利用構(gòu)造法證明不等式

■河南省太康縣第一高級(jí)中學(xué)

利用導(dǎo)數(shù)證明不等式是近幾年高考命題的一種熱點(diǎn)題型。解答該題型的關(guān)鍵是要找出與待證不等式緊密聯(lián)系的函數(shù),然后以導(dǎo)數(shù)為工具來研究該函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值(值域),從而達(dá)到證明不等式的目的,解題過程中常常需要構(gòu)造輔助函數(shù)來解決。題目本身特點(diǎn)不同,所構(gòu)造的函數(shù)可有多種形式,因此解題的繁簡程度也不同,這里給出幾種常用的構(gòu)造技巧。

例題(2019年河南考前模擬)已知函數(shù)f(x)=ex-2。

(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;

(2)證明:當(dāng)x＞0時(shí),f(x)＞lnx。

考點(diǎn)定位：本題第(1)問比較簡單,主要是通過考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義求過一點(diǎn)的切線方程;第(2)問是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值,再由單調(diào)性來證明不等式。這是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式綜合中的一個(gè)難點(diǎn),也是近幾年高考的熱點(diǎn),這類題型大多是通過構(gòu)造函數(shù)證明不等式,第(2)問共涉及四種方法,下面會(huì)一一介紹。

解：(1)由f(x)=ex-2,得f'(x)=ex-2。

所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為

(2)共四種方法。

方法一：作差法構(gòu)造函數(shù)證明。

解答提示：本題首先根據(jù)題意構(gòu)造出一個(gè)函數(shù)(可以移項(xiàng),使右邊為零,將移項(xiàng)后的左式設(shè)為函數(shù)),利用導(dǎo)數(shù)判斷所設(shè)函數(shù)的單調(diào)性,再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義,證明要證的不等式。要證f(x)＜lnx,只需證明在區(qū)間(0,+∞)上,恒有ex-2＜lnx成立,設(shè)g(x),只要證明g(x)在區(qū)間(0,+∞)上的最小值大于0即可。讀者也可以設(shè)F(x)=f(x)-g(x)做一做,深刻體會(huì)其中的思想方法。

證明：當(dāng)x＞0時(shí),令g(x)=f(x)-lnx,則g(x)=ex-2-lnx,x∈(0,+∞),, 易知g'(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,且,則g'(x)在(1,2)上必存在一個(gè)零點(diǎn),設(shè)為x0,則g'(x0)=0,即,則有x0-2=-lnx0。

當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),g'(x)＜0,g(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減;

當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí),g'(x)＞0,g(x)在(x0,+∞)上單調(diào)遞增。

所以g(x)≥g(x0)＞0,則有f(x)＞lnx。

方法二：尋找關(guān)聯(lián)函數(shù)證明。

解答提示：由(1)可知,曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為,且y=f(x)在直線的上方,若能證明y=的圖像在直線的下方,就有,問題得證。

證明：①設(shè),則g'(x)

當(dāng)x=e時(shí),g'(x)=0;當(dāng)0＜x＜e時(shí),g'(x)＞0;當(dāng)x＞e時(shí),g'(x)＜0。

所以g(x)在(0,e)上是增函數(shù),在(e,+∞)上是減函數(shù)。

當(dāng)x=1時(shí),h'(x)=0;當(dāng)0＜x＜1時(shí),h'(x)＞0;當(dāng)x＞1時(shí),h'(x)＜0。

所以h(x)在(0,1)上是增函數(shù),在(1,+∞)上是減函數(shù),則h(x)max=h(1)=0,所以成立(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào))。

綜上,當(dāng)x＞0時(shí)成立。

因?yàn)榍昂髢纱稳〉忍?hào)的條件不一致,所以lnx＜ex-2,即f(x)＞lnx成立。

方法三：根據(jù)常用不等式構(gòu)造函數(shù)。

解答提示：由不等式lnx≤x-1≤ex可知,若能證明y=lnx的圖像在直線y=x-1的下方,y=ex-2的圖像在直線y=x-1的上方,就有f(x)≥x-1≥lnx,問題得證。

證明：①設(shè)g(x)=lnx-x+1,則

當(dāng)x=1時(shí),g'(x)=0;當(dāng)0＜x＜1時(shí),g'(x)＞0;當(dāng)x＞1時(shí),g'(x)＜0。

所以g(x)在(0,1)上是增函數(shù),在(1,+∞)上是減函數(shù),則g(x)max=g(1)=0,所以成立(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào))。

②設(shè)h(x)=x-1-ex-2,則h'(x)=1-ex-2。

當(dāng)x=2時(shí),h'(x)=0;當(dāng)0＜x＜2時(shí),h'(x)＞0;當(dāng)x＞2時(shí),h'(x)＜0。

所以h(x)在(0,2)上是增函數(shù),在(2,+∞)上是減函數(shù),則h(x)max=h(2)=0,所以x-1≤ex-2成立(當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取等號(hào))。

綜上,當(dāng)x＞0時(shí),lnx≤x-1≤ex-2成立。

因?yàn)榍昂髢纱稳〉忍?hào)的條件不一致,所以lnx＜ex-2,即f(x)＞lnx成立。

方法四：“拆分法”構(gòu)造函數(shù)證明不等式。

解答提示：當(dāng)所要證明的不等式由幾個(gè)基本初等函數(shù)通過相乘或相加的形式組成時(shí),如果對(duì)其直接求導(dǎo),得到的導(dǎo)函數(shù)往往給人一種“撲朔迷離”“不知所措”的感覺。這時(shí)可以將原不等式合理拆分為f(x)≤g(x)的形式,進(jìn)而證明f(x)max≤g(x)min即可,此時(shí)注意配合使用導(dǎo)數(shù)工具。在拆分的過程中,一定要注意合理性的把握,一般以能利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行最值分析為拆分標(biāo)準(zhǔn)。

證明：①設(shè),則g'(x)=

當(dāng)x=e時(shí),g'(x)=0;當(dāng)0＜x＜e時(shí),g'(x)＞0;當(dāng)x＞e時(shí),g'(x)＜0。

所以g(x)在(0,e)上是增函數(shù),在(e,+∞)上是減函數(shù),則

當(dāng)x=1時(shí),h'(x)=0;當(dāng)0＜x＜1時(shí),h'(x)＜0;當(dāng)x＞1時(shí),h'(x)＞0。

所以h(x)在(0,1)上是減函數(shù),在(1,+∞)上是增函數(shù),則

綜上,當(dāng)x＞0時(shí)成立,因?yàn)楹瘮?shù)值為時(shí)兩個(gè)自變量不是同一個(gè)值,所,即f(x)＞lnx成立。