顏閩秀，徐 輝

(1.沈陽化工大學(xué)信息工程學(xué)院，遼寧 沈陽，110142；2.沈陽化工大學(xué)工業(yè)環(huán)境-資源協(xié)同控制與優(yōu)化技術(shù)遼寧省高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 沈陽，110142)

切換混沌系統(tǒng)由多個(gè)子系統(tǒng)組合而成，與模型中只有一個(gè)非線性方程組的混沌系統(tǒng)相比，其具有更加復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為和更強(qiáng)的偽隨機(jī)性，使得混沌同步保密通信的安全性能大大提高[1-3]。為了使多系統(tǒng)切換混沌同步技術(shù)在工程實(shí)際中得到更為廣泛的應(yīng)用，研究人員構(gòu)建出不同結(jié)構(gòu)的切換系統(tǒng)。文獻(xiàn)[4]將Lorenz系統(tǒng)的第三個(gè)方程中的非線性項(xiàng)xy改為x2，同時(shí)引入線性反饋項(xiàng)x或y，得到4個(gè)混沌子系統(tǒng)來進(jìn)行自動(dòng)切換。文獻(xiàn)[5]提出一個(gè)含有4個(gè)參數(shù)、2個(gè)非線性項(xiàng)的混沌系統(tǒng)，文獻(xiàn)[6]則將該混沌系統(tǒng)模型中第三個(gè)方程的非線性項(xiàng)x2換成xy，得到一個(gè)新的子系統(tǒng)，并與原系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)自動(dòng)切換。文獻(xiàn)[7]將Chen系統(tǒng)中第三個(gè)表達(dá)式的二次項(xiàng)分別換成x2、y2平方項(xiàng)得到兩個(gè)子系統(tǒng)，并和Chen系統(tǒng)組成自動(dòng)切換混沌系統(tǒng)。文獻(xiàn)[8]是將文獻(xiàn)[9]提出的模型中第三個(gè)方程含有的x2項(xiàng)換成xy和y2，得到兩個(gè)新系統(tǒng)和原系統(tǒng)進(jìn)行三個(gè)子系統(tǒng)的自動(dòng)切換。

上述切換混沌系統(tǒng)都是在已有模型的基礎(chǔ)上，將其中的二次項(xiàng)換成其他形式的二次項(xiàng)，通過改變系統(tǒng)的狀態(tài)變量來得到可進(jìn)行切換的子系統(tǒng)。

本文通過設(shè)計(jì)切換函數(shù)，提出一個(gè)新的非自治切換混沌系統(tǒng)，它具有兩個(gè)互為反結(jié)構(gòu)的子混沌系統(tǒng)[10]，僅僅通過改變模型表達(dá)式系數(shù)的正負(fù)號(hào)來實(shí)現(xiàn)兩個(gè)子混沌系統(tǒng)的切換，減小了通過改變狀態(tài)變量來實(shí)現(xiàn)切換的難度以及實(shí)際應(yīng)用中搭建電路的復(fù)雜性。下面首先通過理論分析和仿真實(shí)驗(yàn)進(jìn)行該系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性分析，然后設(shè)計(jì)系統(tǒng)電路并利用Multisim模擬來驗(yàn)證所提出的新混沌系統(tǒng)的可實(shí)現(xiàn)性。

1 系統(tǒng)模型及其特性分析

在提出本文的反結(jié)構(gòu)切換混沌系統(tǒng)之前，首先對(duì)兩個(gè)子混沌系統(tǒng)A和B作簡(jiǎn)要分析。

1.1 子混沌系統(tǒng)A

子混沌系統(tǒng)A的模型為：

(1)

式中：系統(tǒng)參數(shù)a=4，b=12.5，c=3，d=2?，F(xiàn)給定初始值(0.1，0.1，0.1)，利用Matlab仿真可得系統(tǒng)A的混沌吸引子，如圖1所示。

(a)x-y-z三維相圖 (b)x-y平面相圖

(c)x-z平面相圖 (d)y-z平面相圖

圖1 系統(tǒng)A的吸引子相圖

Fig.1 Phase diagrams of attractors of system A

利用正交法求得系統(tǒng)A的李雅普諾夫指數(shù)為：λL11=0.6949，λL12=0，λL13=-3.6949。按式(2)計(jì)算系統(tǒng)的李雅普諾夫維數(shù)D1L：

(2)

式中：j為滿足下式的最大整數(shù),

(3)

故此處j取2，最終得到：

(4)

系統(tǒng)A的三個(gè)李雅普諾夫指數(shù)中，一個(gè)為正數(shù)，一個(gè)為零，另一個(gè)為負(fù)數(shù)，且它的李雅普諾夫維數(shù)為分?jǐn)?shù)，所以可判斷系統(tǒng)A是一個(gè)混沌系統(tǒng)。

1.2 子混沌系統(tǒng)B

子混沌系統(tǒng)B的模型為：

(5)

