外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑，∑表示循環(huán)和，則

②

1 兩個引理

引理1[2]設(shè)a,b,c,s,r,R分別是△ABC的邊長、半周長、內(nèi)接圓半徑與外接圓半徑，則

其中等號當(dāng)且僅當(dāng)三角形為正三角形時成立.

引理2[3]設(shè)a,b,c,s,r,R分別是△ABC的邊長、半周長、內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑，則

其中等號當(dāng)且僅當(dāng)三角形為正三角形時成立.

2 主要結(jié)論的證明

證明設(shè)△是△ABC的面積，應(yīng)用三角形的面積公式Δ=(s-a)ra=(s-b)rb=(s-c)rc=sr以及恒等式∑a2=2(s2-4Rr-r2)，有

利用引理1，有

利用引理2，有

不等式②得證.

3 討論

所以，不等式②是不等式①的加強(qiáng).