李 偉

(遼寧省鞍山市第三中學(xué) 114000)

一、利用多項式方程理論求解思考

若實系數(shù)方程anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=0有n+1個不同的實根，則有an=an-1=…=a1=a0=0[1].借助上述理論可求解解析幾何中曲線過定點問題.

示例1 已知拋物線y2=4x，設(shè)點C是拋物線上的動點，若以C為圓心的圓在y軸上截得的弦長為4，證明：圓C恒過定點.

分析設(shè)圓心、半徑及圓上一點，借助已知條件構(gòu)造將圓上點坐標(biāo)視為常量、圓心縱坐標(biāo)為變量的方程，再利用上述理論得各項系數(shù)均為零，由此列方程組求解.

(1)求橢圓C的方程;(2)Q是橢圓C上不同于長軸端點的任一點，在x軸上是否存在一點D，使得直線QA與QD的斜率之積為定值?若存在，求出點D的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

問題(2)，設(shè)Q(x1,y1)、D(x0,0)，由題意建立關(guān)于的方程，再借助上述理論，列系數(shù)為零的方程組，即可求得定點坐標(biāo).

略解設(shè)Q(x1,y1)，D(x0,0)，斜率之積為M(定值)，

代入橢圓方程中，整理得：

二、特殊情形找點，一般情況論證的求解思考

所以，對于一般情況，只要上述點坐標(biāo)有一個滿足一般圓方程即可說明過定點.

三、運用曲線性質(zhì)尋求特殊點，再一般情況論證的求解思考

曲線的對稱性是分析處理這類定點問題要重點思考的性質(zhì).其基本思考是借助曲線對稱性，判斷定點存在的位置，然后進行一般性的闡述論證.

證明：當(dāng)t、λ變化時，以MN為直徑的圓恒過定點，并求出定點坐標(biāo).

略解由橢圓、圓及M、N兩點橫坐標(biāo)的對稱性，知以MN為直徑的圓恒過的定點在x軸上.設(shè)其為P(x0,0). 由圓的性質(zhì)得：

除上述想法外，還有圓系過定點、定直線問題，此類平時教學(xué)中多有滲透，在此就不逐一列舉.

四、運用定點直線系方程解決直線過定點的求解思考

在直線方程y-y0=k(x-x0)中，如果k是變量，x0、y0是定值，則該直線必過定點(x0,y0).

示例5 過拋物線C：y2=4x上一點P(1,2)作斜率分別為k1、k2的兩條直線l1、l2，若直線l1、l2分別與拋物線C的另一交點分別是A、B，試問：當(dāng)k1k2=4時，直線AB是否恒過定點？

分析如果能把直線AB的方程寫成y-y0=k(x-x0)的形式，則該必過定點(x0,y0).

在解題時有時設(shè)直線方程為y=kx+b(x=my+n)的形式，這時只要求出k或b的值，或求出k、b關(guān)系式，即可轉(zhuǎn)化示例5的題型求解.

1.求動點P的軌跡E的方程;

2.若不與坐標(biāo)軸平行的直線l與曲線E相交于A、B兩點，且存在點D(4,0)(其中A、D、B不共線)，使得∠ADB被x軸平分，求證：直線l過定點.

對于問題2，設(shè)直線l方程：x=my+n(簡化運算)，將條件∠ADB被x軸平分，等價轉(zhuǎn)化為斜率之和為零，即可通過列等式代入求值的方法，求出n=1，從而，問題得以解決.

所以直線l過定點(1,0).

除上述想法外，還有定點直線系問題，此類平時教學(xué)中多有滲透，在此就不逐一列舉.

五、“設(shè)而不求”解題技巧用于定點問題的求解思考

“設(shè)而不求”是解析幾何中常見的解題技巧，也是高中數(shù)學(xué)中常見的解題技巧，可見“設(shè)而不求”在解決曲線過定點問題也一定有所作為.

1.求橢圓的方程;

2.設(shè)直線l經(jīng)過點P且與C交于不同兩點M、N，試問：在x軸上是否存在定點Q，使得直線QM與直線QN的斜率和為定值？若存在，請求出Q點坐標(biāo)及定值;若不存在，說明理由.

分析(問題2)：引入斜率k為變量，借助“設(shè)而不求”的解題技巧，建立直線QM與直線QN的斜率和關(guān)于k的關(guān)系式，注意到條件直線QM與直線QN的斜率和為定值的使用，再借助于題型一解決的方法即可求得定點.

六、通過構(gòu)造方程，用解方程的方法求出定點

示例8 設(shè)P是不在y軸上的一個動點，過點P作拋物線x2=4y的兩條切線，切點為A、B，且PO垂直AB于Q，R為直線AB與y軸的交點.

(1)求證：R是定點，并求出R點的坐標(biāo);

分析對于問題(1)的解決，借助“設(shè)而不求”的解題思想，根據(jù)題目條件引入未知量，列出方程式，在化簡、解方程中求出定點坐標(biāo).問題(2)略.

略解設(shè)P(x0,y0)、A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB直線方程y=kx+b.

由①得x0=2k⑤.

③+④得

將上述式子代入⑥中得

解之b=2.

所以R是定點，R點的坐標(biāo)(0,2).

以上通過示例對解析幾何中曲線過定點問題的解決進行一些探索，給出解決問題的思考，供大家借鑒.