這里的參數(shù)a、b、c、d與混沌系統(tǒng)A的參數(shù)相同，不同的是二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)與系統(tǒng)A的相反。給定初始值(0.1，0.1，0.1)，利用Matlab仿真可得系統(tǒng)B的混沌吸引子，如圖2所示。

(a)x-y-z三維相圖 (b)x-y平面相圖

(c)x-z平面相圖 (d)y-z平面相圖

圖2 系統(tǒng)B的吸引子相圖

Fig.2 Phase diagrams of attractors of system B

求得系統(tǒng)B的李雅普諾夫指數(shù)為：λL21=0.6821，λL22=0，λL23=-3.6822。計(jì)算其李雅普諾夫維數(shù)為：

(6)

與系統(tǒng)A類似，可判斷出系統(tǒng)B是一個(gè)混沌系統(tǒng)。

系統(tǒng)A和系統(tǒng)B互為反結(jié)構(gòu)混沌系統(tǒng)，從圖1和圖2可以明顯看出二者吸引子的不同，即它們正反顛倒。

下面通過設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單的切換函數(shù)，將混沌系統(tǒng)A和B構(gòu)建成一個(gè)切換混沌系統(tǒng)，稱為反結(jié)構(gòu)切換系統(tǒng)，并對(duì)反結(jié)構(gòu)切換混沌系統(tǒng)的吸引子及其一般特性進(jìn)行分析。

1.3 反結(jié)構(gòu)切換混沌系統(tǒng)模型

本文提出的新型反結(jié)構(gòu)切換混沌系統(tǒng)模型為：

(7)

式中：系統(tǒng)參數(shù)仍為a=4，b=12.5，c=3，d=2；f是所設(shè)計(jì)的切換函數(shù)，其表達(dá)式為：

(8)

圖3 正弦函數(shù)和切換函數(shù)的圖像

Fig.3 Graphs of sinusoidal function and switching function

切換函數(shù)f的功能就是通過改變系統(tǒng)模型二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)來實(shí)現(xiàn)兩個(gè)子系統(tǒng)的切換。從圖3中可知：在第一個(gè)0.5T內(nèi)f=1，切換混沌系統(tǒng)先以子系統(tǒng)A的模型運(yùn)行；在第二個(gè)0.5T內(nèi)f=-1，切換混沌系統(tǒng)以子系統(tǒng)B的模型運(yùn)行。如此反復(fù)切換運(yùn)行。

給定初始值(0.1，0.1，0.1)，利用Matlab仿真得到反結(jié)構(gòu)切換系統(tǒng)(7)的吸引子，如圖4所示。

(a)x-y-z三維相圖 (b)x-y平面相圖

(c)x-z平面相圖 (d)y-z平面相圖

圖4 切換系統(tǒng)的吸引子相圖

Fig.4 Phase diagrams of attractors of the switchable system

從圖4可以清楚看出，切換系統(tǒng)的吸引子是有界的，其首先以系統(tǒng)A的模型運(yùn)行，形成下半部分吸引子；當(dāng)運(yùn)行至半個(gè)周期結(jié)束時(shí)，下半部分吸引子產(chǎn)生一條連續(xù)的脫離軌跡線來切換至系統(tǒng)B，從而產(chǎn)生上半部分吸引子；當(dāng)一個(gè)周期運(yùn)行結(jié)束時(shí)，上半部分吸引子產(chǎn)生一條連續(xù)的脫離軌跡線來進(jìn)行下一次切換運(yùn)行。

1.4 切換系統(tǒng)的耗散性及其吸引子存在性

-a+c-d=-3

(9)

(10)

上式表明，當(dāng)t趨于無窮時(shí),包含系統(tǒng)軌跡的每個(gè)體積元均以指數(shù)級(jí)速率收縮到零，這證明了系統(tǒng)吸引子的存在性。

1.5 切換系統(tǒng)的混沌性

采用正交法得到切換系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)為：λ1=0.6963，λ2=0，λ3=-3.6784。時(shí)間變化時(shí)的李雅普諾夫指數(shù)譜如圖5所示，可見隨著時(shí)間的演化，系統(tǒng)的3個(gè)李雅普諾夫指數(shù)都趨于一固定常數(shù)。

根據(jù)式(2)得到反結(jié)構(gòu)切換系統(tǒng)的李雅普諾夫維數(shù)DL=2.1893。該系統(tǒng)具有正、負(fù)、零三個(gè)李雅普諾夫指數(shù)，且李雅普諾夫維數(shù)為分?jǐn)?shù)，可判定它是混沌系統(tǒng)。

圖5 時(shí)間變化時(shí)的李雅普諾夫指數(shù)譜

Fig.5 Lyapunov exponential spectra with the variation of time

1.6 切換系統(tǒng)的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性

由于切換混沌系統(tǒng)是系統(tǒng)A和系統(tǒng)B經(jīng)切換函數(shù)聯(lián)結(jié)構(gòu)成，所以它的平衡點(diǎn)也是由系統(tǒng)A和B的平衡點(diǎn)組成。

