關(guān)于圓錐曲線的定值問題探究

何正文

(廣東省肇慶市百花中學(xué) 526000)

本文通過圓錐曲線定值定量問題的探究，幫助學(xué)生遇到圓錐曲線問題能迅速歸類，舉一反三，化繁為簡、化難為易，達(dá)到事半功倍的效果.把握好其中不變規(guī)律，解決問題中不同的應(yīng)用環(huán)境，提高學(xué)生思維品質(zhì).

一、圓錐曲線關(guān)于數(shù)軸對稱點(diǎn)的定值問題

引理一若點(diǎn)M、N是圓C:x2+y2=r2上關(guān)于x軸對稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是圓C上異于M、N的任意一點(diǎn)，且直線MP、NP分別與x軸交于點(diǎn)R、S，則|OR|·|OS|=r2.

我們把它推廣到橢圓，雙曲線 ，拋物線，同樣也具有定理關(guān)于數(shù)軸對稱點(diǎn)的定值.

所以|OR|·|OS|=|xR|·|xS|=|xR·xS|=a2．

定理中的點(diǎn)M、N關(guān)于x軸對稱，當(dāng)點(diǎn)M、N關(guān)于y軸對稱時(shí)，|OR|·|OS|仍是定值.

推論2的證明與推論1的證明類似，證明略．

經(jīng)過進(jìn)一步研究，關(guān)于橢圓的這個(gè)性質(zhì)，類似地可以推廣到雙曲線.

推論3、推論4的證明與定理的證明類似．

但這個(gè)關(guān)于定值的性質(zhì)對拋物線不成立，在拋物線中|OR|·|OS|的取值與點(diǎn)P、M的位置有關(guān)．

推論5若點(diǎn)M、N是拋物線C:y2=2px上關(guān)于x軸對稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線C上異于M、N的點(diǎn)，直線MP、NP分別與x軸交于點(diǎn)R、S，設(shè)點(diǎn)M、P在x軸上的射影是H、Q，則|OR|·|OS|=|OH|·|OQ|(O為坐標(biāo)原點(diǎn))．

∴|OR|·|OS|=|xR·xS|=|x1x0|．

則|OR|·|OS|=|OH|·|OQ|．

因此，只有在有心圓錐曲線中，|OR|·|OS|是一個(gè)定值.

二、圓錐曲線關(guān)于點(diǎn)的軌跡方程的定值問題

證明設(shè)M(x0,y0)，橢圓C的切線方程為y=kx+m.

因?yàn)镸(x0,y0)在橢圓C的切線y=kx+m上，所以y0=kx0+m……②.

由①、②得：(y0-kx0)2=b2+a2k2,

所以點(diǎn)M的軌跡方程為x2+y2=a2+b2.

證明設(shè)M(x0,y0)，若其中一條切線的斜率不存在，雙曲線不存在與之垂直的切線，所以可設(shè)雙曲線C的切線方程為y=kx+m.

因?yàn)镸(x0,y0)在雙曲線C的切線y=kx+m上，所以y0=kx0+m……②.

由①、②得：(y0-kx0)2=a2k2-b2,

三、圓錐曲線關(guān)于某點(diǎn)切線方程的定值問題

引理三過圓x2+y2=r2(r>0)上一點(diǎn)M(x0,y0)的切線方程為xx0+yy0=r2.

推論3 過拋物線y2=2px(p>0)上一點(diǎn)M(x0,y0)的切線方程為y0y=p(x+x0).

證明(1)y2=2px(p>0)兩邊求導(dǎo)得