基于成形法加工的圓弧齒廓錐齒輪的刀具軌跡方程

孫 敏

（寧夏葡萄酒與防沙治沙職業(yè)技術學院，寧夏 銀川750199）

關于成形法加工圓柱齒輪的技術已經日益成熟[1]，然而關于數控成形法加工圓弧齒廓錐齒輪的研究尚屬空白[2]。數控成形法加工錐齒輪具有工序簡單、加工效率高、生產成本低等優(yōu)點，為了更好地將高精度、高效率的數控成形法應用于加工錐齒輪，研究其刀具的加工軌跡顯得尤為重要。本文首先介紹數控成形法加工錐齒輪的原理，再通過三維模型說明了位于錐齒輪節(jié)圓錐上的刀具軌跡形成原理，最后通過坐標轉換矩陣將平面齒輪的刀具軌跡轉換到節(jié)圓錐曲面上，從而求出位于節(jié)圓錐曲面上的刀具軌跡的方程。

1 數控成形法加工技術在錐齒輪中的應用

數控成形法加工錐齒輪的原理是使成形刀具分別沿預定的兩條軌跡運動，銑削出齒槽的兩個齒面，在輪齒的任意法截面上，其齒廓形狀相同、齒高相等[3]。由于錐齒輪的大端齒槽寬度和小端齒槽寬度不同，成形刀具無法同時銑削齒槽兩面，因此需要成形刀具分別加工齒槽的左、右面。

在圖1中，坐標系Og—XgYgZg為刀具坐標系，刀具軸向截形關于XgOgYg平面對稱，刀具參考點On位于Xg軸上。在實際加工中，使刀具軸線Zg軸位于曲線22′的法平面內并且Xg軸垂直于節(jié)錐母線OP，Zg軸與直線OOn的夾角為α（α=90°-β，β為引導線在On點的螺旋角）。刀具參考點On沿節(jié)錐母線OP向點O運動的過程中，齒坯繞軸線OO2旋轉。齒坯的轉動角度、夾角α分別與點On到點O的距離存在函數關系，使刀具參考點On沿曲線22′運動，從而刀具右切削面加工出齒槽右面，同理使刀具參考點沿曲線44′移動，刀具左切削面可以加工出齒槽左面。

圖1 盤形銑刀加工錐齒輪齒槽右面

圖中：δ2為錐齒輪的節(jié)錐角，OO2為錐齒輪的回轉軸線，Zg軸為刀具回轉軸，刀具繞Zg軸轉動的角速度為ω，曲線22′和曲線44′位于節(jié)圓錐曲面上。

2 盤形銑刀參考點軌跡的方程

2.1 刀具軌跡曲線的形成原理

當刀具加工平面齒輪（節(jié)錐角等于90°的錐齒輪為平面齒輪）時，刀具沿曲線33′移動包絡出與曲線33′等距的齒線，理論上要求齒線為連續(xù)、無奇點、無拐點的曲線[4]?？紤]到加工的方便性，通常選擇直線或者圓弧為齒線（與齒線等距的刀具軌跡曲線也為直線或者圓弧）。在圖2中節(jié)圓錐1和節(jié)圓錐2相切于直線OP，半徑為OP的平面齒輪的節(jié)平面分別與節(jié)圓錐1、節(jié)圓錐2相切。當平面齒輪轉動的時候，平面齒輪分別帶動節(jié)圓錐1和節(jié)圓錐2繞各自的軸線做純滾動（三者的轉動方向如圖2所示），位于平面齒輪上的曲線33′分別印到節(jié)圓錐1和節(jié)圓錐2的圓錐面上形成空間曲線11′、空間曲線22′，空間曲線11′和22′的旋向相反[5]。在曲線形成的過程中，空間曲線11′和22′始終做點接觸，接觸點位于節(jié)圓錐1和節(jié)圓錐2的切線OP上，將曲線11′、22′命名為刀具軌跡曲線[6]。

圖2 錐齒輪引導線的形成原理

圖中：δ1和δ2分別為節(jié)圓錐1、節(jié)圓錐2的節(jié)錐角，OO1、OO2分別為節(jié)圓錐1和節(jié)圓錐2的回轉軸線，節(jié)圓錐1繞軸線OO1的轉動角速度為ω1，節(jié)圓錐2繞軸線OO2的轉動角速度為ω2，ZG軸為平面齒輪的回轉軸，平面齒輪繞ZG軸的轉動角速度為ωG。

2.2 刀具軌跡曲線的數學表達式

如果已知位于平面齒輪節(jié)平面上的任意曲線方程，如何推導出節(jié)平面曲線印在節(jié)錐曲面上的曲線方程，針對這一問題，本文根據平面齒輪與節(jié)圓錐之間的運動關系建立平面齒輪和節(jié)圓錐之間的轉換矩陣，再將平面齒輪上任意曲線方程轉換到節(jié)圓錐坐標系中，從而求出位于節(jié)圓錐曲面上的曲線方程[7]，為了更方便地研究節(jié)圓錐上的曲線方程，只分析平面齒輪和一個節(jié)錐角為δi的節(jié)圓錐的運動關系并令位于平面齒輪節(jié)平面上任意曲線的方程為ym=f2（xm）。

