淺談高中立體幾何解題

周根旺

[摘 ? 要]立體幾何解答題是歷年高考必考的熱點(diǎn)，對部分學(xué)生來說是一大難點(diǎn)，他們往往找不到解題的突破口.突破難點(diǎn)的關(guān)鍵是讀好題.讀題有明確的思維步驟，讀題時可按照“初讀[→]聯(lián)想讀題[→]結(jié)合問題讀題[→]回顧”的步驟進(jìn)行.

[關(guān)鍵詞]立體幾何;讀題;解題

[中圖分類號] ? ?G633.6 ? ? ? ?[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] ? ?A ? ? ? ?[文章編號] ? ?1674-6058（2019）26-0023-01

立體幾何抽象、邏輯性強(qiáng)，學(xué)生覺得難學(xué)不易掌握.其解答題更是學(xué)生的一大難點(diǎn)，學(xué)生往往找不到解題的突破口.對于立體幾何問題，讀題是解決問題的關(guān)鍵，讀題需要有明確的思維步驟.

第一步，初讀——數(shù)形結(jié)合.

閱讀時全局把握，將信息在圖中對應(yīng)勾畫，把數(shù)與形結(jié)合起來;明確題目中的面面、線面、線線之間的關(guān)系.重點(diǎn)留意圖形中的面面垂直、線面垂直、線線平行、線面平行等關(guān)系;挖掘幾何體中的隱含條件，弄清問題的類型;對照圖形將已知條件回顧一遍，避免解題時將條件漏掉，導(dǎo)致問題無法解答.

第二步，聯(lián)想讀題——條件轉(zhuǎn)化.

認(rèn)真分析已知條件，展開聯(lián)想，進(jìn)行推理，將每一個條件細(xì)化和衍生.其實(shí)，就是對已知條件的再加工.有時，需先研究清楚空間幾何體的某一個面.當(dāng)題中某一個面中關(guān)系較多時，可將此面單獨(dú)畫出來，以便于充分利用圖形提供的信息解決問題.有時，也可通過作截面將三維問題二維化.有的問題，條件是以圖形的形式或?qū)l件隱含在圖形之中，審題時要善于觀察圖形，挖掘圖形中所隱含的特殊關(guān)系.條件給出具體數(shù)據(jù)較多時，可以通過數(shù)值計(jì)算得出一些位置關(guān)系.

第三步，結(jié)合問題讀題——尋找結(jié)論成立的充分條件.

從問題本身出發(fā)，聯(lián)想常規(guī)解決模式，思考問題解決途徑，尋找所需要的條件.把握已知與未知間的聯(lián)系，并及時提取記憶中的有關(guān)信息，構(gòu)思解決方案.如果這些條件題目中沒有直接給出，可尋找與之接近的條件或結(jié)合第二步“聯(lián)想讀題”轉(zhuǎn)化所得的條件.通常，第二步中對某一平面的研究會發(fā)現(xiàn)解決問題的許多條件，應(yīng)加以重視.

第四步，回顧——查漏補(bǔ)缺.

解題后還需要回顧，觀察已知條件有沒有用到位、是否有疏漏，角度范圍是否合理，求解過程與求解結(jié)果是否統(tǒng)一，解答過程是否規(guī)范.

[例題]（2016·天津卷）如圖1所示，四邊形ABCD是平行四邊形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，BC=EF=1，AE=[6]，DE=3，∠BAD=60°，G為BC的中點(diǎn).

（1）求證：FG∥平面BED;

（2）求直線EF與平面BED所成角的正弦值.

讀題第二步：

①[四邊形ABCD是平行四邊形?]AB[∥]CD，BC[∥]AD;

②EF∥AB [?] EF∥面ABCD，EF∥CD;

[③ ? ? ? ? ? AB=2BC=AD=1∠BAD=60°?BD⊥AD ? ? ? ? ? ? ? 面AED⊥面ABCD][?BD⊥面AED?面BDE⊥面ADE;]

④由“G為BC的中點(diǎn)”通常會聯(lián)想到“三線合一”“中位線”“直角三角形中線性質(zhì)”.

讀題第三步：

（1）求證FG∥平面BED聯(lián)想常用方法：

①線面平行的判定，線線平行（在面BED中找一線與FG平行），通常尋找中位線或構(gòu)造平行四邊形.

②面面平行的性質(zhì)定理，[過FG的一個平面]∥面BEG.

③定義，線面無交點(diǎn)（反證法）.

本題在面BED中尋找與線BD平行的線，根據(jù)前面的分析，取BD的 中點(diǎn)為O，抓住中位線.當(dāng)然，有時也可讓學(xué)生直觀觀察線的大體位置，形成直觀感覺，再到線，然后加以證明.OG∥DC且OG=DC=1.又因?yàn)镋F∥AB，AB∥DC，所以EF∥OG且EF=OG，即四邊形OGFE是平行四邊形，所以FG∥OE.

（2） 求直線EF與平面BED所成角的正弦值常用方法：

①作線面角：作（找）面的垂線，找斜線的射影，斜線與射影所成角即線面角.

②線面角不好作時，可計(jì)算斜線上一點(diǎn)到面的距離（即垂線段長度），通?？捎玫润w積法、對稱點(diǎn)法或平行線轉(zhuǎn)化法.垂線段的長除以斜線段的長即為線面角的正弦值.

③平行線轉(zhuǎn)化，兩條平行線與同一平面所成角相等.本題EF∥AB，所以直線EF與平面BED所成的角，即為直線AB與平面BED所成的角.過點(diǎn)A作AH⊥DE于點(diǎn)H，連接BH.又平面BED ∩平面AED =ED，由（2）知平面BED⊥平面AED，所以AH⊥平面BED，所以直線AB與平面BED所成的角即為∠ABH.

通過以上讀題，問題基本得到解決，部分學(xué)生如果在解題過程中被卡住，建議再次審題，從已知條件出發(fā)檢查是否有信息漏掉.

（責(zé)任編輯 黃春香）