點乘雙根法解決一類直線與圓錐曲線相交弦問題

胡貴平

(甘肅省白銀市第一中學 730900)

(1)求橢圓C的方程；

(2)直線不經(jīng)過點A(0,1),且與橢圓交于M,N兩點,若以MN為直徑的圓經(jīng)過點A,求證:直線l過定點,并求出該定點的坐標.

x2+2(kx+m)2-2=(1+2k2)(x1-x)(x2-x) (1)

(1)求直線AB的斜率；

(2)設M為曲線C上一點，C在M處的切線與直線AB平行，且AM⊥BM，求直線AB的方程．

設直線AB的方程為y=x+m，因為點A,B在直線AB上,所以y1=x1+m,y2=x2+m,

所以(x1-2)(x2-2)+(x1+m-1)(x2+m-1)=0.

因為x1,x2是方程x2-4x-4m=0的兩個根,所以x2-4x-4m=(x1-x)(x2-x) (1)

在(1)式中令x=2,得22-4×2-4m=(x1-2)(x2-2)．

在(1)式中令x=1-m,得(1-m)2-4×(1-m)-4m=(x1+m-1)(x2+m-1)，所以

(x1-2)(x2-2)+(x1+m-1)(x2+m-1)=22-4×2-4m+(1-m)2-4×(1-m)-4m=0．

解得m=-1(舍)，m=7，所以直線AB的方程為y=x+7．

(1)求橢圓的方程；

因為x1,x2是方程2x2+3k2(x+1)2-6=0的兩個根,

所以2x2+3k2(x+1)2-6=(2+3k2)(x1-x)(x2-x). (1)

例4 (2012重慶理)設橢圓中心在原點O，長軸在x軸上，上頂點為A，左右焦點分別為F1,F2，線段OF1,OF2中點分別為B1,B2，且△AB1B2是面積為4的直角三角形.

(1)求該橢圓的離心率和標準方程；

(2)過B1作直線l交橢圓于P,Q兩點，使PB2⊥QB2，求直線l的方程.

由題設條件S△AB1B2=4，得b2=4，從而a2=5b2=20.

(2)易知直線l不與軸垂直,則設直線l方程為y=k(x+2),P(x1,y1)，Q(x2,y2) .