圖3中，半徑為OmP的平面齒輪的圓心和節(jié)錐母線長為OP的圓錐錐頂重合，PO′垂直于節(jié)圓錐軸線OiO′，平面齒輪以角速度ωG繞軸線kG轉動并且?guī)庸?jié)圓錐以角速度ω1繞軸線OiO′轉動，空間曲線ii′是由平面齒輪曲線33′印到節(jié)圓錐曲面上的。在圖3中分別建立以下四個坐標系：固定坐標系σG：（OG-iG，jG，kG），平面齒輪坐標系 σm：（Om-im，jm，km），固定坐標系 σO：（O-i，j，k），固節(jié)圓錐的動坐標系 σi：（Oi-ii，ji，ki）。

圖3 刀具軌跡曲線的形成原理-初始位置

σG：（OG-iG，jG，kG） 為空間固定坐標系，OG與平面齒輪的圓心重合，iG軸重合于平面齒輪和節(jié)圓錐的切線 OP，kG軸為平面齒輪的回轉軸線，iG、OG、jG平面和平面齒輪的節(jié)平面重合。

σm：（Om-im，jm，km）坐標系和平面齒輪固聯(lián)，隨平面齒輪繞自身軸線的轉動而轉動，Om和平面齒輪的圓心重合，km軸和kG軸重合，平面im、Om、jm與平面齒輪的節(jié)平面重合，坐標系σm在初始狀態(tài)時，im、jm軸分別與iG、jG軸重合（如圖4所示）。

σO：（O-i，j，k）是空間中的固定坐標系，坐標系的原點O位于圓錐錐頂且與平面齒輪的圓心Om重合，k軸和節(jié)圓錐軸線OiO′重合，iG軸和k軸位于同一平面內，令i軸位于iG軸和k軸所在的平面內（i軸和直線PO′平行）依據右手定則確定出j軸，j軸和固定坐標系σG的jG軸重合。

σi：（Oi-ii，ji，ki）和齒輪的節(jié)圓錐固聯(lián)（坐標系隨齒輪轉動），該坐標系的原點O位于節(jié)圓錐的錐頂，ki軸為節(jié)圓錐的回轉軸，坐標系σi在初始狀態(tài)時，ii軸和i軸重合，ji軸和j軸重合。

平面齒輪上曲線33′和節(jié)圓錐上的曲線11′（或者22′）的交點始終位于平面齒輪和節(jié)圓錐的切線OP上。在運動關系圖3中θ為坐標系σm中曲線33′任意點Jm的極徑和im軸的夾角，點Jm的坐標為（xm，ym）。為使平面齒輪上任意曲線33′的點Jm印到節(jié)圓錐上，將平面齒輪中的點Jm旋轉至iG軸線上，也就是將平面齒輪繞自身軸線回轉θ角，同時平面齒輪帶動節(jié)圓錐繞k軸轉動e角（如圖4所示），根據幾何關系可以得到：θ＝ arctan（ym/xm），e= θ/sinδi。

圖4 刀具軌跡曲線的形成原理-轉動θ角后

各個坐標系之間的變換矩陣如下所示：

節(jié)圓錐曲面上空間曲線的方程為：

最后整理得到刀具參考點軌跡的方程為：

一對正確嚙合的螺旋錐齒輪的齒線旋向相反，現(xiàn)假定錐齒輪1的齒線為左旋，則錐齒輪2的齒線為右旋。對于錐齒輪1，因其為左旋，則其平面齒輪應為右旋；而對于錐齒輪2，因其為右旋，則其平面齒輪應為左旋。兩錐齒輪的平面齒輪齒線的旋向相反，因此，分別與兩平面齒輪齒線等距的刀具軌跡曲線的旋向也相反。圖3和圖4描述的是左旋平面齒輪刀具軌跡曲線ym=f2（xm）與右旋節(jié)圓錐刀具軌跡的接觸關系，其刀具軌跡方程如公式（1）。將左旋平面齒輪刀具軌跡曲線ym=f2（xm）關于im軸對稱就變成右旋平面齒輪刀具軌跡曲線ym=f1（xm），也就是f1（xm）=-f2（xm），據此結合上式（1）可以求出左旋節(jié)圓錐刀具軌跡。

3 結論

本文運用圖解法描述了平面齒輪曲線和節(jié)圓錐曲面曲線之間的關系，通過建立相關的轉換坐標系將平面齒輪曲線方程轉換到節(jié)圓錐坐標系中，從而求得節(jié)圓錐上刀具軌跡方程。在實際工程中編制數控程序時，須首先確定加工刀具的軌跡方程，然后使刀具參考點沿該軌跡移動，從而加工出齒面。本文的成果可以用于任何齒線錐齒輪的刀具軌跡方程計算，還可用于齒輪設計、齒面造型等場合。