圓錐曲線離心率全“求”通

謝慧芬

(江西省贛州市贛縣第三中學 341100)

由于離心率涉及圓錐曲線較多的基本量、方程與曲線問題等，所以相對比較復雜，學生常常感到難以下手，不好把握，求解時也經(jīng)常出錯．下面就通過高考題和模擬題的分析、求解，總結(jié)出幾種常見求法，大凡求橢圓離心率問題，用這些方法都能“求”通．

一、通過定義法求解

分析先設(shè)出AB的長，可知AB就是橢圓的焦距，然后用它表示出三角形其余的兩邊，再依據(jù)橢圓定義求出橢圓的長軸長，即可利用離心率定義求得橢圓的離心率．

解析設(shè)AB=2c，因為AB=BC，所以BC=2c.

由余弦定理得

點評利用橢圓離心率的定義求離心率，關(guān)鍵是求出焦距(也就是半焦距)和長軸長(也就是長半軸長)，而求長軸長時，往往結(jié)合橢圓的定義．

二、借助方程法求解

例2 (廣東卷)若一個橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是( ).

解析設(shè)長軸長為2a，短軸長為2b，焦距為2c，

由題意，2a+2c=2×2b，∴a+c=2b，

即(a+c)2=4b2=4(a2-c2)，

整理得5c2+2ac-3a2=0，即5e2+2e-3=0，

故選B．

點評方程法常用于已知或可以得到a,b,c，的關(guān)系式來求離心率的問題，解答的關(guān)鍵是把a，b，c的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程．

分析已知A,B的坐標，可以求出AB中點C的坐標，再代入橢圓方程即可得到關(guān)于a,b,c的方程，進而求得離心率．

點評已知點的坐標和點在橢圓上，自然而然地想到用代入法，直接建立起參數(shù)的方程關(guān)系，輕松求解，

三、采用幾何法求解

求與過焦點的三角形有關(guān)的離心率，根據(jù)平面幾何性質(zhì)，再根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)以及定義，建立起參數(shù)之間的關(guān)系．通常畫出圖形，觀察線段之間的關(guān)系，使問題更形象、直觀，簡單明了．

分析橢圓的一個短軸端點、焦點和坐標原點構(gòu)成一個直角三角形，可在這個三角形中，利用三角函數(shù)求橢圓離心率．

因為∠F1BF2=120°，所以∠OBF1=60°.

故選B．

點評解答中所構(gòu)造的△BOF1的三邊長分別為橢圓的三個參數(shù)a,b,c，我們可以把這個三角形叫做橢圓的特征三角形，此時橢圓的離心率e=sin∠OBF1=cos∠OF1B．

分析因為BF⊥x軸，所以我們可以由左焦點F，右頂點A以及點B三個點構(gòu)造一個直角三角形，可以在這個三角形中，運用幾何關(guān)系求橢圓離心率．

點評本題是對解析幾何與平面向量結(jié)合的考查，既體現(xiàn)了幾何與向量的交匯，也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的巧妙應(yīng)用．先構(gòu)造直角三角形，然后直接由三角形中邊的比列關(guān)系得出a,c關(guān)系，簡捷、迅速.

數(shù)學中的求值問題，主要有兩種方法，一是代入(解析式、公式等)求值；二是解方程求值．求圓錐曲線的離心率也不例外．明確了解答求值問題的通法，再解答求值問題時，就可以有的放矢．