破解幾何難題 感悟解法規(guī)律

楊春華

[摘 ?要] 平面幾何圖形作為高中數學考試的一個重要載體，在高考及各級各類模擬考試中頻繁出現(xiàn)，它能有效考查學生的綜合能力.文章對一道?？荚囶}進行解法研究，總結解法特征，歸納解題策略，感悟解法規(guī)律.

[關鍵詞] 平面幾何問題;解題;規(guī)律;策略

平面幾何圖形作為高中數學考試的一個重要載體，在高考及各級各類模擬考試中頻繁出現(xiàn)，它的題面一般僅與圖形有關，但考點豐富，設計精巧，問題的設置往往獨具匠心，解法靈活，能有效考查學生對基本知識的掌握以及轉化和化歸的能力，給學生造成不小的挑戰(zhàn)，得分率往往很低.文章結合一道?？荚囶}，談談處理這些問題的幾個策略.

【題目】（2017臺州高三年級期末質量評估16題）在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，點P是其外接圓O上的任意一點，若a=2 ，b=c= ，則 2+ 2+ 2的最大值為________.

解法研究

1. 坐標化——適時地建系求解

建立直角坐標系，將題中的條件坐標化，用代數方法解決最值問題是常用的方法.

解法1：建系角參法

以外接圓的圓心O為坐標原點，過O且與BC平行方向為x軸，建立平面直角坐標系.

則A0， ，B- ，- ，C ，- ，外接圓O的方程為x2+y2= .

設P cosα， sinα，則 2+ 2+ 2

= cosα + sinα- ?+ cosα+ ?+ sinα+ ?+ cosα- ?+ sinα+

= - sinα≤ .當且僅當sinα=-1時， 2+ 2+ 2取得最大值 .

評注：把幾何圖形放置在適當的坐標系中，就賦予了有關線段和有關點的坐標，有了坐標就能進行相應的代數運算和向量運算，從而使得問題得以順利解決.

2. 投影化——合理轉化向量求解

問題中的三個向量的平方和經過適當轉化，變成某個動態(tài)向量的投影問題，結合圖形來解決最值問題，此法形象直觀，便于理解.

解法2：由解法1可知△ABC外接圓的半徑R= .

取BC中點D，連接OA，OB，OC，OP，則A，O，D三點共線，且 + =2 .

在△ABC中可知，BC邊上的高AD=2，OA=R= ，所以OD=AD-OA= .

2+ 2+ 2=（ + ）2+（ + ）2+（ + ）2

=6R2- ?· cosα=6R2- ·R· cosα.

只要 在 方向上的投影最小值即可. 結合圖形，顯然當 與 方向相反的時候，投影 cosα取得最小值-R. 所以 2+ 2+ 2最大值為 .

評注：平面向量中有關取值范圍的問題通常有二種：一是“數化”，即將平面向量的問題轉化為代數（通常是函數）問題，從而借助函數來解決取值范圍和最值問題;二是“形化”，即是利用平面向量的幾何意義將問題轉化為平面幾何中的最值和范圍問題.

3. 簡便化——善于應用現(xiàn)有的結論

三角形中有許多重要的結論，熟練掌握它們對于快速解題有不可低估的作用.

解法3：應用卡諾重心定理求解

應用此定理可以將問題轉化為外接圓上一點到三角形重心的距離的最值問題，考慮到△ABC是一個定三角形，重心是個定點，所以外接圓上的動點到一定點的距離的最大值是顯而易見的.？搖？搖

設△ABC的重心為G，連接PO，PG，則 + + =0.

2+ 2+ 2=（ + ）2+（ + ）2+（ + ）2

=3 2+ 2+ 2+ 2，因此只需要求PG的最大值.

再設△ABC的外心為O，BC的中點為D，設AD與△ABC的外接圓交于點P′，則PG≤PO+OG=OP′+OG=P′G，當且僅當點P與P′重合時，P到A，B，C的距離的平方最大，所以，DP′=2R-AD= ，所以 2+ 2+ 2最大值為 2+ 2+ 2=2（BD2+DP′2）+（2R）2= .

解法4：應用托勒密定理求解

托勒密定理具有鮮明的代數特征，是解決代數問題的強有力的工具，也是數形結合的典范，通過此題可以領悟它們在剖析教材，解得高考試題等方面的價值.

（1）當P在優(yōu)弧BC上時，由托勒密定理可知：BC·PA+AB·PC=BP·AC.

即2 PA+ PC= PB，所以12PA2=7（PB-PC）2，由余弦定理可知cos∠BAC= = ，所以cos∠BPC= . 在△BPC中，由余弦定理可知：

a2=PB2+PC2-2PB·PC·cos∠BPC，即PB2+PC2- ·PB·PC=12. 則PA2+PB2+PC2=PB2+PC2+ （PB-PC）2= 19·12+ -14·PB·PC=19- PB·PC≤19.當且僅當PB·PC=0，即P與B或者C重合時取等號.

（2）當P在劣弧BC上時，同理可得當PA2+PB2+PC2=19+ PB·PC.

又因為S△ABC= ·PB·PCsin∠BPC，當S△ABC最大時，PB·PC最大，此時AP為圓的直徑. 所以PB·PC= ，PA2+PB2+PC2=19+ PB·PC≤19+ · = .

綜上可得 2+ 2+ 2最大值為 .

4. 分類化——利用特殊位置求解

解法5：①當P與A重合時， 2+ 2+ 2=14.

②當P與B或C重合時， 2+ 2+ 2=19.

③當P異于A，B，C 時，設圓心O到PA，PB，PC的距離分別為d1，d2，d3，則PA2=4（R2-d ），PB2=4（R2-d ），PC2=4（R2-d ）.

所以 2+ 2+ 2=4×[3R2-（d +d +d ）].

要使 2+ 2+ 2最大，只要d +d +d 最小即可. 必有d1=0或d2=0或d3=0.

若d1=0時，則d2=d3= .

2+ 2+ 2=4·3× - = ;

若d2=0時，d1= ，d3= ;若d3=0時，d1= ，d2= .

2+ 2+ 2=4·3× - = .

綜上可知 2+ 2+ 2最大值為 .

近些年來，這類題型一直是江蘇、浙江等省份的高考熱點題型，教師在教學中應予以重視. 其基本題型是根據已知條件求某個變量的最值或范圍，解題思路是建立目標函數解析式，轉化為求函數的最值，同時向量有著“數”與“形”的雙重身份. 解決它的另一種思路是數形結合，利用圖形的相關幾何性質解決問題.我們在思考問題的時候，應盡可能從數與形兩個方面進行聯(lián)想，可以相互驗證.