令系統(tǒng)A的模型式(1)等號(hào)左邊為0，得到：

(11)

解得系統(tǒng)A的平衡點(diǎn)為：A1(0，0，0)，B1(-8.795，-2.814，-3.96)，C1(8.795，2.814，-3.96)。

在點(diǎn)A1(0，0，0)線性化得到Jacobian矩陣為：

(12)

解得其特征值為6.553、-2、-7.553，因其有兩個(gè)負(fù)實(shí)根、一個(gè)正根，所以平衡點(diǎn)A1為系統(tǒng)的不穩(wěn)定鞍點(diǎn)。采用類似方法可判定B1、C1點(diǎn)為系統(tǒng)的不穩(wěn)定鞍焦點(diǎn)。

令系統(tǒng)B的模型式(5)等號(hào)左邊為0，得到：

(13)

解得系統(tǒng)B的平衡點(diǎn)為：A2(-8.795，-2.814，3.96)，B2(0，0，0)，C2(8.795，2.814，3.96)。

在平衡點(diǎn)A2(-8.795，-2.814，3.96)線性化得到Jacobian矩陣為：

(14)

解得其特征值為0.3348-7.338i、0.3348+7.338i、-3.67，因其有一個(gè)負(fù)實(shí)根、兩個(gè)實(shí)部為正的共軛復(fù)根，所以A2點(diǎn)為系統(tǒng)的不穩(wěn)定鞍焦點(diǎn)。采用類似方法可判定B2點(diǎn)為系統(tǒng)的不穩(wěn)定鞍點(diǎn)、C2點(diǎn)為系統(tǒng)的不穩(wěn)定鞍焦點(diǎn)。

綜上所述，系統(tǒng)的所有平衡點(diǎn)均是不穩(wěn)定的。

1.7 切換系統(tǒng)關(guān)于的分岔圖和李雅普諾夫指數(shù)譜

圖6 參數(shù)變化時(shí)的分岔圖

圖7 參數(shù)變化時(shí)的李雅普諾夫指數(shù)譜

1.8 切換系統(tǒng)的龐加萊截面和功率譜

為了分析切換系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，利用Matlab軟件繪制其功率譜和龐加萊截面圖。

圖8(a)為切換混沌系統(tǒng)關(guān)于變量y的功率譜，圖8(b)～圖8(d)分別為xy平面關(guān)于z=-3、yz平面關(guān)于x=0、xz平面關(guān)于y=1的龐加萊截面圖。

(a)功率譜 (b)龐加萊截面(z=-3)

(c)龐加萊截面(x=0) (d)龐加萊截面(y=1)

圖8 功率譜及龐加萊截面圖

Fig.8 Power spectrum and Poincaré sections

從圖8可以看出，系統(tǒng)的功率譜是連續(xù)譜，沒有明顯的波峰，而龐加萊截面圖并非一條封閉的曲線，吸引子的葉片明顯可見，進(jìn)一步表明該切換系統(tǒng)是混沌系統(tǒng)。

2 切換混沌系統(tǒng)的電路設(shè)計(jì)

通過設(shè)計(jì)模擬電路來判斷本文提出的切換混沌系統(tǒng)能否實(shí)現(xiàn)，并對(duì)上述理論分析和仿真結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。圖9為所設(shè)計(jì)的系統(tǒng)電路原理圖，其中，用脈沖電壓源實(shí)現(xiàn)切換混沌系統(tǒng)的切換函數(shù)功能，兩個(gè)脈沖電壓源的內(nèi)部值設(shè)置相同，如圖10所示。

根據(jù)電路原理得到混沌電路的實(shí)現(xiàn)方程為：

(15)

將式(15)與式(7)對(duì)比，可得：

(16)

以式(16)為約束條件，取值如下：

圖9 切換混沌系統(tǒng)電路圖

圖10 脈沖電壓源的參數(shù)設(shè)置

(17)

從圖11～圖13可以看出，電路模擬結(jié)果與Matlab數(shù)值仿真的結(jié)果一致，表明本文提出的切換混沌系統(tǒng)能夠通過實(shí)際電路實(shí)現(xiàn)。

圖11 U1-U2相圖

圖12 U1-U3相圖

圖13 U2-U3相圖

3 結(jié)語

本文設(shè)計(jì)出切換函數(shù)，將兩個(gè)互為反結(jié)構(gòu)的子混沌系統(tǒng)組成一個(gè)新的自動(dòng)切換混沌系統(tǒng)。通過理論計(jì)算和Matlab仿真，利用李雅普諾夫指數(shù)和維數(shù)、分岔圖、功率譜、龐加萊截面、平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性等途徑對(duì)該系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行分析，并根據(jù)混沌系統(tǒng)模型搭建了模擬電路。電路模擬結(jié)果與理論計(jì)算和Matlab數(shù)值仿真結(jié)果一致，證實(shí)該切換混沌系統(tǒng)可以電路實(shí)現(xiàn)。