安徽

陳曉明

(作者單位：安徽省寧國中學(xué))

本文所討論的試題是筆者所在學(xué)校(省級(jí)示范高中)高一的一道數(shù)學(xué)周考試題，是關(guān)于直線方程的解答題，此題得分率很低，于是在試卷講評(píng)課上筆者帶領(lǐng)學(xué)生對(duì)該題的解法一探究竟，以求找到不同解法及諸多錯(cuò)解產(chǎn)生的原因，并掌握此類問題的解題策略.結(jié)果同學(xué)們積極參與討論，課堂上精彩紛呈，帶來好多意外收獲！

一、課堂實(shí)錄

題目直線y=2x是△ABC中∠C的平分線所在的直線l，若點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為A(-4,2)，B(3,1)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)，并判斷△ABC的形狀.

教師：誰來談?wù)勛约旱目捶ǎ?/p>

學(xué)生1：要想求點(diǎn)C的坐標(biāo)，只需要求出直線CA或CB的方程即可.因?yàn)辄c(diǎn)C又在直線l：y=2x上，所以聯(lián)立直線l與直線CA或CB的方程，解方程組即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo).可我無法求出直線CA或CB的方程，因?yàn)橹恢乐本€上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).

教師：分析很有道理，做數(shù)學(xué)題首先就要像學(xué)生1一樣會(huì)分析.誰能幫他解決分析過程中遇到的困惑呢？

進(jìn)一步求出直線CB(即直線CA′)的方程為3x+y-10=0.

教師：太厲害了！充分利用了角平分線的性質(zhì)，求得點(diǎn)A(-4,2)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′(4,-2)，從而利用兩點(diǎn)坐標(biāo)求得直線CB的方程，問題迎刃而解.

學(xué)生3：我還求出了點(diǎn)B(3,1)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′(-1,3)，因?yàn)辄c(diǎn)B′(-1,3)在直線CA上，從而求出直線CA的方程，再利用直線CA與l的方程求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，這樣做麻煩一些，我當(dāng)時(shí)沒想到學(xué)生2的簡單方法.

教師：兩位同學(xué)的解法都非常好！其他同學(xué)還有更好的想法嗎？

教師：聰明！真是“條條大路通羅馬”.

教師：很好，真是殊途同歸！我當(dāng)初還真沒想到求對(duì)稱點(diǎn)也有這么多方法.

學(xué)生6：我覺得在前面學(xué)生3的方法中，求得點(diǎn)C的坐標(biāo)后，求出直線CA與CB的斜率，由它們的斜率之積為-1，即可得兩直線垂直，從而得到△ABC為直角三角形.

學(xué)生7：這只能判斷出∠C為直角，無法判斷是否等腰.

教師：數(shù)學(xué)使人周密真是沒錯(cuò).

就在這時(shí)，平時(shí)一直不太愛說話的學(xué)生8也發(fā)言了，不過看他樣子好像十分困惑.

教師：大家思考一下這是什么原因呢？是解法1漏解了，還是解法2產(chǎn)生了增解？

學(xué)生10(解法3：利用相似三角形)：如圖所示，分別過點(diǎn)A(-4,2)，B(3,1)作x軸垂線，與直線l：y=2x分別交于點(diǎn)A′(-4,-8)，B′(3,6).

教師：看似復(fù)雜的方法，運(yùn)算卻很簡單，看來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要不畏艱難，敢于挑戰(zhàn)，最后你可能會(huì)發(fā)現(xiàn)攔路虎原來是紙老虎！

接下來又有同學(xué)提出一些問題，大家一同進(jìn)行了研究.

教師：大家通過對(duì)此題的研究得到了什么啟示？

學(xué)生各抒己見，概括起來主要是下面幾點(diǎn)：

①所研究問題與以前的哪些問題相類似，解決此類問題的基本思路是什么？

②解題的關(guān)鍵在哪里？是如何化歸的？

③本題是否有別的解法？有無更簡便的解法？

④哪一種方法最基本？哪一種方法最典型？哪一種方法最簡便？哪一種方法最巧妙?

⑤解題結(jié)果是否正確、圓滿？有無增解、漏解或錯(cuò)解等情況？

二、教學(xué)思考

“燈不挑不明，理不辯不清”，教師要充分利用學(xué)生對(duì)試題的錯(cuò)誤解法，給學(xué)生多一些思考，多一些探究，要充分相信學(xué)生，不能只按照自己事先想好的思路來教學(xué)，否則就會(huì)限制學(xué)生的思維，強(qiáng)扭學(xué)生的思維，題目剛出來就先進(jìn)行提示或分析，那樣做會(huì)扼殺學(xué)生的自主思維能力，剝奪學(xué)生的自由創(chuàng)造空間.在學(xué)生還沒來得及思考的時(shí)候，老師硬是用自己固定的思路框定他們的頭腦，使他們服從于已有的模式，這對(duì)他們思維能力的形成是個(gè)不小的打擊.

離開了學(xué)生的“自主活動(dòng)”“智力參與”“個(gè)人體驗(yàn)”，就失去了學(xué)習(xí)真正的意義了.把課堂還給學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生積極思考，讓每位學(xué)生在數(shù)學(xué)思維的世界里自由地翱翔，體現(xiàn)出習(xí)題課教學(xué)的作用，通過解決問題，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，讓每位學(xué)生主動(dòng)、積極地參與教學(xué).當(dāng)然，要做到這點(diǎn)，首先，教師對(duì)習(xí)題本身要有深入的研究，其次，對(duì)學(xué)生的課堂參與要給予足夠的激勵(lì)和引導(dǎo)，注意傾聽他們的聲音，點(diǎn)燃他們的思維之火.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》強(qiáng)調(diào)：“數(shù)學(xué)教學(xué)要使學(xué)生通過不同形式的自主學(xué)習(xí)、探究活動(dòng)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程.”作為一線教師，我們應(yīng)力求讓探究成為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的常態(tài)，應(yīng)善于把握課堂教學(xué)中的每一個(gè)探究機(jī)會(huì)和細(xì)節(jié)，使數(shù)學(xué)探究逐步成為學(xué)生學(xué)習(xí)的自覺行為，乃至形成習(xí)慣，促進(jìn)學(xué)生思維的全面發(fā)展.